2023高考数学一轮复习第7章立体几何初步第2节空间图形的基本关系与公理课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE1课时分层训练(三十七)空间图形的根本关系与公理A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2022·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，假设p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，那么()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件A[假设l1，l2异面，那么l1，l2一定不相交；假设l1，l2不相交，那么l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]2．给出以下说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．① B．①④C．②③ D．③④A[显然命题①正确．由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，那么命题④不正确．]3．(2022·郑州联考)直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⃘α，a⃘β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，那么直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]4．假设空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，那么以下结论一定正确的选项是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.假设l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4假设取C1D为l4，那么l1与l4相交；假设取BA为l4，那么l1与l4异面；取C1D1为l4，那么l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．]5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1A.eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)B[连接DF，那么AE∥DF，∴∠D1FD为异面直线AE与D1F设正方体棱长为a，那么D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).]二、填空题6.如图7­2­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1图7­2­7①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与7.(2022·佛山模拟)如图7­2­8所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，那么异面直线AB1与BD所成的角为________．图7­2­860°[取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，那么A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]8．如图7­2­9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【导学号：66482330】图7­2­94[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]三、解答题9.如图7­2­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C图7­2­10(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C又因为A1A綊C1C，所以A1ACC所以A1C1∥AC，所以MN∥AC所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.5分(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1那么存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，所以D1，B，C，C1∈α，10分这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线.12分10．如图7­2­11所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：图7­2­11(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).5分(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，那么ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，那么以下表达正确的选项是()A．假设a∥α，b∥α，那么a∥bB．假设a⊥α，a∥b，那么b⊥αC．假设a⊥α，a⊥b，那么b∥αD．假设a∥α，a⊥b，那么b⊥αB[假设a∥α，b∥α，那么a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；假设a⊥α，a⊥b，那么b∥α或bα，故C错误；假设a∥α，a⊥b，那么b∥α或bα或b与α相交，故D错误．]2.如图7­2­12，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，那么AD与GF所成的角的余弦值为________．图7­2­12eq\f(\r(3),6)[取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊eq\f(1,2)AD，∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).]3．(2022·广州模拟)三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角.【导学号：66482331】[解]如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，那么PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分那么∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，①假设∠MPN＝60°