湖南省长沙市2023届高三上学期入学摸底考试数学试题及答案

2023届新高三入学摸底考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合〃=打€中2—4%<0},8={-1,0,1,2,3},则48=()

A.{0,1,2,3)B.{0,1,2,3,4)

C.{-1,0,1,2,3)D.{-1,0,1,2,3,4)

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合A再与集合3求交集可得答案.

【详解】解不等式》2-4xW0得0令W4,又xeZ,所以4={0,1,2,3,4},

所以4c6={0,1,2,3}.

故选：A.

2.若复数z满足|z-(2+i)|=JlU,其中i是虚数单位，则zS的值为()

A.五B.2C.73D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得目=J5,设2=。+研”/62，化简计算可得.

【详解】因为,(2+可=|z12+i卜石|z|=JIU,所以|z|=J5,故设z=a+bi(a,beR),则

y/a2+b2=V2>所以zN=(a+bi)(a-bi)=/+〃=|z『=2.

故选：B.

22

3.已知双曲线C：=一4=1(a>o,b>0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为()

a"b~

A.V2B.百C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得2=2,又因为°2=/+〃，计算得到g=后.

aa

22

【详解】因为双曲线C:二上=l的一条渐近线为y=2x,所以2=2,

aa

故选：D.

4.已知/(x)是定义在K上的奇函数，/(x—1)为偶函数，且当0<x41时，/(x)=log2lx,则

/(21)=()

A.-1B.0C.log,3D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性的性质化简可得/(x)是以4为周期的函数，即可求出.

【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数，故可得/")=一/(—X),

又/'(x—l)为偶函数，故可得/(x_l)=/(_x_l)=_/(x+l),

则〃X)=_/(X+2)=_[—/(X+4)]=/(X+4),故/(X)以4为周期，

故〃21)=〃1)=1暇2=1.

故选：D.

5.每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有

45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每

天操作电子产品不超过lh的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为()

731

A.—B.—C.—D.一

168164

【答案】A

【解析】

【分析】令事件4="玩手机时间超过lh的学生”，4=”玩手机时间不超过lh的学生“，8=”任意调查

一人，此人近视”,则由尸(8)=尸(4)尸(5l4)+P(4)产(剂4)可求出.

【详解】令事件4=''玩手机时间超过lh的学生”，4=”玩手机时间不超过lh的学生"，8=''任意调查

一人，此人近视“，则样本空间。=4口4,且4,4互斥，

尸（4）=0.2,P（4）=0.8,P（5|4）=O.5,p（5）=0.45,

依题意，尸（8）=尸（4）尸（P4）+尸（4）尸（8l4）=0・2X0.5+0.8XP（3|4）=045,

77

解得P（面4）=而，所以所求近视的概率为正.

故选：A.

6.已知点/为圆台下底面圆02的圆周上一点，S为上底面圆01的圆周上一点，月.SO|=1,<9,02=

G，OM=2,记直线”与直线。。2所成角为。，则（）

A.^efo,-lB.C.9^-,-717t

D.<9e

l6」I3」[63j~4~2

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面角的定义确定再根据圆的性质计算得解.

【详解】由题意，设上、下底面半径分别为4,4，其中4=1,&=2,

如图，过S作必垂直下底面于。，则

所以直线S4与直线所成角即为直线S/与直线SD所成角，即ZASD=0,

AD_AD

而tan。=3,

~SD~l/3,由圆的性质，1=用一OiDWADWO^D+R2

71兀

,所以

6

故选：c.

7.已知函数/(x)=2sin(2x-q1,若方程/(x)=|■在(0,兀)的解为为，x2(x,<x2),则

sin(x1-x2)=()

A2V2R2V2[n_1

3333

【答案】A

【解析】

【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得土产=1|,进而可得sin(%-X2)=-cos(2X1-g),明

确玉的范围得到结果.

冗f乃54।(4\]

【详解】因为XW(0,TT),所以2%一§wJ,又因为玉户2是sin[2T一]的两根,

结合图象可知------=---»所以迎=----玉，

2126

5万

所以sin（M-/）又因为玉<x,x=---x,

22~6l

所以0＜的＜^，所以2芭—34一三,/),所以cos(2XI—q)=半

故选：A.

