极坐标系方程

关于极坐标系方程第1页，共27页，2023年，2月20日，星期四从这向南5000米。请问：去万里怎么走？第2页，共27页，2023年，2月20日，星期四请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向南走5000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。第3页，共27页，2023年，2月20日，星期四一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO第4页，共27页，2023年，2月20日，星期四二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。第5页，共27页，2023年，2月20日，星期四①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？第6页，共27页，2023年，2月20日，星期四三、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角第7页，共27页，2023年，2月20日，星期四四、1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM第8页，共27页，2023年，2月20日，星期四OXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3第9页，共27页，2023年，2月20日，星期四四、3、负极径的实质

从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM

而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。第10页，共27页，2023年，2月20日，星期四六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…第11页，共27页，2023年，2月20日，星期四一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.第12页，共27页，2023年，2月20日，星期四曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。

则曲线Ｃ的方程是f(,)=0。第13页，共27页，2023年，2月20日，星期四探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)O第14页，共27页，2023年，2月20日，星期四题组练习1求下列圆的极坐标方程(１)中心在极点，半径为2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+0

2-20cos(-０)=r2第15页，共27页，2023年，2月20日，星期四

极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少练习2第16页，共27页，2023年，2月20日，星期四练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是C第17页，共27页，2023年，2月20日，星期四练习4曲线关于极轴对称的曲线是：C第18页，共27页，2023年，2月20日，星期四例题1：求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。oMx﹚分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为新课讲授第19页，共27页，2023年，2月20日，星期四1、求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。易得思考：2、求过极点，倾角为的直线的极坐标方程。第20页，共27页，2023年，2月20日，星期四和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或第21页，共27页，2023年，2月20日，星期四例题2求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OMox﹚AM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。第22页，共27页，2023年，2月20日，星期四求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。第23页，共27页，2023年，2月20日，星期四练习：设点P的极坐标为A，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。解：如图，设点为直线上异于的点连接OM，﹚oMxA在中有即显然A点也满足上方程。第24页，共27页，2023年，2月20日，星期四例题3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚第25页，共27页，2023年，2月20日，星期