基与维数的求法

,0b有,0b有+,01线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一定义法):根据线性空间和维数的定义求空间的基和维数,即：线性空间

V

中，如果有n个量,,1

满:n

,线无关；(2)

V

中任一向量总可以由1

n

线性表示.那称

V

为

n

限空

为

V

的维数

dimv

，并称

1,

n

为线性空间

V

的一组基.如在

V

中可以找到任意多个线性无关的向量，那么

V

就成为无限维的.例1数域P上体形如

0a

的二阶方阵矩的加法及数矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组.解易

为线性空间

a

的一组线性无关的向量组，且对V中一元素

0

按定义

0

为

V

的一组基，

V

的维数为2.方法二维确定基)在已知性空间的维数为

n

时，任意

n

个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的.例2假

R

是一切次数小于的系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：

,

构成

R

的基.证明

k1

2

n

由

的系数为得kn

，并代入上式可得

n

的系数k

n

依此类推便有

，故1,

线性无关又R

的维数为n,于是

为

的基n

n方法三(利同构求维数法):数上个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数例设

A

，证明：由实数域上的矩阵

的全体实系数多项式

f

组成的空间精彩文档

10实用标准文案10

与复数域

作为实数域

R

上的线性空间

'

R求们的维.证明中任一多项式可记为

fR

，建立V'到的如下映射:

bif1111111

易证是V'到上既是单射又是满射即一一映.再设

2

i,R,R22

，则有1

2

12121111故V'到的同构映射，所以到同

另外，易证

V

的一个基为

，

i

，故

dimVV

V方法四求逆矩阵确定基法)

,1

2

,

与n

,2

是维性空间中组向n量，已知

1

,2

,

n

可由

,1

2

,

n

线性表出：111

n1

n21212

n2

nann2

nn

n令

1121an1

a12a22an

a1a2nann

如果

,1

2

,

为V的组基，那么当且仅当可时，n

,2

,

也V的组基n例4已知

1,x2x

3

是

p

的一组基明

,1

的一组.4

4证明因为

2

3精彩文档

实用标准文案

3

2

3

3且

所以

,1

也为

p

的一组.方法五向等价求基法):如果间V中向量组与V中一组基等价则此向量组一定为此空间的一组.例设

R2

表示次数不超过2的切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明

x,x2,x

为这空间的一组.证明

k1

2则

k12k123k3解得

k32于是

x

2,x,线无关们可由,1线表示此2,x

x

与x2,x

等价，从而

R

中任意多项式皆可由

x2,x,

线性表示，故2x

2

x

2

xR

的基.2方法六（求两个子空间交集的基确定维数法以一组向量

,1

2

1

2

为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵

,11

间的线性关系.任何个矩阵总以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：

Ir

B

其I表r示

r

阶单位矩阵依这两个定理，我们可以很方便地求V1

2

的一个基，从而确定了维数例6设

1

1

2

2

L

1

2

是数域

F

上四维线性空间的子空间，精彩文档

11，实用11，1

2

1

2

求

1

2

的一个基与维数解若

rV1

，存在xxF2122

，使rx12

2

2

……（）即有

xy1121

2

2

……（2）若

,,11

2

线性无关）当

xyy22

时成立那么

1

2

是零子空间，因而没有基，此时维数为，1

是直和若存在不全为零的数

xxyy1

2

使（2）成立，则

1

2

有可能是非零子空间若为非零子空间，由1）便可得到基向量r以

,1

2

1

2

为列向量作矩阵

，经行初等变换将

化为标准阶梯形矩阵

A

.

2

13行初等变换

2r1212112

2

的一个基同时知，

,1

2

是

1

的一个基，

1是的个基，V2122,是111

的一个基，

dim12方法七极无关组确定基法:线空间

V

中任意一个向量可以表示成

V

中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V的.例7求

LV112

)1

的交的基和维数设，解任

1

，，，，yy2112

2

2

，精彩文档

xy121

α

虽然已表成一线性组合的形式仅仅是在

V

、V

中的表示，并非本题所求，即要在空间

中将

α

线性表出）xyy1221x121xy122x12x212

2

，x,1

2解得

(y),k)12)(122故

1

2

是一维的，基是

易知

(5,4)

是非零向量，是线性无关.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果

VV是有限维线性空间1,

V

的两个子空间，那么i1

d2

Vi12

12例8已知

1

2

2

求由向量,12

生成的

4

的子空间

L12

与向量

1,

生成的子空间

21

的交与和空间的维数的一组基.解因

L111

2

，对以

,12

为列的矩阵施行行初等变换：

0

秩

秩

B

，所以

1

的维数是

且

,1

2

1

2

为极大线性无关组，故它们是

1

的一组.又由

,1

2

线性无关知

1

的维数为

，同理

2

的维数也为

，由维数公式知

1

2

的维数为

.精彩文档

实用标准文案从矩阵

B

易知

1

2

,故

1

是

V12

公有的非零向量以它是交空间

1

2

的一组.方法九替定理法:由替换定理确定交空间的维.替换定理：设向量组1

2

,

r

线性无关，并且1

2

可向量组r1

,2

s

线性表出，那么

必要时可适当对

1

,2

s

中的向量重新编号，使得用

,1

,2

r

替换1

,2

r

后所得到的向量组

1

,,2

,r

,r

向量组s1

,,2

s

等价.特别，当

r

时，向量组

,1

,2

s

与向量组

1

,,2

s

等价.例已向组

1

2

3

4

设它们是向量

,1,3

的线性组合，又向量组

r,r,,r12

与向组

,1

等价试求r,r,12

,r

生成的空间的交空间的基和维.解

020

020

20

显然

1

,2

,3

4