8.2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，

建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点4B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直

方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的

安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44。.若还要兼顾滑道的美观性与

滑雪者的滑雪体验，则48两点在水平方向的距离约为()

A

A.23mB.25mC.27mD.29m

【答案】D

【解析】

【分析】以滑道的最陡处为原点。建立平面直角坐标系，由题意可知，。为的中点，设三次函数的解

析式为了卜卜尔+加+5，其中a/0,设点”(一/,10),则6(5,-10),在滑道最陡处，x=0,

可求得6=0,在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为。，由图可得由图可知

(,1

-=0

•0，解方程组可得答案

/(x)=ax3-=-10

I00tana

【详解】以滑道的最陡处为原点。建立平面直角坐标系，由题意可知，。为的中点,

设三次函数的解析式为/(x)=+bx2+CX,其中a。0,

设点/(-Xo，lO),则3(%,-10),f'[x)=3ax~+2bx+c,

在滑道最陡处，x=0,则/>'(x)的对称轴为直线x=0,则一一=0,可得6=0,

3a

则/'(X)=3(2X2+c,/(x)=ax3+cx,

在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为。，则

.(乃)

/、sina+—

,，小,(\I2)cosa1

f(0)=c=tana+—=----7-------=-----------=---------,

[2)।sinatana

cosa+

I2)

YI

所以f(^}=ax3--------,/7x)=3ax2---------

tanatana

/"(%)=3叫02------1--=0

tancr

由图可知<可得2玉)=30tana,,

f(x)=axo---=-10

otana

因为a«44°，则2/=30tana«28.97«29(m).

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布

或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚

丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某

企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X~N（0.9372,0.01392）.则下列结论正确的是

（）

（参考数据:若X〜则尸（〃-2cr<XK〃+2b）=0.9545,

P（〃-3b<X4〃+3cr）=0.9973,O.9772550«0.3164.）

A,尸（X40.9）<0.5

B,P（X>0.9789）=0.00135

C,P（X<0.4）<P（X>1.5）

D.假设生产状态正常，记y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2cr的数量，则

尸（丫21）=0.6836

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意可得〃=0.9372,<7=0.0139,然后根据正态分布的性质逐个分析判断即可

【详解】由题意可知，正态分布的〃=0.9372,b=0.0139.

选项A,因为0.9<〃，所以P（XW0.9）<P（XW〃）=0.5,故A正确；

选项B,因为尸（X>0.9789）=P（X>4+3。），且尸（〃一3。<工於〃+3。）=0.9973,

1-09973

所以P（X>0.9789）=---=0.00135,故B正确；

选项C,因为一0.4|<|1.5-“,0.4<〃<1.5,所以P（X<0.4）>P（X>1.5）,故C错误;

1-09545

选项D,因为一只口罩过滤率小于等于〃+2b的概率为0.9545+二^——=0.97725,

2

又因为=1—P（Y=0）=1—0.977255。=0.6836,故D正确.

故选：ABD.

10.已知〃（%以），8（马必）是圆。：/+/=]上两点，则下列结论正确的是（）

A.若|1倒=1,则=W

B.若点。到直线AB的距离为g,则*

C.若ZAOB=],则卜+弘一1|+|x2+%-1|的最大值为2近

D.若乙AOB=g,则卜+y-l|+W+y2Tl的最大值为4

【答案】AD

【解析】

【分析】对于选项A,B,根据垂径定理可判断，对于选项C,D,根据点到直线的距离公式可求解判断.

故A正确;

若点。到直线48的距离为贝IJ可知增=1,从而得故B错误;

对于B,

|须+乂一”，卜2+为一1|

对于C,D,的值可转化为单位圆上的/（石,凹）,8（々,外）两点到直线

&0

x+y-l=0的距离之和，又NAOB=90°，所以三角形ZO8是等腰直角三角形，设M是的中点,

则0A/143,且|0闾=也|。〃|=¥，则加在以。点为圆心，半径为也的圆上，48两点到直线

x+y—1=0的距离之和为Z8的中点/到直线x+y-\=O的距离的两倍.

点。（0,0）到直线x+y—1=0的距离为击=乎,

所以点M到直线x+y-i=o的距离的最大值为也+也=J5,

22

所以修

卜2缓_的最大值为2亚.因此ki+必-1|+|x2+j^2-1|的最大值为

4.从而可知C错误，D正确..

