湖北2023届九师联盟高三开学考数学试卷及答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清觉.。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小即选出卷案后.用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5至米黑色昱水签字笔在答跑卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命蔡花山:,高*也自,.......................................

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合人={工|/一4工一5V0},B={»N=lnQ：2+D}2!lAnB=

A.(-1,5)B.[0,5)C.(-1,4-co)D.[0,1)

2.已知复数z=法,则反+3i|=

A.72B.V3C.76D.75

3.已知平面向量a"满足|a|=2,b=Q,D,|a+b|=则a在b上的投影向证的坐标为

A.除专)

C.(-l,-DD.(一号，劣

4.在AABC中,“tanAtanBV1"是"AABC为钝角三角形”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知等比数列{%}的各项均为正数，且©a2a3=270一%=—|■，则©恁…%的最大值为

A9B.8C.3D.27

6.已知双曲线(：：告一£=1屹>0,6>0)的左、右焦点分别为B,F2,过H作直线I与C的左、右两支分

别交于M,N两点，且△MNF2是以NMNF2为顶角的等腰直角三角形，若C的离心率为e,则於=

A.5+373B.5+372C.5+2&D.5+2展

【高三开学考•数学第1页(共4页)】I新教材I

7.某商场去年一年中各月份的收入、支出情况如图所示，则

A.月支出最大值与支出出小值的比是8：1

B.4月至6月份的月平均收入为50万元

C.利润最高的月份是2月份

D.2月至3月份的收入的变化率与11月至12月份的收入

率相同

8.若不等式（^一]一〃女一2〃一320对V/GR恒成立，其中m

利涧=收入-支出

邪勺最大值为

AIn3eIn3e

A-__TB.—In3eC.In3enD--

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在长方体ABCD-AjB.GD,中,AB=AA1=6,AD=2,则

A.平面ABiC,DJL平面A,BCD,

B.直线AB｝与CD,所成的角为£

C.A到平面的距离为3&

D.直线AB与A"所成的角为青

10.已知函数/（x）=cosx[ln（2n—x）+ln工】,则

A./（H）的图象关于点（K,0）对称B./（H）的图象关于直线X=K对称

C./（”+工）是奇函数D./（幻有4个零点

11.某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取

两次,每次取1个球，事件A="第一次取出的球的数字见1”,事件8="第二次取出的球的数字是

2”,事件C="两次取出的球的数字之和是7”,事件。二1•两次取出的球的数字之和是6”,则

A.A与C相互独立B.B与。相互独立

C.4与。相互独立D.B与C相互独立

12.已知抛物线C：x2=-8y的焦点为F.过F的直线I与抛物线C相交于4，B两点,分别过A,B两点

作C的切线hdt，且h，k相交于点P,则

A.1PF|=4B.点P在直线y=2上

C.APAB为直角三角形D.△PAB面积的最小值为16

三、填空题:本题共4小题，短小题5分，共20分。

13.已知圆C：（工一2T+（y—1产=4,则过原点且与C相切的直线方程为.

14.五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻,则不同的站法种数为.

15.在三棱锥尸-ABC中,三条棱PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=2,则平面ABC截该三梭锥

的外接球所得截面圆的面积为.

16.已知/（工）是定义城为R的函数,/（工一2）为奇函数,/（2工一1）为偶函数，则£：/（»=_______-

1-0

【高三开学考•数学第2页（共4页）】I新教而

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲。

17.（本小题满分10分）

已知等差数列付，｝的前”项的和为S„,az+S=2O,as=14.

（1）求（呢｝的通项公式；

⑵求数列［0—1的前〃项和丁”.并证明

18.（本小题满分12分）

已知AABC的角A,B,C的对边分别为a,6,c,且sinA（ccosB+6cosC）—csinB=csinC+6sinB,

（D求角A；

⑵若AD平分NBAC交线段BC于点。，且AD=2,8D=2CD,求AABC的周长.

19.（本小题满分12分）

某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中随机抽3道回答,

至少答对2题即可闯过第一关,某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6

道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.

（D求B同学闯过第一关的概率；

（2）求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望.

