数学建模 种群模型

关于数学建模种群模型数学建模种群模型1第1页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模2种群模型第三讲种群模型【主要内容】

介绍动物群体的种群模型，包括单种群模型、多种群模型。【主要目的】

了解微分方程稳定性理论在数学建模中的应用。

建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。第2页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模3种群模型

单种群模型

本节介绍Malthus模型、Logistic模型及可开发的单种群模型，应用微分方程的数学工具来研究种群的增长与变化规律。

第3页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模4种群模型

1.1Malthus模型

设

p(t)——一给定的物种在时刻t的总数

r(t,p)——该物种在时刻t出生率与死亡率之差，称为自然增长率。假设r

为常数，则种群的增长规律可以用以下微分方程表出

（1）

第4页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模5种群模型

上式称为单一种群的Malthus模型，若设初值为

p(t0)=p0,则（1）式的解为

由于其增长形式为指数形式，故该模型又称为指数增长模型。

第5页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模6种群模型1.2Logistic模型

Malthus模型的不合理性在于，它没有反映出这样的事实，即当种群群体庞大到一定程度时，群体中个体之间要为有限的生存空间及资源而进行竞争。因此线性微分方程（1）必须再加上一个竞争项。有人用某种昆虫做实验，结果表明，单位时间内两个成员发生冲突的次数的统计平均与p2成比例，故这个竞争项的一个合理的选择是-bp2，其中b是常数。第6页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模7种群模型

此模型称为阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家Verhulst在1837年提出的，又称为Logistic模型。

当初值p(t0)=p0给定时，（3）的解为

其变化曲线见下图。

第7页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模8种群模型

注意到

于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于极限值

r/b,这个极限值的实际意义是环境资源对该种群的最大容纳量，记N=

r/b,则方程（3）可以写为更常见的形式第8页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模9种群模型

其中r是固有增长率，N是环境资源对该种群的最大容量。

有人曾用上述Logistic模型对

1790～1950年美国人口的数量作过预测，与实际数据相当吻合，误差不超过

2.5%。第9页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模10种群模型1.3可开发的单种群模型考察一个渔场，我们要建立一个在有捕捞条件下鱼的总量所满足的方程，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量最大。

模型假设

记t时刻渔场鱼的总量为p(t)，r为固有增长率，N为环境资源允许的最大鱼量。第10页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模11种群模型1)在无捕捞条件下，p(t)服从

Logistic模型

2)单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比，比例系数为k

，表示单位时间捕捞率。于是第11页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模12种群模型

模型建立

，则在有捕捞条件下渔场鱼量的增长模型为

第12页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模13种群模型

模型讨论

由本问题的目标出发，我们关心的是渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，而不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程

(7)的平衡点并分析其稳定性。

平衡点：满足的点称为方程

(7)的平衡点。第13页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模14种群模型解得

(7)的两个平衡点为：容易算出:

第14页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模15种群模型

称平衡点p*

是稳定的是指：对方程

(7)的任一个解p=p(t)