11.已知定义在R上的偶函数/（X）,其导函数为/'（X）,当xNO时，/'（x）+sin2x<0.则（）

A.函数8（刀）=/'（》）一（；052%的图象关于^轴对称

B.函数g（X）=/（X）—cos?X在区间[0,+。）上单调递减

C.不等式/（力-/1+|^<352%的解集为18,_7）

D.不等式/（X）-/[x+1^<cos2x的解集为（-?,+oo]

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于选项A,由函数的奇偶性的定义可判断；对于选项B,当x》0时，求导函数g'（x）,判断其

符号，再根据偶函数的性质得出g（x）的单调性.对于选项C、D,将不等式化为

/(x+/J-cos?(x+/J>/(x)-cos2x,即g[x+|J>g(x).根据函数g(x)的奇偶性和单调性可求

解.

【详解】解：对于选项A,由g(-x)=/(-x)-cos2(-x)=/(x)—cos2x,所以g(x)为偶函数，

所以函数g(x)=/(x)-cos?》的图象关于y轴对称.故A正确；

对于选项B,由g(x)=/(x)-cos2x为偶函数.当珍0时，g'(x)=/'(x)+sin2x<0,

所以g(x)在[0,+巧上单调递减，故g(x)在(-8,0]上单调递增.故B正确；

对于C、D选项，由/(x)-/[x+、)<cos2x,得/(x)-/[x+])<cos2x-sin2x,

所以-sin?x>/(x)-cos2x,即+-cos2，

所以g(x+g〉g(x).所以x+g<国，解得x<_三.

\2y24

所以C正确，D错误，

故选：ABC.

12.已知椭圆C工+《=1(。>2)的离心率为也，过点P(1,1)的直线与椭圆C交于4B两

a23

点，且满足方=/1万.动点。满足而=-/1丽，则下列结论正确的是()

A.a=3

B.动点。的轨迹方程为2x+3y-6=0

C.线段。。(。为坐标原点)长度的最小值为竺1

13

D.线段。。(。为坐标原点)长度的最小值为g叵

13

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：利用离心率直接求出a=3；对于B：设/(%,乂),8(々,必),。(加,〃),进行向量坐标

n711

化，整理化简得到§+万=1,即可判断出动点。的轨迹方程为直线2x+3y-6=0,故B正确；

对于C、D：求出线段。。长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】对于A：由椭圆C：W+：=l(a>2)的离心率为半，得「2=乎，所以。=3,故A正

确；

对于B：设/(》1,弘)，8卜2，%),0(加/o=(1_玉，1_乂)，06=(》2_1,少2_1)，

AQ=(zn-XpH-yllQB=(x2-tn,y2-n),由万=4而，而=_义/，得

1—玉二%(工2—1),+-x?=1+A,

2

两式相乘得X；-万石=»2(1-Z),同理可得

X,一/1%2=加(1一丸)，

m-xx=-/l(x2一加)，

22,22、2/

"―分货=〃(1_巧,../弓_—丸2_2_+_J.=(1-A)fy+-

由题意知/1>0且/IKI,否则与而=一4班矛盾,

.•.%+2=1,.•.动点。的轨迹方程为小义=1,即直线2x+3y-6=0,故B正确;

3232

对于C、D：所以线段。。长度的最小值即为原点到直线的距离，

.•.|OQ|min==

11V47913

故C错误，D正确.

故选：ABD.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数J(x)满足：J(x+y)=/(x)/e),且当x>y时，J(x)>/U),请你写出符合上述条件的一个函数7(x)

【答案】2*(答案不唯一)

【解析】

【分析】由<x+y)=/(x)/e),可得指数函数具有此性质，从而可得函数

【详解】对于函数/(x)=2",

f(x+y)=2x+y=2x-2y=f(x)f(y),

且当x>y时，,f(x)>fiy)>

所以函数〃x)=2’满足条件,

故答案为：2X（答案不唯一）

一3一

14.已知在中，点。满足点E在线段（不含端点A,O）上移动，若

4

AE=XAB+/fAC，则与二.

A

【答案】3

【解析】

【分析】方=机而（0<加<1）,利用向量的线性运算求得衣关于彳瓦衣的表达式，利用平面向量基

本定理中的分解唯一性得到Z〃关于加的表达式，进而得到答案.

【详解】如图，由题意得存在实数〃？，使得万=加1万（0<〃2<1）.

