河北省高碑店2021-2022学年高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的偶函数/'(幻，当时，/(x)="—三手，设a=/(ln0),b=/(、/^),c=/(ln¥),

则()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

2.曲线y=(ox+2)/在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+〃，则而二()

A.-4B.-8C.4D.8

3.已知正四面体ABC。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心，且而=x旃+y*+z而，%,y,z£R,则

x+y+z=（）

31

A.-B.-

43

11

C.一D.-

24

4.在平行四边形ABC。中，48=3,4。=2,4户=14反40=^415,若再.西=12,则乙4。。=()

5万c3兀C兀1、兀

A.—B.——C.—2U.一

6432

x-2,（x>10）

5.设/。）="…，则八5)=()

/[/（x+6）],（x<10）

A.10B.11C.12D.13

2.（2"+1）,

6,已知数列｛6,｝的通项公式是巴;

=nsinl---71\9贝!Jq+4+/+・一+%2=（）

A.0B.55C.66D.78

7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PA_L平面ABC,AABC是边长为2百的等边三角形，若球。

的表面积为20%,则直线PC与平面所成角的正切值为()

2

BD

4-Tc卡-T

8.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概

率是（）

1111

A.-B.—C.-D.一

3456

9.复数二”的虚部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

10.要得到函数y=；cosx的图象，只需将函数y=；sin（2x+g］的图象上所有点的（）

A.横坐标缩短到原来的1不（纵坐标不变），再向左平移Z彳T个单位长度

1兀

B.横坐标缩短到原来的一（纵坐标不变），再向右平移自个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移占个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移!■个单位长度

11.已知{4}为等差数列，若4=2%+1，%=2%+7,则牝=（）

A.1B.2C.3D.6

12.已知集合A={y|y=|xL1,xGR},B={x|x>2},则下列结论正确的是（）

A.-3GAB.3^BC.APB=BD.AUB=B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某部队在训练之余，由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人，组成3x3小方阵开展游戏，则来自同一队的战士

既不在同一行，也不在同一列的概率为.

14.从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第

一次抽得的卡片上数字整除的概率为.

15.（5分）在长方体A8C0-A4GA中，已知棱长43=1,体对角线两异面直线G。与4A所成的角

为45。，则该长方体的表面积是.

16.若函数/（x）=sin2x-百cos2x的图像向左平移g个单位得到函数g（x）的图像.则g（x）在区间-£，子上的

最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,NA0C=9O。，平面底面

ABCD,。为AZ＞的中点，M是棱PC上的点且PM=3MC,PA=PD=2,8C=-A0=1,CD=2.

2

（1）求证：平面PQBJ_平面以PAQ；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

18.（12分）设数列（-）的前-项和为-且--；--_+；，数列广、满足---，点-（--1在

I--j——c一口+J——一丁,i--J_I':，一口

二一二+2=0上，二6I''

（1）求数列｛二_｝,｛二一｝的通项公式;

（2）设_求数列［二的前二项和二一

19.（12分）已知｛4｝是各项都为正数的数列，其前〃项和为S,,,且S”为％与一的等差中项.

an

（1）求证：数列｛S,,2｝为等差数列；

（2）设么=上5-,求也｝的前100项和加.

%

20.（12分）已知函数/（幻=6、一/+2。+6（xeR）的图象在x=0处的切线为y=/zx（e为自然对数的底数）

（1）求。）的值；

（2）若AeZ,且，（幻+耳（3——5X—2Q20对任意xeR恒成立，求Z的最大值.

21.（12分）已知｛4｝是递增的等比数列，4=1,且2々、5%、4成等差数列.

（I）求数列｛《,｝的通项公式；

（II）设2=：；-------；-------,〃eN*，求数列也｝的前〃项和S“.

，，J

10g2a„+1-10g267„+3

1,

22.(10分)已知函数/(x)=e'-ac+5x2,其中[>—1.

(I)当。=1时，求函数/(x)的单调区间；

(D)设/i(x)=/(幻+奴一；/一]nx,求证：h(x)>2；

(III)若/(x)》gx2+%+〃对于xwR恒成立，求人一。的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据偶函数性质，可判断a，c关系；由x?O时，/(x)=e'-上f+二2A*，求得导函数，并构造函数g(x)=",

由g'(x)进而判断函数/(x)在0时的单调性，即可比较大小.

【详解】

/(x)为定义在R上的偶函数，

所以c=/In等卜(-卜母=/(ln码

所以a=c；

当x»0时，/(为=/_二2二

贝！J[(x)=e-—1,

令g(x)=6犬7-]

贝Ug'(x)="—1,当x2O时，g'(x)=e*—120,

贝必(%—%20时单调递增,

因为g(O)=e°—O—l=O,所以g(x)="-x-120,

即f'(x)=e'-x-1>Q,

-4-9Y

则/(幻="-土F在x20时单调递增，

而O<ln0<&，所以

/(lnV2)</(V2),

综上可知，/ln^^/(lnV2)</(V2)

即a=c<〃，

故选:B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

2.B

【解析】

求函数导数，利用切线斜率求出。，根据切线过点(0,2)求出b即可.

【详解】

因为y=(ax+2)e”,

所以y'=e'(ax+2+a),

故％=>'Lo=2+a=-2,

解得a=-At

又切线过点(0,2),

所以2=—2x0+/?,解得b=2,

所以必=—8,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.

3.A

【解析】

3

如图设"，平面BCD,球心。在AE上，根据正四面体的性质可得AO=-A/,根据平面向量的加法的几何意义,

4

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【详解】

如图设A/，平面BCD,球心。在A尸上，由正四面体的性质可得：三角形8CQ是正三角形,

在直角三角形RO8中,

OB'=OF2+BF2nOA2=(夸一AO)2+(y^)2nAO=当，

3___,________

AO^-AF,~AF=AB+BF>AF=Al5+DF>AF-AC+CF>因为尸为重心，因此而+FC+立i=6，则

4

.1/■..\13

3AF=AB+AC+AD>因此4。=一AB+4C+4。，因此x=y=z=-,则x+y+z=-,故选A.

4K'44

【点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

4.C

【解析】

..../.....I.

由CP=CB+BP=-AD——AB,CQ=CD+DQ=-AB——AD，利用平面向量的数量积运算,先求得NBAD=

323

利用平行四边形的性质可得结果.

【详解】

如图所示,

平行四边形A8CO中，AB=3,AD=2,

AP=-AB,AQ=^AD,

______9__

:.CP=CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因为赤•诙=12,

221----24—------

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=-X32+-X22+-X3X2XCOSZBA£>=12,

323

1Jt

cosABAD=-,：.ZBAD=—,

23

IT27r

所以NAOC=万—2=，,故选C.

33

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（1）平行四边

形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和）.

5.B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求应10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

x-2（x>10）

••・/⑸=Af（l）］

=/（9）=/［/,（15）］

=/（13）=1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

6.D

【解析】

2〃+1

先分»为奇数和偶数两种情况计算出sin--------兀的值，可进一步得到数列｛4｝的通项公式，然后代入

2

q+%+%+…+4?转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

sin(甲万＞"〃万+总="乃+£|=而与=7,

解：由题意得，当〃为奇数时,

"空乃卜in(m+3=sin>l

当〃为偶数时,

所以当〃为奇数时，%,=-〃2;当〃为偶数时，4=〃2,

所以4+%+%■)---《2

=-12+22-32+42-----112+122

=(22-12)+(42-32)+-+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

-2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

7.C

【解析】

设。为AB中点,先证明CO，平面弘8,得出NCPO为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD，得出结论.

【详解】

P

设。,E分别是AB,的中点AEA8=尸

•.•Q4_L平面ABC:.PALCD

•.♦AABC是等边三角形：.CD±AB

又P4n4?=A

\CC)A平面的，/。尸。为PC与平面Q钻所成的角

•「AA3C是边长为2百的等边三角形

2

CO=AE=3,AF=—AE=2且口为A43C所在截面圆的圆心

3

•••球。的表面积为207，球。的半径。4=行

:.OF=^O^-AF2=1

•.•44,平面ABC:.PA-2OF=2

:.PD=y/PAr+AD2=S

CD33不

tanNCPD=——

PD

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

8.D

【解析】

先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事

件的种数，利用古典概型的概率公式求解.

【详解】

甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，

其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，

所以甲第一个到、丙第三个到的概率是

6

故选：D

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

9.C

【解析】

,5i5/(1-20等=2+，,所以居的虚部是1

故选C.

因为—1+2;=(l7+2Lz)(l-2」z)、

10.C

【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.

【详解】

=，sin[x+四]

为得到？=5。。5尤2I2)

将y=；sin[2x+横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

式

故可得y=]SinX4---

3

再将y=；sin(x+?)向左平移弓个单位长度，

­1.(7in\1.(%)1

故可得y=7；sin|x+—+—=—sinx+—~—cosx.