【高三开学考•数学第3页（共4页）】I新教材|

20.(本小题满分12分)

如图1,四边形ABCD是梯形,AB〃CD,AD=DC=CB=)AB=4,/V^AB的中点，将/XADM沿

U

DM折起至△A'DM,如图2,点N在线段A'C上.

(1)若N是A'C的中点，求证:平面DNMJJRgfA'BC；

⑵若A'C=2痣，平面DNM与平面CDM夹角的余弦值为管,求翼.

21.(本小题满分12分)

已知A(一2反O),B(2区0),直线PA,PB的斜率之积为一亮,记动点P的轨迹为曲线C.

(D求C的方程；

(2)直线I与曲线C交于M,N两点,0为坐标原点，若直线。M,ON的斜率之积为一%,证明:

△MON的面积为定值.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=xz—(a2+2)x+alnx(aGR).

(1)当a=l时，求/(£)的单调区间；

22

(2)当Bt,/(x)+(a-3a+2)x+(a-a)lnr>0恒成立，求实数a的取值范围.

【高三开学考•数学第4页(共4页)】

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.B因为A=(—1,5),B=[0,+8),所以ADB=[0,5).故选B.

2.A/=芸=；；+那，:;=l+2i,|乏+3i|=|l+i|=笈.故选A.

3.B设向量a.b的夹角为6,b|=-j2,\a-\-b\2=a22a・b+b?=44-2X2/2cos^+2=10,cos。=考,从而a在。

I：的投影向量的坐标为IaIcos。=故选B.

4.CtanAtanB<E一黑错>。=黑啸程>。/盖为〉-*AcosBcosC<0^AABC为钝角三角

形.所以在△ABC中,“lanAtan/3V1”是为钝角一:角形”的充要条件.故选C.

&a2a3=27,

5.D设等比数列｛%｝的公比为qS>0)，由题意,得j&

<2»-a>=—复，

3-(4-)=(4-)，则©=9,02=3,03=10=4"，…，所以当〃=2,或〃=3时,ag…即最大，且最大值为27.故

«5«50

选D.

6.C法一：由双曲线定义，得|NB|—|NF2|=2a,又因为△MNF2为等腰直角三角形，所以一

|MFj=2a,从而|MFJ=4a.在△河「1£中，由余弦定理，得|尸出|2=|MB|z+\/

2

|MF2|-2|MF,|•|MB|cos-|K.设IBF2I=2c,则12clz=|2a『+14al2—2•2a•\/

4a(-g)=20a2+80‘解得捺=5+2夜,所以/=5+2夜故选C./TAV

法二:如图，由题意.得|NB|—|NF2|=2a,由|MN|=|NF2|,得|MB|=2a,|ME|=4a,'、

INM|=\NF2\=2j2a,|NF,|=|MFJ+1MN隔(2+2%)a.在RtANF,F,中,由勾股定理，得(2c¥=(2+2⑶/

+8/,解得e?=,=5+2笈.故选C.

7.D由图可知，月支出最大值为60万元，月支出最小值为10万元,其比是6：1.故A错误；由图可知*4月至6月份的平

均收入为4X(50+3()+40)=40(万元)，故B错误；由图可知,利润最高的月份为3月份和10月份.故C错误；由图可

知，2月至3月份的收入的变化率为*3=-20,11月至12月份的收入的变化率为瑞T=-20.故选D.

3-Z1Z_11

8.A法一：e？1—mx—2n—3^0即5一一3>〃?&、+2〃,令/(H)=炉一1—3,gQ、)=〃Lr+2〃,则恒成立，即曲

线丁="7—3在(丽*。一一3)处的切线方程为gQ)=〃a+2〃时H)>g(i)恒成立.因为/(死)=F。7，其切线方

(加=€<0一1,

程为'=小广'+十。7-3一.e®T,所以<且?，”>0,得2”=一3一，"In，，?，所以乌=一左一

[2〃=/。-3—z/…，m2m

与"令A(,")=一焉一与.所以/，(加)=^7—*=从而h(.m)在(0,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减，

则靠的最大值为/"3)=一唠.故选A.

法二:设fCr)=e-一m—2”一3,则/(_r)=e一一根，当母<0时,/(1)>0.则/Cr)在R上为增函数，此时八才)在R

上没有最小值，且当1f—8时8,此时不合题意；当”‘>0时./(父)VO0r<1+lnm；fQ、)>0㈡a、>l+

【高三开学考•数学参考答案第1页(共6页)】|新教材|

In所以/(彳)在(-8,1+]n上为减函数，在(1+ln〃九十8)上为增函数.从而/(j)nin=/(1+lnm)=­m\nm~

2〃-3.若/'Q、)>0恒成立,只需/'Q、)min=-〃dn"L2〃一3>0,解得2?W—win相一3,于是常(—一令g(i)=

—(In〃?+今)(7〃>0),则/(〃?)=一号声，可得双〃?)2=或3)=—近言•所以涓■的最大值为一色券.故选A.

9.AB由题意可得,八1_1_6(；=>八]_1平面ABCD,乂4BU平面AICR,所以平面八平面

AIC。，故A正确;直线AB与直线CD异面垂直，故B正确；过A做AE垂直于BD,垂足为E，易证AEJ_平面

BDRB,AE=产=―*故C错误;DC与AD।的夹角即为A1与Ad的夹角.而AC=2/而,A4=

2JI^,DC=6近，显然DC与AA的夹角不等于冷，故D错误.故选AB.

«5

10.BD/(j')=cos/口n(2?r—N)+ln.rj=cos.rln(一合+2m)=cosiln]一(忆一次产+7r2]，/(2又一M)=/(/)，所以/(2,)

的图象关于直线尤=兀对称，故A错误，B正确；/("的定义域为(0,2冗)，/(%+工)的定义域为(-7T,7r),g(z)=

/'(7c+.r)=cos(K,\r)口水冗一7)+=(式+外口=—cosiln(*~x2)为偶函数•故C错误;当工一(0,2冗)时.由/(彳)=0,

得cos1=0,或昌(2兀一汇)+1。2=0.由cos.T=0,解得力=冷，或比2=管江；由1水2兀一1)+昂2、=0,得一12+2心=1,

解得心=兀一77^6(0,2K),^4=K+(0,2TT).综上，/(外有4个零点，故D正确.故选BD.

11.BC袋中5个球，有放回的随机取两次,每次取1个，样本空间。={Cz,y)[l4]45,l&丁(5,ieN,yeN},元素个数

为25.

A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)},共5个元素，则P(A)=^=卷;

8={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)},共5个元素，则2(8)=/=±；

C={(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)},共4个元素,则P(C)=^；

。={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)),共5个元素.则P(D)=^=4-.

AC=0,则P(AC)=0,而P(A)P(C)=/.所以P(AC)#P(A)P(C),即A与C不相互独立,A错误；

BD={(4,2)},则P(BD)=■而P(B)P(D)=4，所以P(BD)=P(B)P(D),即B与D相互独立,B正确;

乙J乙J

AD={(1,5)},则P(AD)=",而P(A)P(D)=\,所以P(AD)=P(A)P(D),即A与D相互独立,C正确;

BC={(5,2)},则P(BC)=今而P(B)P(C)=/.所以P(BC)WP(B)P(C),即B与C不相互独立.D错误,故

乙J14J

选BC.

12.BCD由题意知，直线/的斜率存在且与C有两个交点，设方程为》=标一2,人(力，例)，8(7222)(力羊叱)，由

得>+8人-16=0,则力+g=-8K力m=-16.抛物线C的方程可化为y=一4■，则y'=一4•从而1\

y=kx—2^o4

的方程为尸一千(7—力)-■羡，即尸一号才十放•同理可得的方程为？=—亍工、+学由

才I+.选

2

所以P(—4K2),即点P在直线》=2上，则B正确；又比“"也=制(音)=膂+1，则C正

【高三开学考•数学参考答案第2页(共6页)】新教材

确；IPF|=/(一凝尸+(2+21=/16发+16,则A错误；因为即-•即=与£§•4=一1,所以PF±AB,S&PAli=

y|AB|\PF\=4"/(1+1)](—8幻2-4><(-16力X/16长+16=16(序+1)告>6/=0时取等号，则D正确.

故选BCD.

13.X=0或3工+4y=0当切线斜率不存在时，直线工=0满足题意;当斜率存在时，设切线方程为y=右•，由〃=里¥

=2,解得仁一年,所以切线方程为》=一等了，即3工+4k0.综上，所求切线方程为工=0或3H+”=0.

44

14.12第一步:确定张三位置在最右边，有1种方法;第二步:李四和王五捆绑有A5种方法;第三步:除张三外的同学进

行排列有屋种方法.根据分步计数原理.共有M废=12种不同的方法.

15.母4将该三棱锥放在正方体中，使PA,P8,PC为其三条棱,该正方体的外接球即为该三棱锥的外接球，所以球的半

径R=。,球心O到平面ABC的距离为"=用一绘=g，所以截面圆的半径厂=用三百=坐，从而所求截面圆

的面积为S=n>~=-1-7r.

16.0法一:因为/(2了-1)是偶函数.所以/(一22-1)=八21-1),所以/(一工一1)=/(工一1),即/(一2—H)="r).则

义工)的图象关于直线z=T对称；因为八了-2)是奇函数，所以义二—2)=—/(一工一2),所以/(z)的图象关于点

(-2,0)对称，易知/(了-2)=一〃一工-2)=-f1),所以/(7)是周期函数，目.4是/(N)的一个周期；由/(了-2)=

一/(一工一2)=—/(4一了一2)=—/(2—工)，得/(才)=一/(一才)，所以/(工)为奇函数;在/(工一2)=/(一8中，令工=

一1,得/(-3)=/⑴=一/(3),所以/⑴+/⑶=0；在/(了-2)=/(一工)中，令工=-2,得/(-4)=/(2)=—/(4),

16

所以/(2)+/(4)=0,从而f(D+/(2)+/(3)+/(4)=0,所以Z/Q)=/(0)+4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)1=0.

t=O

法二:取/(j,)=sin定义域为R,则/(J—2)=sin-y(JC,-2)=-sin拳i:为奇函数,/(2J?—l)=sin-y(2x~1)=

-cos"为偶函数./(i)符合所有条件，且是以4为周期的周期函数,/(0)=0,/⑴+八2)+/.⑶+/(4)=1+0+

16

(-1)+0=0,所以Xf(i)=/(0)+4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)：]=0.

f=0

(4ai+4〃=20,fai=2.

17.解：⑴设｛%,｝的公差为心由题意，得4解得4...........................................................................3分

[ai+4d=14,L/=3.

所以an=a1+(〃-1)c/=3〃一1・.......................................................................................................................................5分

(2)令4=%上、J贝"'=(3”-1)；3"+2)=十(3”匕1一3”i2)•...........................................................................1分

所以I,=仇+庆+"+…+几=4(+-卷+看一++…+*一白)=七(十一白)<卷......1。分

18.解：(1)由余弦定理，得ccosB+6cosc=cX2■可~-+bX----=a,.......................................................2分

lacLabT

所以sinACccos3-AcosC)—csinB=csinC+4sin3,可化为tzsinA—csinB=cs\nC-r-6sinB............................4分

再由正弦定理，得/一办=/+凡所以cosA="一十.

因为Ae(0,»,所以A=-1■市...................................................................6分

(2)因为AD平分/BAC,所以/BAD=/CAD=母.

【高三开学考•数学参考答案第3页(共6页)】新教材

csin•ADsin*ADsin,

、乙»乙o

得/"=2/>+2c..............................................................................8分

作AE_LBC于E,

Q~^c•ADsinf万BD•AE℃

则例

3m=_Z------------------3___Z---------------=>£=-=910分

、SPAC'D1>A-7C1/、厂)AT-bDC

W)•ADnsin——CD・AE

(仅=26+2c|7=6,

㈣解得《

[c=2仇〔。=3,

由余弦定理，得/=加+/—2Z>ccosA=63,所以a=3"............................................11分

故△ABC的周长为9+3."...................................................................12分

19.解式1）8同学闯过第一关的情况有答对2题和答对3题.故B同学闯过第一关的概率

p=c-yc=q...........................................................................4分

JoJ

⑵由题意可知X的所有可能取值为0,1.2,3,4,5,且X服从二项分布，即X~B（5,y）.................6分

P(X=0)=(t)"=1,P(X=D=Q《Mt）=翳，

2332

P（x=2）=（3（|）（±）=^tp（x=3）=a（|）（1）=^,

P（X=4）=Q（等）’得）=翳,P（X=5）=（等）：系...........................................

10分

故X的分布列为

X012345

P11040808032

24324324324324324311分

所以E(X)=OX^|^+1X^^+2X'^+3X'^+4X^^+5X^^=挈..............................12分

Z4oZ43Z4oZ4oZ4oZ4o6

或E(X)=5X等=孚.........................................................................12分

JJ

20.(1)证明:取DM中点O,连接A'O,CO,易证DM1平面A'CO.所以DM_LA'C...........................2分

又因为DC=DA'=4.所以DNJ_A'C.而DNf]DM=D*所以A'C,平面DMN,

又A'CU平面A'BC.所以平面A'BCJ_平面DMN..................................................4分

（2）解:易求得OC=OA'=2用,又A'C=2乃，所以（X?+OA"=ArC2，可得OCJ_OA',

而A'O_LOD,CO_LQD................................................5分

以O为坐标原点,分别以OD,OC,OA'所在直线为.r,y,z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系。-了严，

RM

则D(2,0,0),M(-2,0,0),C(0,273,0),Az(0,0,273).

设加=入就(0W/WD,则布=(0,2笈八一2偌;O,得N(0,2偌L2再一2悟；I),......................7分

【高三开学考•数学参考答案第4页（共6页）】|新教可

所以加=（—2,2偌；1,2偌一2倍;D,前=（4,0,0）.

设平面DMN的一个法向量为小=（N，WN）,

JMD•Mi=0,JLr=0,

IDN•〃i=0,>i-21+2禽入）+（2乃-2而/）a=0,

令yf—1,则»i=（0,A—1»A）;

易得平面DMC的一个法向量为小=（0,0J）........................................................9分

设平面DMN与平面DMC的夹角为。，

贝I]cos0=Iq~~7=牛~-I.即/---——=~p/5,

IIWiI-III5/（A-l）2+A25

解得入=等，或入=2（舍去）..........................................................................11分

所以笔=2..................................................................................12分

21.⑴解:设P（z,?）.则直线PA的斜率，，^包片一？"），直线PB的斜率4如=-^=（^272）.

j*+2v2x—2v2

...............................................................................................2分

由题意即，八•km=—）三•—工■尸=-^\=一母，化简得《"+4=1（]/:±2笈）.......................4分

1+2女x-2^/2n8486

（2）证明：当直线Z的斜率存在时，可设其方程为y=kx+m.

（y=kx-\-m9

联立|i,2式化简得（3+4/+84〃tr+4〃/-24=0.

设M5,y\）,N（X2，M）*

则4=（8分"）2-4（3+4/）（4，/-24）=48（8您+6-加2）＞0,

,8km_4»r-24

02—3+4/'为二一3+4公•6分

4〃7F-2H2—8//+3/+”2后

31）2_（"力+7〃）（卜工2+加）_必力72+历〃（力+12）+，〃2_3+4-2

所以k

（MX\X2X\X2为X24〃,一21

3+4公

—24公+3〃/=3

4m2—244

化简得苏=4/+3,.............................................................................8分

则Mil|IMN|I=7/i1+i_/F^IG-gI=-，--1-+--r--J438+（48P、z-+--6-一--苏--）=-4-"---J-14+公F+3J-4-/--+--3=47/33V+1^vTiz

又O到MN的距离d=1."L,尸/竺7；3..............................10分

/T+F/T+F

所以S,v=yIMNI-d=+•4^3y1H~^~

A（M磔萼=2元,为定值.

/3+U2T-

当直线I的斜率不存在时，可设M5），N（m，一加），

则k（M,4z=—华=—*|■，且募•+[•=1,解得曷=4,必=3,此时SACMN=2X-1-X|xoy„|=2痕

【高三开学考•数学参考答案第5页（共6页）】|新教可

综上,△OMN的面积为定值26................................................................12分

22.解：(1)当a=l时,/(1)=皆一32+1111,其定义域为(0,+8),

〃/、°c,12H2—3x+l(2.r—1)(x—1)