—,—,—,—■3——•3/—,—•\1—•3—■,

又4。=48+8。=工8+—5。=45+—4。-48)=—48+—4。,

44、'44

—(1—3—、m—3m—■

所以=m-AB+-AC\=—AB+—AC,

[44)^4

又豆=/1万+〃刀，且万，刀不共线，

0m

不

故由平面向量的分解的唯一性得〈:

3m

所以r=3.

A

故答案为：3.

15.在四棱锥PT88中，已知底面/BCD是边长为4的正方形，其顶点P到底面45。的距离为3,

该四棱锥的外接球。的半径为5,若球心。在四棱锥内，则顶点尸的轨迹长度为.

【答案】25兀

【解析】

【分析】先求出正方形外接圆半径4=2庭，再求出球心。到底面48co的距离，由题知P的轨迹为

圆，求出截面圆的半径进而得解.

【详解】因为底面/8CQ是边长为4省的正方形，所以该正方形外接圆半径/=2#,

所以球心0到底面ABCD的距离d=J52_(2指)2=1，又顶点P到底面/6CQ的距离为3,所以点尸

在与底面/8C。平行的截面圆的圆周上，由球心。在四棱锥P-48C。内，可得截面圆的半径

r2=6-(3-1>=，故顶点P的轨迹长度为2标兀■

故答案为：2五X兀.

16.若直线/：y=Ax+b为曲线/(x)=e'与曲线g(x)=e2-lnx的公切线(其中e为自然对数的底数，

ea2.71828…)，则实数6=.

【答案】0或-e2##-e2或0

【解析】

【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到/(x),g(x)的切线方程，由两条切线方程

相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.

【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求6.

设/与/(x)的切点为(4，匕)，则由/'(x)=e',有/:y=xe'，+(l-xje,同理，设/与g(x)的切点为

2e2

(巧，/)，由g'(x)=J，有/：y=—x+e~(lux2-1).

xX?

,e2

故，x2由①式两边同时取对数得：X]=2-卜工2=In0-1=1一再③，将③代

V|2

(l-xt)e=e(lnx2-1),(2)

入②中可得：(1—xJ(e，-e2)=0,进而解得「二，或『二'.

=eI々=1

则/=ex或y=百丫一/.

故6=0或-e2.

故答案为：0或-5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.△ZBC中，内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知a—bcosC=—―csinB-

3

（1）求内角8的大小；

（2）已知的面积为@,a=2c,请判定AZBC的形状，并说明理由.

2

TT

【答案】（1）-

3

（2）为直角三角形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角转化既可求解；（2）根据三角形面积公式以及余弦定理求出三边长度，即

可根据勾股定理证明为直角三角形.

【小问1详解】

因为a-bcosC=—csinS，由正弦定理可得sirU-sinScosC=—sinCsinfi，

33

又由siM=sin|^7t-（5+C）］=sin（5+C）=sinScosC+cos5sinC,

可得cosfisinC=sinCsiiifi>

3

因为Ce（0,7r）,可得sinC>0,所以cosB=Y^sin5，即tan5=JL

3

又因为8G（0,TI）,可得8=^.

【小问2详解】

因为AABC的面积为43,8=—,所以S=—acsin5=-^-ac=-^->

23242

所以ac=2,因为a=2c,所以c=l,a=2,

所以b=yja2+c2-2accosB=j+l-2x2x；=>/J,

所以/=〃+c2,故为直角三角形.

18.为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜

爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3

分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分

即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各

投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表:

甲乙

园两分球国三分球

7

6

5

4

3

2

1

0

第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.

（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望;

（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.

【答案】（1）90

（2）-

8

【解析】

【分析】（1）求出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，即可求出甲同学通过测试的概率，可得通过测

试的人数丫~8（300,0.3）,则可求出期望；

（2）求出乙同学通过测试的概率，利用条件概率公式即可求出.

【小问1详解】

54367

-----1-------1-------1-------1-----

甲同学两分球投篮命中的概率为10101010

-U.D

5

A

甲同学三分球投篮命中的概率为X10十10+1A0+110一M，

5

设甲同学累计得分为X,

则尸（X=4）=0.9x0.5x0.5=0.225,=5）=0.1x0.5+0.1x0.5x0.5=0.075

则P（X24）=P（X=4）+P（X=5）=0.3,

所以甲同学通过测试的概率为0.3.

