2023版高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第七章不等式试题理

PAGEPAGE9第七章不等式考点1不等关系与不等式1.(2022·北京,5)x,y∈R,且x＞y＞0,那么()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0B.sinx－siny＞0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0D.lnx＋lny＞01.C[函数y＝eq\f(1,x)在(0,＋∞)上单调递减,所以eq\f(1,x)＜eq\f(1,y),即eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0,A错;函数y＝sinx在(0,＋∞)上不是单调函数,B错;函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0,＋∞)上单调递减,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y),即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0,所以C正确；lnx＋lny＝lnxy,当x＞y＞0时,xy不一定大于1,即不一定有lnxy＞0,D错.]2.(2022·全国Ⅰ,8)假设a>b>1,0<c<1,那么()A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc2.C[对A：由于0<c<1,∴函数y＝xc在R上单调递增,那么a>b>1⇒ac>bc,故A错；对B：由于－1<c－1<0,∴函数y＝xc－1在(1,＋∞)上单调递减,∴a>b>1⇔ac－1<bc－1⇔bac<abc,故B错；对C：要比拟alogbc和blogac,只需比拟eq\f(alnc,lnb)和eq\f(blnc,lna),只需比拟eq\f(lnc,blnb)和eq\f(lnc,alna),只需比拟blnb和alna.构造函数f(x)＝xlnx(x>1),那么f′(x)＝lnx＋1>1>0,f(x)在(1,＋∞)上单调递增,因此f(a)>f(b)>0⇒alna>blnb>0⇒eq\f(1,alna)<eq\f(1,blnb),又由0<c<1得lnc<0,∴eq\f(lnc,alna)>eq\f(lnc,blnb)⇒blogac>alogbc,C正确；对D：要比拟logac和logbc,只需比拟eq\f(lnc,lna)和eq\f(lnc,lnb),而函数y＝lnx在(1,＋∞)上单调递增,故a>b>1⇔lna>lnb>0⇔eq\f(1,lna)<eq\f(1,lnb),又由0<c<1得lnc<0,∴eq\f(lnc,lna)>eq\f(lnc,lnb)⇔logac>logbc,D错误,应选C.]3.(2022·四川,4)假设a>b>0,c<d<0,那么一定有()A.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)3.D[由c<d<0⇒－eq\f(1,d)>－eq\f(1,c)>0,又a>b>0,故由不等式性质,得－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0,所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c),应选D.]4.(2022·浙江，6)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>94.C[由题意，不妨设g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0，3]，那么g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，那么c－m＝6，因此c＝m＋6∈(6，9].]5.(2022·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________.5.{x|－1＜x＜2}[∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.]6.(2022·江苏，10)函数f(x)＝x2＋mx－1，假设对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，那么实数m的取值范围是________.6.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))[由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔m〕＝2m2－1<0，,f〔m＋1〕＝2m2＋3m<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.]考点2线性规划1.(2022·四川,7)设p：实数x,y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2,q：实数x,y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1，))那么p是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.A[如图,(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为eq\r(2)的圆内区域所有点(包括边界)；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1))②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x,y满足②那么必然满足①,反之不成立.那么p是q的必要不充分条件.应选A.]2.(2022·山东,4)假设变量x,y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A.4B.9C.10D.122.C[满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0))的可行域如右图阴影局部(包括边界),x2＋y2是可行域上动点(x,y)到原点(0,0)距离的平方,显然,当x＝3,y＝－1时,x2＋y2取最大值,最大值为10.应选C.]3.(2022·北京,2)假设x,y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))那么2x＋y的最大值为()A.0B.3C.4D.53.C[不等式组表示的可行域如图中阴影局部所示.令z＝2x＋y,那么y＝－2x＋z,作直线2x＋y＝0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以A点坐标为(1,2),可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]4.(2022·广东,6)假设变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y≤2，))那么z＝3x＋2y的最小值为()A.eq\f(31,5) B.6 C.eq\f(23,5) D.44.C[不等式组所表示的可行域如下列图所示,由z＝3x＋2y得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2),依题当目标函数直线l：y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)经过Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,5)))时,z取得最小值即zmin＝3×1＋2×eq\f(4,5)＝eq\f(23,5),应选C.]5.(2022·北京,2)假设x,y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))那么z＝x＋2y的最大值为()A.0B.1 C.eq\f(3,2) D.25.D[可行域如下图.目标函数化为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z,当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z,过点A(0,1)时,z取得最大值2.]6.(2022·福卷,5)假设变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))那么z＝2x－y的最小值等于()A.－eq\f(5,2)B.－2 C.－eq\f(3,2) D.26.A[如图,可行域为阴影局部,线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z,由图形可知当y＝2x－z过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))时z最小,zmin＝2×(－1)－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,2),应选A.]7.(2022·山东,6)x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))假设z＝ax＋y的最大值为4,那么a＝()A.3B.2 C.－2 D.－37.B[不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示.易知A(2,0),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得B(1,1).由z＝ax＋y,得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时,z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax＝0,不满足题意,排除C,D选项；当a＝2或3时,z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值,∴2a＝4,∴a＝2,排除A,应选B.]8.(2022·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,那么该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元8.D[设甲、乙的产量分别为x吨,y吨,由可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))目标函数z＝3x＋4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影局部所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2,3).那么zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).]9.(2022·广东,3)假设变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n,那么m－n＝()A.5B.6 C.7 D.89.B[作出可行域(如图中阴影局部所示)后,结合目标函数可知,当直线y＝－2x＋z经过点A时,z的值最大,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1,x＋y＝1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－1)),那么m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时,z的值最小,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1,y＝x))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1)),那么n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3,故m－n＝6.]10.(2022·安徽,5)x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))假设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,那么实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1B.2或eq\f(1,2) C.2或1 D.2或－110.D[法一由题中条件画出可行域,可知A(0,2),B(2,0),C(－2,－2),那么zA＝2,zB＝－2a,zC＝2a－2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA,解得a＝－1或a＝2.法二目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z,令l0：y＝ax,平移l0,那么当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a＝－1或a＝2.]11.(2022·山东,9)x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时,a2＋b2的最小值为()A.5B.4 C.eq\r(5) D.211.B[法一不等式组表示的平面区域如下图,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a＋b＝2eq\r(5),两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20,又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2,所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2),所以a2＋b2≥4,即a2＋b2的最小值为4,当且仅当a＝2b,即b＝eq\f(2,\r(5)),a＝eq\f(4,\r(5))时等号成立.法二把2a＋b＝2eq\r(5)看作平面直角坐标系aOb中的直线,那么a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2eq\r(5)距离的平方,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－2\r(5)|,\r(5))))eq\s\up12(2)＝4.]12.(2022·新课标全国Ⅰ,9)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2,p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2,p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3,p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p312.C[画出可行域如图中阴影局部所示,由图可知,当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2,－1)时,取得最小值0,故x＋2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.]13.(2022·全国Ⅲ,13)假设x,y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值为________.13.eq\f(3,2)[满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0))的可行域为以A(－2,－1),B(0,1),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))为顶点的三角形内部及边界,过Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))时取得最大值为eq\f(3,2).]14.(2022·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,那么在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.14.216000[设生产A产品x件,B产品y件,根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，,y≥0，,x∈N*，,y∈N*))目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(