2023高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.1正、余弦定理撬题理

PAGEPAGE32022高考数学异构异模复习考案第四章三角函数4.4.1正、余弦定理撬题理1．在△ABC中，假设sin2A＋sin2B<sin2C，那么△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案C解析由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2<c2.又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以三角形为钝角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，那么b＝________.答案1解析由sinB＝eq\f(1,2)得B＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，因为C＝eq\f(π,6)，所以B≠eq\f(5π,6)，所以B＝eq\f(π,6)，于是A＝eq\f(2π,3).由正弦定理，得eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(b,\f(1,2))，所以b＝1.3．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，那么AB的取值范围是________．答案(eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2))解析如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，那么四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，那么PB＝eq\f(BE,cos75°)＝eq\r(6)＋eq\r(2)；在△QBC中，由余弦定理QB2＝BC2＋QC2－2QC·BC·cos30°＝8－4eq\r(3)＝(eq\r(6)－eq\r(2))2，故QB＝eq\r(6)－eq\r(2)，所以AB的取值范围是(eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2))．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，那么a的值为________．答案8解析由cosA＝－eq\f(1,4)得sinA＝eq\f(\r(15),4)，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋2×24－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，故a＝8.5．a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，那么△ABC面积的最大值为________．答案eq\r(3)解析因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又0<A<π，故A＝eq\f(π,3)，因为cosA＝eq\f(1,2)＝eq\f(b2＋c2－4,2bc)≥eq\f(2bc－4,2bc)，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．由三角形面积公式知S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\r(3)，故△ABC面积的最大值为eq\r(3).6．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，那么eq\f(sin2A,sinC)＝________.答案1解析由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2×eq\f(sinA,sinC)×cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(3,4)＝1.7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.b－c＝eq\f(1,4)a,2sinB＝3sinC，那么cosA的值为________．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC，结合正弦定理得2b＝3c，又b－c＝eq\f(1,4)a，所以b＝eq\f(3,2)c，a＝2c.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)c))2＋c2－2c2),2×\f(3,2)c×c)＝－eq\f(1,4).8．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sin∠B,sin∠C)；(2)假设AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．解(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得eq\f(sin∠B,sin∠C)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD