2020-2021人教版数学2-3课时2.4正态分布含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学选修2-3课时分层作业：2.4正态分布含解析课时分层作业（十六）正态分布（建议用时:40分钟)一、选择题1.如图是正态分布N（μ，σeq\o\al（2,1))，N(μ，σeq\o\al(2,2））,N(μ，σeq\o\al（2,3））(σ1，σ2，σ3〉0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是（）A．σ1>σ2>σ3B．σ3〉σ2>σ1C．σ1〉σ3〉σ2D．σ2>σ1>σ3A［由σ的意义可知，图象越瘦高,数据越集中，σ2越小，故有σ1〉σ2〉σ3。］2．若随机变量X~N(1，22),则Deq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）X)）等于（）A．4B．2C。eq\f（1，2)D．1D[因为X~N（1，22），所以D（X）＝4，所以Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）X))＝eq\f（1，4)D（X）＝1.］3．已知随机变量ξ服从正态分布N（0,σ2），若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2）＝()A．0.447 B．0.628C．0。954 D．0.977C［∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P（ξ>2）＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0。023。∴P(－2≤ξ≤2）＝1－2×0。023＝0。954。]4．随机变量ξ～N（2，10）,若ξ落在区间(－∞,k)和(k,＋∞)的概率相等，则k等于（)A．1 B．10C．2 D.eq\r(10)C［∵区间(－∞，k）和（k，＋∞)关于x＝k对称,所以x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2，故选C。］5．已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0，32),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（)(附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2)，则P（μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68。27％，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95。45%。)A．4.56％ B．13.59％C．27.18% D．31。74%B［由正态分布的概率公式知P（－3＜ξ＜3)＝0。6827,P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，故P（3＜ξ＜6）＝eq\f（P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3，2)＝eq\f(0.9545－0.6827，2)＝0.1359＝13。59％.]二、填空题6．若随机变量X~N(μ,σ2），则P(X≤μ)＝________.eq\f（1，2）［由于随机变量X~N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ）＝eq\f（1,2).］7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在（0，1］内取值的概率为0.4,则X在(0,2］内取值的概率为________．0.8[∵X～N(1，σ2），且P（0＜X≤1)＝0。4,∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1）＝0。8.］8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N（μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000个零件,不属于（μ－3σ，μ＋3σ）这个尺寸范围的零件可能有______________________________个．3［因为P（μ－3σ<ξ≤μ＋3σ）≈0。9973，所以不属于区间(μ－3σ,μ＋3σ）内的零点个数约为1000×（1－0.9973）＝2.7≈3个．］三、解答题9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布N（2,σ2）（σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0。2，求:(1)X在（0，4）内取值的概率;(2)P(X〉4)．[解]（1)由X～N(2，σ2），对称轴x＝2，画出示意图,因为P（0〈X<2)＝P(2<X〈4)，所以P(0〈X〈4)＝2P（0<X〈2)＝2×0。2＝0。4。(2)P(X>4)＝eq\f（1，2）[1－P(0〈X<4)］＝eq\f（1,2）（1－0。4)＝0。3。10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N（0,1。52）,如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm为合格品，求:（1）X的密度函数；（2）生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．[解］（1）根据题意，知X～N（0，1.52），即μ＝0,σ＝1。5，所以密度函数φ(x)＝eq\f(1,1。5\r（2π）)eeq\s\up10（－eq\f(x2,4.5)）。（2)设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P(｜X｜≤1。5）＝P(－1。5≤X≤1.5）＝0.6827,而Y～B（5，0.6827)，合格率不小于80%，即Y≥5×0。8＝4，所以P(Y≥4）＝P（Y＝4）＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(4，5）×0.68274×(1－0。6827）＋0。68275≈0。4929。1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为()附：若X～N（μ，σ2)，则P(μ－σ〈X≤μ＋σ）≈0。6827，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)≈0。9545.A．2387 B．2718C．3414 D．4777C[由P（－1〈X≤1）＝0。6827，得P(0〈X≤1)≈0。3414，则阴影部分的面积约为0.3414，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×eq\f（0.3414，1×1）＝3414。］2．已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X～N（110，25)．据此估计,大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内 B．(95,125]内C．（100，120]内 D．（105，115]内C[eq\f（57，60）＝0。95,故可得大约应有57人的分数在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间（110－2×5，110＋2×5］内．]3．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1）里的概率和落在区间（3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．1[由题意知区间(－3，－1）与（3，5）关于直线x＝μ对称,因为区间（－3，－1)和区间（3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]4．已知正态分布N（μ，σ2）的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r（2π）σ)·eeq\s\up10(eq\f（－x－μ2，2σ2))，x∈R的图象．给出以下四个命题：①对任意x∈R,f（μ＋x)＝f（μ－x)成立；②如果随机变量X服从N（μ,σ2)，且F(x)＝P(X<x),那么F（x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N（108,100），那么X的期望是108，标准差是100;④随机变量X服从N（μ,σ2）,P（X<1）＝eq\f（1，2），P（X〉2）＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）①②④［如果随机变量X~N(108，100)，所以μ＝108，σ2＝100,即σ＝10,故③错,又f(μ＋x)＝eq\f（1,\r(2π)σ）eeq\s\up10(－eq\f（μ＋x－μ2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π）σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2，2σ2)),f（μ－x）＝eq\f（1，\r(2π)σ)eeq\s\up10(eq\f(μ－x－μ2，2σ2）)＝eq\f（1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2,2σ2）)，故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确,故填①②④。]5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\o（x，\s\up6（－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2),其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－）），σ2近似为样本方差s2。①利用该正态分布,求P(187。8〈Z<212。2）；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187。8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X）．附：eq\r（150）≈12。2.若Z~N（μ，σ2)，则P（μ－σ〈Z〈μ＋σ)≈0。6827，P（μ－2σ<Z<μ＋2σ）≈0。9545。［解］(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\o（x，\s\up6（－）)和样本方差s2分别为eq\o（x，\s\up6（－)）＝170×0。02＋180×0。09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0。24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝（－30)2×0.02＋(－20）2×0。09＋(－10)2×0。22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.（2)①由(1）知，Z~N（200，150）,从而P(187。8<Z<212.2）＝P(2