独立性检验教学设计人教B版高二选择性必修

独立性检验本节课选自《2022人教B版高中数学选择性必修第二册》，第四章《概率与统计》，本节课主要学习独立性检验前面已经学习了基本获取样本数据的方法，从样本数据中提取信息的方法，也掌握了相互独立事件的概率计算，独立性检验是统计中的新增内容，课堂趣味性较强，充分体现了数学在实际生活中的应用，对于提高学生应用意识和数学建模思想有重要意义。课程目标学科素养A.通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.B.通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力.1.数学抽象：独立性检验2.逻辑推理：独立性检验的思想方法3.数学运算：独立检验的运用4.数学建模：模型化思想重点：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的应用.难点：独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标探究新知任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)这三者的准确值吗？（2）如果要判断A与B是否独立，该怎么办？假设：通过调查，我们获取了下述数据：抽查了110人，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有60人，其中女生有20人.为了方便起见，请同学们把数据整理成表格形式.因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表.喜欢长跑不喜欢长跑总计女203050男402060总计6050110则；喜欢长跑的概率P(A是女生的概率P(B喜欢长跑且是女生的概率P(AB）此时，可以利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立吗？为什么？因为P(A)，P(B)，P(AB)都是根据样本数据得到的估计值，而估计是有误差的，因此直接用是否成立来判断A与B是否独立是不合理的.但是，如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值.这是从统计意义上做出的合理推断.即尽管随机性会对数据的准确性带来影响，但理论上，如果A与B是独立的，则这种影响也一定不会太大。这是独立性检验的基本思想.因此，从理论上可知，喜欢长跑的女生数可以怎样估计？而实际上，喜欢长跑的女生数可以怎样表示？问题：现在算出的值大于，所以若A与B独立，则该事件发生的概率是多少？若A与B独立（即“喜欢长跑”与“是女生”独立），则我们观察到了一件概率不超过1%的事件.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立（也称为是否喜欢长跑与性别有关）；或有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.上述1%通常称为显著性水平，而称为显著性水平1%所对应的分位数.一般情况下，如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.AA总计Baba+bBcdc+d总计a+cb+da+b+c+d这四个数的和不会太大.独立性检验1.如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下:记n=a+b+c+d.统计学中有一个非常有用的统计量χ2(读作“卡方”).

A总计Baba+b

cdc+d总计a+cb+da+b+c+d它的表达式是χ2=n(2.任意给定一个α(称为显著性水平,通常取为,等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).χ2是一个随机变量,其分布能够求出,上面的概率是可以计算的.因此,如果根据样本数据算出χ2的值后,发现χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过α的前提下,可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立,就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验.与B独立时,也称为A与B无关.当χ2<k成立时,一般不直接说A与B无关,也就是说,独立性检验通常得到的结果,或者是有1-α的把握认为A与B有关,或者没有1-α的把握认为A与B有关.4.独立性的判断方法(1)当χ2<时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;(2)当χ2≥时,有90%的把握判定变量A,B有关联;(3)当χ2≥时,有95%的把握判定变量A,B有关联;(4)当χ2≥时,有99%的把握判定变量A,B有关联.1.分类变量X和Y的2×2列联表如下,则()A.其他值一定时,ad-bc越小,说明X与Y的关系越弱B.其他值一定时,ad-bc越大,说明X与Y的关系越强C.其他值一定时,(ad-bc)2越大,说明X与Y的关系越强D.其他值一定时,(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关系越强

Y1Y2总计X1aba+bX2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d解析:由χ2=n(ad-bc)2(越大,则χ2的值越大,则X与Y的关系越强,故选C.答案:C二、典例解析例1.为了了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构得到了如下调查数据.幸福感强幸福感弱总计阅读量多541872阅读量少364278总计9060150根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？解：由题意可知，又因为查表可得由于，所以在犯错概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关.例2报刊对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示.喜欢书法不喜欢书法男学生2432女学生1624根据调查数据回答：有95%的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？解：由题意可知，又因为，而且查表可得所以没有的把握认为性别与是否喜欢书法有关.，1.利用χ2进行独立性检验的步骤(1)列表:列出2×2列联表;(2)求值:求出χ2;(3)判断:与临界值比较,作出判断.2.独立性检验的必要性列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,它具有随机性,所以只能利用列联表的数据和等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系.而χ2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准.利用它能精确判断两个分类变量是否有关系的可靠程度.跟踪训练1.为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,某同学调查了361名高二在校学生,调查结果如下:理科对外语有兴趣的有138人,无兴趣的有98人,文科对外语有兴趣的有73人,无兴趣的有52人.能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”?解:根据题目所给的数据得到如下列联表:根据列联表中数据由公式计算得随机变量的观测值因为×10-4<,所以在犯错误的概率不超过的前提下,不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”.

理科文科总计有兴趣13873211无兴趣9852150总计236125361χ2=361×(138×52-73×98)2通过具体情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而获得独立性检验的概念。通过问题引导、分析解决，帮助学生理解独立性检验的思想方法，并能在具体情境中解释值的含义，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析解决，提升学生独立性检验的理解和运用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。达标检测1.给出下列实际问题:①一种药物对某种病的治愈率;②两种药物治疗同一种病是否有区别;③吸烟者得肺病的概率;④吸烟是否与性别有关系;⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系.其中用独立性检验可以解决的问题有()A.①②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤解析:独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法,而①③都是概率问题,不能用独立性检验解决.答案:B2.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:下列叙述中,正确的是()A.有99%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”B.有95%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”C.有99%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关系”D.有95%的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”

认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450计算得χ2=50×(18×15-答案:D3.某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到因为>,所以有的把握判定主修统计专业与性别有关系.

专业性别非统计专业统计专业男1310女720χ2=50×(13×20答案:95%4.调查者通过询问72名男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:大学生的性别和是否看营养说明之间(填“有”或“没有”)关系.

看营养说明不看营养说明总计男大学生28836女大学生162036总计442872答案:有5.随着工业化以及城市车辆的增加,城市的空气污染越来越严重,空气质量指数API一直居高不下,对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康情况,得到2×2列联表如下:

室外工作室内工作总计有呼吸系统疾病150

无呼吸系统疾病

100

总计200

(1)补全2×2列联表;(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关?(3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中随机地抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率.解:(1)列联表如下:所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.

室外工作室内工作总计有呼吸系统疾病150200350无呼吸系统疾病50100150总计200300500(2)χ2=500×(150×100-(3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名,其中有呼吸系统疾病的抽4人,无呼吸系统疾病的抽2人,设A为“从中随机地抽取两人,两人都有呼吸系统疾病”,则P(A)=C4通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。课后通过对教学过程的反思与研究,才能不断完善教学设计