2I3oJ2I2)2

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.

11.B

【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a$.

【详解】

同｝为等差数列，a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a1+d=2(a[+2d)+1

e，[a,+3d=2(a,+2d)+7'

解得a】=-10,d=3,

:.a5=a1+4d=-10+11=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.C

【解析】

试题分析：集合A={y|yN-l}.♦.8=A，AcB=B

考点：集合间的关系

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.

140

【解析】

分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.

【详解】

首先，第一行队伍的排法有A；种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的

人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有1x1x1种.所以

=42.CCCC；C；C；

来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率尸

140

故答案为：——.

140

【点睛】

本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.

1

14.-

2

【解析】

基本事件总数〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求

出概率.

【详解】

解：从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张,

基本事件总数〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

O1

所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为P=T7=-.

故答案为1.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.

15.10

【解析】

作出长方体ABC。/14GA如图所示，由于AA〃R。，则NCQR就是异面直线G。与A4所成的角，且

NCQD|=45。，在等腰直角三角形G。力中，由CQ=48=1,得。Q=l,又AC=在工逅?二指，则4。=2,

从而长方体ABCD-A,B]CR的表面积为2x(lxl+lx2+2xl)=10.

16.一也

【解析】

注意平移是针对自变量X,所以g(x)=/(x+g7)T=2sin(2xT-TW),再利用整体换元法求值域(最值)即可.

o12

【详解】

7171TC713乃兀兀27r

2sin[2(x+-)--]-2sin(2x--),又XG，故2x一有w[-7,丁],

o312l_KK」1233

2sin(2x[-6,2],所以g(x)的最小值为_垂).

故答案为：.

【点睛】

本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)30。.

【解析】

（1）推导出8//BQ,QB1AD,从而8QL平面PA0,由此证明平面PQB，平面以9。

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角"-8Q-C的大小.

【详解】

解：（1）AD〃BC,BC=^AD,。为的中点，

二四边形BCDQ为平行四边形，二CD//BQ.

vZA£）C=90°,.,•^AQB=90°,即

又・平面RS，平面ABC。，且平面24。A平面ABC。=4），

BQJ_平面PAD.

•••BQu平面P08,

•••平面平面PAQ.

（2）-/PA=PD,。为AO的中点，

PQ1AD.

••・平面Q4£>J_平面ABCO,且平面PAOn平面ABCD=AD,

PQ，平面ABC。.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则平面BQC的一个法向量为n=（0,0,1）,

2（0,0,0）,网0,0,@,B（0,2,0）,C（-l,2,0）,

设M（x,y,z）,则PM=（x,y,z-G）,MC=（-l-x,2-y,-z）,

PM=3MC>

x—3(—1—x)

，y=3(2-y),

z—5/3=—3z

3

x=——

4

3

V3

Z-——

4

_33叵

在平面中，()西=

M8Q9=0,2,0,~~~,~9~~9

424J

设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),

2y=0

m-QB=0

则，即〈336，、，

m-QM=0——x+—y+——z=0

I42.4

:•平面MQB的一个法向量为m=(1,0,百,

./_一\(1,0,73).(0,0,1)73

一cos----------------------=——'

22

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

18.(1)二二=3j二二=1+(二-J>2=2二

【解析】

(1)利用-_与--的递推关系可以--的通项公式；-点代入直线方程得-一，_-_=、，可知数列厂_、是等差数列,

用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.

【详解】

。)由二二U=2二匚+/可得口口=2二二-+/(□>2)，

两式相减得---二二+[=3二二(二2

又二、=二二+1=产所以二.=3二1故｛二一:是首项为1，公比为3的等比数列•所以二_=3二々.

由点二（二二，二二+Q在直线二一二+2=。上，所以二二+/-二二=

则数列｛二7是首项为1,公差为2的等差数列.则二_=j+（二_1）.二=二二一］

-,因为-...»所以，^：—,•

l口二/，一/L_I_JJ-/

-==—=-r_-=f十一？十一s十…十・一，

7^D=p+/+p+-+—+—

两式相减得:

।J，J，।JJLJ-J

Un=:+不+…+TTTF.........-

LI3r3..尸

所以一

【点睛】

用递推关系二_=二__二一;（二之二求通项公式时注意二的取值范围，所求结果要注意检验二=二的情况；由一个等差数

列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.