，恒有

判断平衡点p*

是否稳定，可以通过（8）式判别，但这需要解方程（7）。

另一种判别法是根据一阶近似方程判断：

第15页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模16种群模型

近似方程

(9)的一般解为：于是有下述结论：，则p*

是稳定平衡点。，则p*

不是稳定平衡点。

第16页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模17种群模型回到我们的问题，由于所以，•

当k<r

时，是稳定平衡点,p1不是；•

当k>r

时，是稳定平衡点,p0不是；第17页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模18种群模型

结果分析

当捕捞适度(即：k<r)时,可使渔场产量稳定在

从而获得持续产量h(p0)=kp0

。而当捕捞过度（即：k>r）时，渔场产量将减至p1=

0

，破坏性捕捞，从而是不可持续的。第18页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模19种群模型

进一步讨论

如何控制捕捞强度k,

使得持续产量

h(p0)=kp0

最大？

第19页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模20种群模型对应的

结论

控制捕捞强度k=r/2

，使渔场产量pm保持在最大鱼量N

的一半时，可以获得最大的持续产量hm=rN/4。

第20页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模21种群模型

多种群模型

多种群模型包含相互竞争模型、相互依存模型及弱肉强食模型，前两个模型可以统一用微分方程组描述为

第21页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模22种群模型

在该系统中，α，β的不同取值便决定了这两个种群的不同关系。α，β>0，表示该模型为种群间相互竞争模型；α，β<0，则意味着该模型为种群间相互依存模型。若α·β<0,则该模型可变化为弱肉强食模型，我们在这里只讨论第三种模型的建立及解的表现。第22页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模23种群模型

先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程组

二元方程组

的根称为微分方程组（11）的平衡点。

第23页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模24种群模型

设(x*,y*)

是方程组（11）的一个平衡点

,令将P(x,y),Q(x,y)

在(x*,y*)

附近展开，略去高阶项，可得近似线性系统：

第24页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模25种群模型

设系数矩阵

的特征根为λ1，λ

2，则有以下结论：①λ1

，λ

2是同号实数时：

λi<0

(x*,y*)

是稳定点；

λi>0

(x*,y*)

不是稳定点。②λ1

，λ

2是异号实数时，

(x*,y*)点不是稳定点，称为鞍点。第25页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模26种群模型③λ1

，λ

2是共轭复数时：

λ1

，2

＝

a±bi

a<0(x*,y*)

是稳定点；

a>0(x*,y*)不

是稳定点。微分方程组（11）的平衡点(x*,y*)

的稳定性，可以应用上述三条结论判定。第26页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模27种群模型

弱肉强食模型

弱肉强食模型，生态学上称为食饵（Prey）—捕食者（Predater）系统，简称为P—P系统。二十世纪20年代中期，意大利生物学家D’Ancona研究鱼类种群间的制约关系。在研究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明显的提高（见下表）。第27页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模28种群模型

他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学家V.Volterra，希望他能帮助建立一个P—P系统的数学模型，来解释这种现象。

模型建立（Volterra模型）

设食饵数量为x1(t)

，捕食者数量为x2(t)

。

年份191419151916191719181919192019211922鲨鱼比例11.921.422.121.236.427.316.015.914.8第28页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模29种群模型

第一步：只考虑食饵。假定大海的资源非常丰富，食饵之间不存在竞争，则x1(t)

将以固有增长率r1

的速度无限增长，即：x1’=r1

x1.

第二步：考虑到捕食者的存在，食饵的增长将受到限制，设降低的程度与捕食者数量成正比,

即：

x1’=x1(r1–α1x2)

(14)比例系数α1

反映捕食者的捕食能力。第29页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模30种群模型

第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为r2

(>0)

，则x2’=－r2x2

。而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡率降低，促进了其增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是：

x2’=x2(-r2

＋α2x1)

(15)

比例系数α2

反映食饵对捕食者的供养能力。方程（14）、（15）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间的影响关系。第30页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模31种群模型模型分析

解方程组

x1(r1–α1x2)=0x2(-r2

＋α2x1)=0得到方程组（14）、（15）的平衡点为仍用线性化的方法研究平衡点的稳定性。第31页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模32种群模型对于P1(0,0)点

,

两个特征根为异号实数，故P1(0,0)点不稳定。第32页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模33种群模型

对于：特征方程为此时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直接判断平衡点稳定性。为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空间中去分析解轨迹的图形。在（14）、（15）中消去dt

，得：

第33页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模34种群模型第34页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模35种群模型定理

当x1,x2>0

时，方程

定义了一族封闭曲线。第35页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模36种群模型

P0T1T2T2T2第36页，共41页，2023年，2月20日，星期四数学建模37种群模型轨线是一族以平衡点P0

为中心的封闭曲线,方向为逆时针方向（由导数符号确定）。封闭轨线对应着方程(16)的周期解

,所以P0

是不稳定的，我们用一个周期内的平均值作为食饵与捕食者的近似值。

第37页，共