设这300名学生通过测试的人数为Y,由题设丫~5（300,0.3）,

所以E(y)=300x0.3=90.

【小问2详解】

24356

111-+-

乙同学两分球投篮命中率为10--10--10---10---10_,

-u.q

5

12313

------1-------1-------1-------1------

乙同学三分球投篮命中率为1010101010_no-

5

设乙同学累计得分为y,则尸(y=4)=0.8X0.4X0.4=0.128,

p(y=5)=0.2x0.4+0.2x0.6x0.4=0.128.

设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试“为事件8,

则P（AB）=尸（X=5）­P（Y=4）=0.075x0.128=0.0096,

P（8）=[P（X=4）+P（X=5）]-[P（Y=4）+尸（丫=5）]=0.0768,

1

由条件概率公式可得尸（/小篇:端

-

8-

19.如图，在直三棱柱N8CT由Ci中，O,M,N分别为线段8C,AAt,8田的中点，尸为线段4G上的

动点，AO=^BC,AB=3,AC=4,/4=8.

（1）求点C到平面的距离;

（2）试确定动点P的位置，使线段"P与平面28CC所成角的正弦值最大.

【答案】（1）4亚

（2）1

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面ZCG4,线面垂直的性质定理可得

ABtCM,M,N分别为N4,8瓦的中点得CMA.MN,再利用勾股定理可得

CM1C、M,再由线面垂直的判定定理可得答案.

（2）以A为原点，以4为xj,z轴建立空间直角坐标系，求出平面BBCC的法向量，设

P（x0,y0,z0）,利用万=加更可得砺，再由线面角的向量求法可得

直线A/0与平面所成的角。的正弦值，再分机/0、〃?。0讨论可得答案.

【小问1详解】

在A/8C中，•••0为8。中点且/。=；8。,;./8_1/。，

•••平面平面/CG4，平面4scn平面/CG4=zc,

AB，平面NCG4,又CWu平面ACC^,:.AB1CM,

•••M,N分别为AAX,BBX的中点，.•.MTV〃AB.：.CMLMN,

在直角和直角△M4]G中，vAM=A1M=4,AC=4C,=4,

:.^AMC^AXMC{,:.CM=C.M=J16+16=472,

CM2+C.M2=32+32=64=CC；,:.CM1C.M,

•••MNcC、M=M,MN,C、Mu平面MNC、,：.CM1平面C、MN,

点C到平面GA/N的距离为CM=4-72.

【小问2详解】

•.•/4_L平面/8C,由（1）得三线两两重直，

以A为原点，以为x）,z轴建立空间直角坐标系如图,

则2(0,0,0),8(3,0,0),C(0,4,0),G(0,4,8),M(0,0,4),男(3,0,8),

.•沃=(-3,4,0)项=(0,0,8),

设平面88iGC的法向量为〃i=(再,乂,zj,

—3x.+4y,—0,—►

则｛■令玉=4得y=3,〃]=(4,3,0),

设0(%,%/0),〃q=加4。](°忘加W1)，则(Xo/o，zo)=，”(0,4,8),

P(0,4m,Sm^,MP=(0,4〃?,8根一4),

设直线儿。与平面所成的角为。，

n,-MP\\2m_3m

则sin3-|_|,----1

同网5)16加+(8m-4)25,5加2_4叱+1

若〃?=0,sin8=0,此时,，点尸与A重合;

若令"》以)’则疝°二号彳=函]e

13

当，=2,即加=],P为"G的中点时，sin。取得最大值

20.已知数列｛4“｝的前〃项和为，且满足(q-l)S“=的,-1(q>)，/7GN**

(1)求数列｛为｝的通项公式；

x.〃+23

当时，数列｛f“｝满足”=〃(〃+])“，求证：

(2)q=2-<b,+b2—\-bn<2；

(3)若对任意正整数〃都有4+]之〃成立，求正实数0的取值范围.

【答案】（1）a“=q"T（q〉O）；

（2）证明见解析：（3）qN霏.

【解析】

【分析】⑴当4=1时，则%=1；当”1时,（夕-1）1=1%-1,（夕-1应_]=敦“_]-1（吟2）,

两式相减得a“=q，i,综合即得解；

（2）由题得"=2^rr_（“+；2”，利用裂项相消得证；

（3）等价于lnq2，（〃eN*）,令/（x）=当1>0,xeN*）,求出函数的“文,*即得解.

