2023高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(五十五)坐标系1．在极坐标系中，求点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离．[解]点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq\r(3)，1)，3分直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化为ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，得eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，即直线的方程为x－eq\r(3)y＋2＝0，6分故点(eq\r(3)，1)到直线x－eq\r(3)y＋2＝0的距离d＝eq\f(|\r(3)－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.10分2．在极坐标系下，圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解](1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，2分圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，4分直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，那么直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))8分故直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).10分3．(2022·邯郸调研)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圆C的圆心的极坐标是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长．[解](1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，那么∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，2分OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).4分(2)由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，6分∴直线l的直角坐标方程为x＋y－eq\r(2)＝0，又圆心C的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，满足直线l的方程，∴直线l过圆C的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分4．(2022·南京调研)在极坐标系中，圆C的圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)假设点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，求动点P的轨迹方程.【导学号：66482485】[解](1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．在△OCM中，∠COM＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，化简得ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).4分(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，得eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up12(→))，∴ρ1＝eq\f(2,3)ρ，θ1＝θ，8分代入圆C的方程，得eq\f(2,3)ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，即ρ＝9coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).10分5．(2022·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[解](1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(3)x＝0，2分联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).4分(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2eq\r(3)cosα，α).8分所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).当α＝eq\f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分6．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．[解](1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，那么ρρ0＝12.2分∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，即为所求的轨迹方程.4分(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f