第24计 杠杆开门 以轻拨重

3--x3--x数学破题36计●名义

第24计

杠杆开门

以轻拨重派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省.支点中的点在哪里本开场就点到成功去问“芝麻数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，„„，要有尽有关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！●例范

【例】正四面体的高线长为4求其外接球的体【分】说操曹操就刚刚拿出来杠杆，要扛”的东西就来线段AB的心在其中点M点如B各放个质点，则其点M会了个正三角形ABC的心在它的中线上C点放1个点，中点M处有2个点，故重心G会了3质点，按杠杆原理CGGM至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？【解】设四面体的顶点为V底面中心为，四面体中心为.由杆原理O在GV的四等分点上，即3因此，正四面体的外半径Rh4故正四面体体积为

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πRπ.【点】如派力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高列方程求外半精力过剩者，这当然是一乐.【】斜率是

直线l左移3个位，再上移1个位时，恰回原来的位置，这直线的（

1B.-33

D.3【思】本的题之口在哪儿?取殊点.支点选在原点（0）左移单位，上移1个位得M-3，1于是kl==OM

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选A【点】两确定一条直，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目即是最实惠的选【例】（·上海卷）若函数(的图象可由函数图象绕坐标原点逆针旋转

2

得到，则f()=

()AB.10CD【解】本题杠在儿取特点在+1)的图象上取一点A（9绕

3313222BCB3313222BCBC.原点逆时针旋转90°得B-1，9入各选项，仅A合，∴选A【点】函的图象都是的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到（9转得（样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？【例4】如）所示，在多面体中，已知面ABCD是长为3的方形，∥AB

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面AC的离为2则该多面体的体积是（）例4题图

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B.5D.

152【思】用殊图形如（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使连AF、DF.EF面ADE.∵V·EF·=2

×3×2=2V=·DE·=··3∴V选FABCDABCD【点】本正是1999年倒大批考生的全国高考多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂其实，在不影响题设这个大前的条件下，让图形特殊、再特殊使能用最简单的方式求体积还要讲道理吗？君不见底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？●

对应训练

动点A在曲线

x

22

yn

22

=1上BC为曲线的左、右焦点，ABC∠A、∠、∠C的边a,b,c满足a=10，，则

cot的值是（）2

1142

D.1已知0<x<y<a<1，则有（）A.logB.0<log(xy)<1C.1<logD.logaaa设{}公为首为等比数列，是前n项，对任意的n∈，点（S，n+n）()n+1

348B1cos1711nn，则348B1cos1711nn，则y=-+1，点,A.在直线y=ax-b上C.在直线y=bx-a上

在线y=bx+a上D.在直线上函数|x|,x［ππ］大致图像是（）第4题1.A取殊形双线焦点为B）,C(5,0)c-b=6∴，曲线方程为：离心率e=.

16取特殊位置AC⊥BC则有A•∴AC=从而

cosB=

sinB=，而＝°

第1题图151∴tan=·cot45=.228417

取特殊值.x=,y=,a=满足0<x<y<a<1.4则log(xy)=loga

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=5.定ABC取特殊值取则=2各