2020-2021人教版数学第二册教师用书：第10章 10.110.1.3古典概型含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第10章10.110.1.3古典概型含解析10。学习目标核心素养1。结合具体实例,理解古典概型．(重点)2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．（重点、难点）1。通过对古典概型概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过计算古典概型的概率，培养数学建模、数学运算素养.据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳,只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的．因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色．问题:您能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果，你能写出对应的样本空间吗?点数之和不大于7这一事件包含哪几个样本点?你能求出对应事件的概率吗？这个事件对应的概率是什么类型的概率？求解此类概型的概率的方法是什么？1．古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;（2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝eq\f（k，n）＝eq\f（nA，nΩ）,其中n(A）和n（Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．思考1:“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？[提示］不属于古典概型．因为在区间[0，10］上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．思考2:若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？[提示］不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任何一个事件都是一个样本点． ()(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ()（3）古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (）[提示］(1)错误．一个事件可能是一个样本点，也可能包含若干个样本点．（2）正确．（3）正确．古典概型中任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．[答案］（1）×（2）√(3)√2．（多选题）下列关于古典概型的说法中，正确的是（）A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．样本点的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝eq\f(k,n)ACD［根据古典概型的特征与公式进行判断，ACD正确，B不正确，故选ACD．］3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(）A．eq\f（1，2)B．eq\f(1,3）C．eq\f（2，3）D．1C［从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲,乙），(甲，丙)，(乙，丙）共3种情况,其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq\f(2，3).］4．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等）,则2名都是女同学的概率等于________．eq\f（1,5）[用A，B，C表示3名男同学,用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab,Ac，BC,Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab,ac,bc｝，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3,故所求的概率为eq\f(3，15)＝eq\f（1,5）.］古典概型的判断【例1】下列是古典概型的是（)A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止C［A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．］判断一个试验是古典概型的依据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征-—有限性和等可能性,二者缺一不可。eq\o（［跟进训练］)1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．①②④［①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]较简单的古典概型问题【例2】某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．[解］只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2，3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1,3）,（1,4），（1,5)，（1,6)，(2,3),（2,4)，(2,5)，（2，6）,（3,4），(3，5)，(3,6)，（4,5)，(4,6)，（5,6）｝，共15个样本点．有1听不合格的样本点有（1，5）,(1,6），(2，5)，（2,6），(3，5),(3，6），(4，5）,（4,6），共8个；有2听不合格的样本点有（5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为eq\f（8＋1，15)＝eq\f(3，5)。求解古典概率“四步”法eq\o(［跟进训练］）2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2）所取的2道题不是同一类题的概率．[解]（1）将4道甲类题依次编号为1,2，3,4;2道乙类题依次编号为5,6。任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝｛（1,2），(1，3），（1，4),（1，5）,(1,6)，（2,3），(2，4),(2,5)，（2，6），(3,4），(3,5），（3,6）,(4，5),（4，6）,(5，6）}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝｛（1,2)，（1，3）,（1，4)，(2，3），(2,4），(3,4）｝,共含有6个样本点，所以P（A）＝eq\f(6,15）＝eq\f(2，5)。(2）由（1)知试验的样本空间共有15个样本点,用B表示“所取的2道题不是同一类题"这一事件,则B＝{（1,5)，(1,6），(2,5)，（2，6）,（3,5），（3，6)，（4,5），(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝eq\f（8，15）。较复杂的古典概型问题［探究问题]1．古典概型的概率计算公式是什么？［提示］事件A的概率P（A）＝eq\f(k,n）＝eq\f（nA，nΩ），其中n(A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．2．计算较复杂的古典概型的概率的关键是什么？[提示］关键有两个:一是正确理解试验的意义，写出样本空间所包含的样本点及其总数；二是正确理解样本点与事件A的关系，正确计算事件A所包含的样本点数．【例3】某儿童乐园在“六一"儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．（1)求小亮获得玩具的概率；（2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．［思路探究］eq\x(\s\up(写出试验的，样本空间))→eq\x（\s\up（计算所求概率事，件的样本点数）)→eq\x（应用古典概型概率公式计算概率）[解］用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝｛(x,y)｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4｝一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16。（1）记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝｛（1，1)，(1，2），(1，3）,（2,1),(3，1）}．所以P(A）＝eq\f(5,16),即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16）.（2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8"为事件C．则事件B包含的样本点共6个，即B＝{（2,4)，(3，3），（3，4)，（4,2)，(4，3），（4，4)}．所以P(B)＝eq\f（6,16）＝eq\f（3,8）。事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{（1,4），（2，2)，（2,3），（3,2），(4,1）}．所以P(C)＝eq\f(5,16）。因为eq\f(3,8）＞eq\f（5，16）,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．1．在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率．［解］用数对（x,y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，即E＝｛（1,1），（1,2),（1,3)，(2，1)，（3，1），（2，4），（3,3),(3,4),（4，2），(4,3)，(4,4）}．所以P(E）＝eq\f(11,16).2．将例3中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．[解］用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝｛（x，y）|x∈N,y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4｝一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16,所以样本点总数n＝16.记“3≤x＋y≤5"为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，即D＝｛（1，2），（2，1)，(2,2)，(1，3),（3，1），（1,4),（4，1),(2,3)，(3，2)｝．所以P(D）＝eq\f（9,16)。解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式。但是这类问题的解法多样,技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题:1试验必须具有古典概型的两大特征—-有限性和等可能性.2计算基本事件的数目时,须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.一、知识必备古典概型是一种最基本的概率模型．判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性．二、方法必备1．求随机事件A包含的样本点的个数和样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．2．在应用公式P（A）＝eq\f（k，n）＝eq\f(nA,nΩ)时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，从而正确求出n（A)和n（Ω）．1．下列试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球,基本事件为｛取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C[根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．]2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A．eq\f（1，6）B．eq\f（1,2)C．eq\f（1,3)D．eq\f（2，3)C［样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率:P＝eq\f（2，6）＝eq\f(1,3）。］3．标有数字1，2,3,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(）A．eq\f(1,2）B．eq\f(1，5)C．eq\f（3,5）D．eq\f（2,5)A[如图：基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个，故所求概率P＝eq\f（10,20)＝eq\f（1，2）.故选A．]4．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马