2023版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4平行关系试题理北师大版

PAGEPAGE18第八章立体几何与空间向量8.4平行关系试题理北师大版1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ结论α∥βα∥βa∥ba∥α【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即假设a⊥α，a⊥β，那么α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即假设a⊥α，b⊥α，那么a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即假设α∥β，β∥γ，那么α∥γ.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)假设一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面．(×)(2)假设一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)假设直线a与平面α内无数条直线平行，那么a∥α.(×)(6)假设α∥β，直线a∥α，那么a∥β.(×)1．(教材改编)以下命题中正确的选项是()A．假设a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．假设直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．假设直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⃘α，那么b∥α答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且lα，mβ，那么“l∩m＝∅〞是“α∥β〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅〞是“α∥β〞的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2022·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α答案D解析假设α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，那么a∥α，a∥β，故排除A.假设α∩β＝l，aα，a∥l，那么a∥β，故排除B.假设α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，那么a∥β，b∥α，故排除C.应选D.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，那么BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，那么BD1∥EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，那么四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2直线与平面平行的性质例2(2022·长沙模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq\r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)假设EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中点，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(αα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．如下图，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．证明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角或其补角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，假设D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如下图，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，假设D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如下图，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行〞、“线面平行〞、“面面平行〞的相互转化．(2022·许昌三校第三次考试)如下图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如下图，设DF与GN交于点O，连接AE，那么AE必过点O，连接MO，那么MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.题型三平行关系的综合应用例4如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？假设存在，请确定点E的位置；假设不存在，请说明理由．解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，那么DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，那么EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，那么DF∥B1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如下图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．又设FG＝x，GH＝y，那么由平面几何知识可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，两式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，∴S▱EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)．∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，∴eq\f(bsinα,a)x(a－x)≤eq\f(absinα,4)，当且仅当x＝a－x时等号成立．此时x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例(12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝eq\f(2,3).(1)求四棱锥S－ABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．标准解答解(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝eq\f(2,3)，SA＝2，∴AD＝3.[2分]由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，VS－ABCD＝eq\f(1,3)·SA·eq\f(1,2)·(BC＋AD)·AB＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝eq\f(10,3).[6分](2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.[8分]证明如下：取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，那么EF綊eq\f(2,3)AD，BC綊eq\f(2,3)AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]又∵BF平面SAB，CE平面SAB，∴CE∥平面SAB.[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回忆，查看关键点、易错点和答题标准．1．(2022·保定模拟)有以下命题：①假设直线l平行于平面α内的无数条直线，那么直线l∥α；②假设直线a在平面α外，那么a∥α；③假设直线a∥b，b∥α，那么a∥α；④假设直线a∥b，b∥α，那么a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．应选A.2．(2022·滨州模拟)m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．假设mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，那么α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2答案D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行〞可得，由选项D可推知α∥β.应选D.3．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，以下命题中的真命题是()A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设m∥α，nα，那么m∥nC．假设m∥α，n⊥α，那么m∥nD．假设m⊥α，n⊥α，那么m∥n答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，那么平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合答案C解析如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.5．(2022·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，mα，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，那么m∥n〞中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，那么点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点解析假设Q为CC1的中点．因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为O是底面ABCD的中心，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PA∩PO于P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.8．将一个真命题中的“平面〞换成“直线〞、“直线〞换成“平面〞后仍是真命题，那么该命题称为“可换命题〞．给出以下四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题〞的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题〞；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题〞；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题〞；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题〞．9.如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，那么平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．答案(8,10)解析设eq\f(DH,DA)＝eq\f(GH,AC)＝k，∴eq\f(AH,DA)＝eq\f(EH,BD)＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周长的取值范围为(8,10)．10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案eq\f(45,2)解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，那么SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，那么H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝(eq\f(1,2)AC)·(eq\f(1,2)SB)＝eq\f(45,2).11.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