【小问1详解】

解：由（q-l）S〃=q%-1（“>0）得（q—l）S]=叫一1,即（q—l）q=眄一1,所以q=l.

若q=1,则%=1；

若#1，则由（夕一1）S“=抑“一1得（q-l）S,T=伙7〃_|一1（我2）,

两式相减得（4T）。“=一1）一（仅*-1）=qan-qan_｝（n^2）,

化简得a“=q%_i（心2）,

所以数列｛%｝是以1为省项，以4为公比的等比数列，因此

当夕=1时，也满足该式，

故a,,=/i（q>0）.

【小问2详解】

解:因为4=2,所以a“=2"T,

b,1-n

则"=»(«+1)-2'-=2(w+l).2

11

因此4+bH---卜b"=21---+2

2-2(77+1)-2"

<2,

(M+1)-2H

33

又因为4=5,且2>0,故可+4+…+4》］，

3.

因此'+4+…+b〃<2得证.

【小问3详解】

解：由(1)得"Wg"，则In”令Inq,即Inq》则(〃eN*),

令/(x)=—(X>0,XGN*),

为使对任意正整数"都有4+仔〃成立，即/(x)maxrnq,

因为/'(x)=T*所以当0<x<e时,/'(x)〉0,即〃x)在(O,e)上单调递增；

当工>e时，/(x)<0,即/(x)在(e,+8)上单调递减，

「*r(小ln2「小ln3「小(小In2ln3In8-ln9八

又xeN*，且〃2=k,/3=〈,/⑵—八3=〒--=--—<0,

23236

所以/。//(3)=竽

12

因此Ing》?，即论近.

21.已知抛物线C：j?=2px(p>0),直线x=JIy+l交抛物线C于4,8两点，且三角形。15的面

积为2G(。为坐标原点).

(1)求实数p的值；

(2)过点D(2,0)作直线工交抛物线C于P,。两点，点P关于x轴的对称点为P.证明：直线尸。经

过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)p=2；

(2)证明见解析，定点(-2,0).

【解析】

【分析】(1)设3(%,乂),8(々,外),联立直线和抛物线方程得到韦达定理，求出|必一名|即得解；

(2)设尸(七,乃),。(工4，乂)，不妨令乂>外,设直线上的方程为x=ty+2,联立直线和抛物线的方

程得到韦达定理，求出直线尸'。的方程即得解.

【小问1详解】

解：由题得直线》=。+1过点（1,0），.

设4（再,必）,5（々,力）,

联立,x2"卜+1'得_2>/5⑷—2夕=0，所以乂+必=2、/52,,歹2=—2p,

.y=2px,

所以|必一必|=，（〃+%）2-4川2=J（2恁>-4x（-2p）=2J23+P）•

所以三角形OAB的面积S=gX1X|必一%|=，（p2+p）=2V3,

又p>0,解得P=2（p=-3<0舍去）.

所以p=2.

【小问2详解】

证明：由（1）抛物线。的方程为V=4x,

设尸（％3，%）,。（84,乂），不妨令以>%,则尸'（X3，-73），

设直线L的方程为X="+2,

x=卬+2,1

联立《2二消去X得必—4"一8=0,

.y=4x,

贝|J%+%=4/,%%=-8，

则直线P'Q的方程为y-（一乃）=空区（X-七），

X4~X3

即（X4—X3）歹+X4y3=（丁4+^3）X-^4X3,

则（64一优）V+®4+2）%=（”+%）X-%（优+2）,

即f（%一%）歹=（%+%）%-2%为一2（必+”），

即」（乂+乃）2-4乂%・V=（乂+/）X—2%为一2（%+%），

所以tyl（4t）2-4x（-8）-y-4rx-27x（-8）-2x4f,即ty]t2+2-y=t^x+i），

x+2=0,\x=-2,,/八、

令A解得c所以直线PQ恒过定点(-2,0

尸0,U=0,

22.已知函数/(x)=alnx-xj(e是自然对数的底数).

(1)若王,七(0<%<%)是函数歹=/(%)的两个零点，证明：看<2/一看；

(2)当“=2时，若对于V左>0,曲线Cy=加一去2与曲线>=/(x