余弦定理公式

本文格式为Word版，下载可任意编辑——余弦定理公式余弦正弦定理用好

正弦定理和余弦定理是解三角形的重要学识和工具.解三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少一个是边），求其余三个未知元素的过程，下面本文结合例题说明如何用好正弦、余弦定理.

例1

已知在△ABC中，�A=45�°�，C=30�°�，c=10，�求a，b和B.

分析已知两角A，B，可由�A+B+�C=�180�°��求出角C，再用正弦定理求出其他角和边.

解由于A=45�°�，C=30�°�，

所以�B=180�°�-（A+C）=105�°�.

由a�sinA=c�sinC�得�a=c�sinA�sinC=10×�sin45�°��sin30�°�=102.�

由�b�sinB=c�sinC得b=c�sinB�sinC=10×�sin105�°��sin30�°�=20��sin75�°�=20×6+24=56+52.�

所以�a=10�2，b=5�6+5�2，B=105�°�.�

评注

解三角形问题要留神正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理的综合应用.有时解三角形的方法不确定只有一种，如本例中b也可以用余弦定理来求.

例2

在△ABC中，已知�a=2，�b=��22�，C=15�°�，�求角A，B和边c的值.

分析由条件和角C为边a，b的夹角，自然应先由余弦定理求边c的值.

解由余弦定理知�c�2=a�2+b�2-2ab�cosC=8-43，所以c=6-2.�

再由正弦定理�a�sinA=c�sinC，得�sinA=a�sinCc=12，因b＞a，故A=30�°�，所以B=180�°�-A-C=135�°�.�

评注已知两边及其夹角解斜三角形可运用余弦定理.求出第三边后，再生动选用正弦、余弦定理求角.若选用正弦定理来解，要留神制止增解的处境，一般根据大边对大角的性质判断出较小的角，先求小角，后求大角；此题求角也可用余弦定理，由于余弦函数在［0，�π�］上单调递减，这种方法还不需要议论角的大小，有兴趣的同学不妨动手一试.

已知△ABC中，�a�∶�b�∶�c=�2∶��6∶�（3+1），�求△ABC的各角度数.

分析题目中给出三边的比例，却没有给出一条线段的长度，余弦定理还使用不起来，引入一个字母k，用k表示a，b，c，再由余弦定理求解各角.

解由于�a�∶�b�∶�c=2�∶�6∶（3+1），所以令a=2k，b=6k，c=（3+1）k（k＞0）.�

由余弦定理有��cosA=b�2+c�2-a�22bc=22，所以A=45�°�.故�cosB=a�2+c�2-b�22ac=12，故B=60�°�.�

所以�C=180�°�-A-B=75�°�.�

评注根据问题给出的条件�a∶b∶c=2∶6∶（3+1），设a=2k，b=6k，c=（3+1）k（k＞0），�为使用余弦定理求角创造条件，这里应充分断定k的桥梁作用！一桥飞架南北，天堑变通途！

例4

在△ABC中，已知�a=3，b=2，B=45�°�，�求边c.

分析此题是已知三角形的两边及其中某一边的对角，求第三条边，一种方法是先由正弦定理求出另一边所对的角，再由内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求第三条边；另一种方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1由于�a�sinA=b�sinB，�

所以��sinA=a��sinBb=3×�sin��45�°�2=32.�

又�b＜a，所以B＜A.所以A=60�°��或120�°�.

当�A=60�°�时，C=75�°�，�

�c=b�sinC�sinB=2�sin��75�°��sin��45�°�=6+22；�

当�A=120�°�时，C=15�°�，�

�c=b�sinC�sinB=2�sin��15�°��sin��45�°�=6-22.�

解法2由于�b�2=a�2+c�2-2ac�cosB，所以2=3+c�2-23�cos��45�°�c，即c�2-6c+�1=�0.解得c=6±22.�

评注①已知三角形的两边及其中某一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能展现一解、两解、无解的处境，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形扶助理解.

②解三角形时，主要用到两种数学思想方法：一是利用图形和三角形几何性质举行分类议论的思想方法；二是函数方程的思想方法.

1.已知在△ABC中，�A=30�°�，B＝30�°�.�

（1）若�a=1，�求b，c和C；

（2）若�c=1，�求a，b和C.

2.已知在△ABC中，�a=3，b=2.�

（1）若�A=60�°�，�求边c；

（2）若�B=30�°�，�求边c.

（2）�C=180�°�-A-B=120�°�，a=c�sinA�sinC=33，b=c�sinB�sinC=33.

2�（1）由于�a�2=b�2+c�2-2bc�cosA，所以3=2+c�2-22c�cos60�°