19.（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

（1）利用已知条件化简出2s“凡一。“2=1,当〃=1时，H=l,当“22时，再利用a,,=S“一S'-进行化简，得出

5/-S,,.,2=1,（»>2）,即可证明出｛S,：｝为等差数列；

（2）根据（1）中，求出数列｛4｝的通项公式为=册-JF,再化简出

b„=9匕=/㈠？=（一D"（4+标方），可直接求出也｝的前100项和小.

an7n7n-T

【详解】

解：（1）由题意知2s“=4+」-,即2s“%—4：=i,①

当”=1时，由①式可得E=1

又〃22时，有a“=S”—S,i，

代入①式得2s.(S„-S„_t)-(Sn-%『=1,

整理得S“2-S“T2=I,(〃N2),

{S:}是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可得S/=1+〃-1=〃，

•••{4}是各项都为正数，S,=&,

，an=Sn-=G7n-殴n>2),

又4=£=1,

:.an—4n-y]n-\,

=(-1)"(VH+

则bn==/(?y/n-1),

any/n-yjn-l

.­.7；„,=-l+(V2+l)-(^+V2)+----(x/100-l+7100-2)+(7100+Vux)-i)

=Vwo=io,

即：(00=10.

.,•{〃}的前100项和7^=10.

【点睛】

本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.

20.(l)a=-l,b=l;(2)-l.

【解析】

⑴对/(X)求导得/'(x)=e'-2x,根据函数/(X)的图象在x=o处的切线为y=版，列出方程组，即可求出。力

的值；(2)由(1)可得/(x)=e，一f一1,根据〃力+5(3/一5%-2k"0对任意工€??恒成立，等价于

女《/+(工2一^^一1对任意恒成立，构造〃(x)="+gx2__|x-l,求出〃'(x)的单调性，由〃'(())<0,

“⑴>0,呜

<0,可得存在唯一的零点看€使得〃'(占)=0,利用单调性可求出

//(xL=〃(％)，即可求出攵的最大值.

(1)/(x)=ev-x2+2〃+b,=-2x.

'/•(O)=l+2a+Z?=O

由题意知：l，(O)=j=Cl——1

b=1

(2)由(1)知：/(x)=e*-£-i,

一51一2左）20对任意》€/?恒成立

0/+工/一3%一1一人20对任意工€氏恒成立

22

1,5

=kMe'+-x一一x-1对任意xeR恒成立.

22

令/z(x)=e*+gx2-gx-1,贝！j“(x)=eX+x-；.

由于/(x)="+1>0,所以〃'(x)在R上单调递增.

又“(0)=_g<0,“(l)=e_|>0,呜卜混一2<0,"图=/_(〉]+?_：=0,

23

所以存在唯一的与e，使得〃(%)=0,且当XG(-00,Xo)时,〃'(x)<o,%€(%,+8)时，”(同>0.即

254

在（-0。,天）单调递减，在（不，+8）上单调递增.

所以〃（x）min=〃（Xo）=e"+gx：_|xo_L

f

又〃'（5）=（）,即e%+x°=0,e°=^--x0.

〃（％）=|'一/+3%；一|'%0-1=；（片一7七+3）.

27」

；xeA(x)6

0o32，-8

又因为ZWe'+g/—|X一1对任意恒成立一攵〈〃（%）,

又kwZ，：.kmaK=-l.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得

出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

〃

,c32+3

21.(D«„=2-5(n)5fl=-2(〃+])(〃+2)・

【解析】

(i)设等比数列｛““｝的公比为4,根据题中条件求出q的值，结合等比数列的通项公式可得出数列｛4｝的通项公式;

(H)求得勿=：(，-一]],然后利用裂项相消法可求得S“.

n〃+2

【详解】

(I)设数列｛q｝的公比为由题意及q=1,知4>1.

3

2a2、彳4、4成等差数列成等差数列，，3。3=%+2/，••・3d=/+2q,

即/-3q+2=0,解得4=2或q=l(舍去)，.・.4=2.

数列｛4｝的通项公式为《,=q/i=2"一

log2a„+1-log2tzn+3〃(〃+2)2n〃+2

+…+

n〃+2

_j_<3__1___1>3\(11>_3_2/2+3

212〃+1n+2)42(〃+1n+2)42(n+l)(n+2)*

【点睛】

本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.

22.(I)函数/(X)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(一8,0)；(II)证明见解析；(HI)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求导可得r'(x)=e'+l>0,所以r(x)在R上为增函数，进而可得