第三讲 函数的性质讲义

xaaaaxxxxaaaaxxx第二讲第3课时

函数的质义函数的单调性基过一单性1定如函数y＝(x)对于于定义域内某区间上的任意两个自变量的值xx，当x<时①有，称)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；都有，则称fx在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.若函数fx)在整个定义域l内有唯一的一个单调区间，则()称为.．判单性方：(1)定法，其步骤为：①；；.(2)导法函＝)在定义域内的某个区间上可导(x)在这个区间上是增函数；②若，f()在这个区间上是减函.二单性有结1．若f(),(x均为增(减函数，则(＋g()函数；2．若f()增减函数，则－f(x)为；3．互为反函数的两个函数有的调性；4．复合函数yf[g()]是义在上的数，若f()与g(x)单调相同，则f[g(x为，fx),g()的调性相反，则)]为.5．奇函数在其对称区间上的单性，偶函数在其对称区间上的单调性.典例例1.已知函数f(x)=a+

xx

(a＞，明：函数f(x)在-1,+∞上为增函证方一任,x∈(-1,+),不妨设x＜,则x-x＞＞且＞∴(又∵+1＞+1＞0,∴

x(2)(xxx(x(xx

＞于是f(x)-f(x)=

a

+

xxx

＞

故函数f(x)在（-1,+∞）上为函.f

＞在-1，∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函.方法三∵＞∴y=a为函，又y=

xx

，在（-1，∞）上也是增函.∴y=a+在-1，+∞）上为函.x变训1讨论函数fx）=x+（＞0）的单调.x解方法一显f（）奇函数，所以先讨论函数f（x在（，∞上的单调性，设x＞＞则f(x)-f(x)=（）（+）=(x-x）∴当0＜x＜≤

a

时，

axx

＞1,

则f（）-f（x）0，即f(x＜f(x),故f（）在（，

a

］上是减函.当x＞≥时，0＜第1页共6页

ax

＜，f（）（）＞0,即f(x)f(x),

a44-(x)=23a44-(x)=23故f（）［

a

，∞上是增函数∵（）奇函数，∴（）别在（∞-

a

a

，∞）上为增函数；f（）分别在［-

a

，

a

］上为减函.方法二由

f

=1-=0可得x=±x

a当x＞或x-时，f

＞∴（）别在（，+a］上是增函数.同理0＜＜或＜＜时

f

＜即f（）别在（，aa，）上是减函.例2.判断函数f(x)=在义域上的单.解函的定义域为≤-1或x≥1},则f(x)=x,可分解成两个简单函.f(x)=

u(x)()

=x-1的形.当x≥时u(x)为增函数，

u(x)

为增函数.∴（）

在［1，∞上增函数当x≤-1时（x)减函数，

u()

为减函数，∴f(x)=在-∞,-1］上为减函.变训2求函数y=

log

（4x-x）单调区.解由4x-x＞，得函数的定义域是，）令t=4x-x，y=logt.∵t=4x-x=-（x-2）+4，∴t=4x-x

的单调减区间是2，4区是0，］.又logt在（0，∞）上是减函数∴函数y=

（）单调减区间是（0，调增区间是，4).例3.求下列函数的最与值域：（）

x

;(2)y=x+;(3)y=x

(2)

.解1由≥函数定义域为［，t=3+2x-x=4-(x-1)∴∈0，4

t

∈［0，2从而，当时，y=2，x=-1或x=3时，y=4.值域为［2，］(2)方法一函y=x+是义为x|x0}的奇函数故其图象关于原点对称,故只讨论xx＞0时,即可知x＜时最.∴当x＞0时,y=x+≥x

4

=4，等号当且仅当x=2时得当x＜时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为-∞，］∪［，∞最.方法二任,x,且x＜,因为f(x)-f(x)=x+

44(x)(x4)x

,

所以当x≤或x≥2时f(x)增当＜＜0＜x＜时，f(x)递减.故x=-2时，=f(-2)=-4,x=2，f(x)=f(2)=4,所以所求函数的值域为-∞，-4∪［，∞最（小）值（）函数式变形为y=

(x(x(0

,可视为动点（x,0）定点（，2-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴交点（横坐标）即为所求的最小值.y=|AB|=

(0

，可求得x=时，y=

13

.显然无最大值.故值域为［

，∞）.变训3在经济中，函数的边际函数Mf(x)定为Mf（）（x+1）（.某公司每月最多生产100台报警系统装置生产（＞）台的收入函数为（=3单位：)其成本函数为C（x）=500x+4（单位：元润收入与成本之差第2页共6页

xxx4xxx4（）利润函数P（）及边际利润函数MP（（）润函数P（）与边际利函数MP）是否具有相同的最大值？解1P（）=R（）-C（）（3000x-20x）（500x+4000）+2500x-4（∈1，100］x∈）MP（）（）（）（）+2500x+1-4000--20x+2500x-4000）=2480-40x（∈［1，100］∈）（）（）=-20(x-

)

+74125，当x=62或63时，=74120（）因为MP（x）480-40x是减数，所以当时，MP(x)=2440(元）.因此，利润函数P（）与边际利润函数（）不具有相同的最大.例2009·西池模拟）已知定义在区间，+∞上的函数f(x)满足f(且当x＞时，＜

xx

)

=f(x)-f(x)，（）f(1)的值；（）断f(x）的单调性；（）f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解1令＞代入得f(1)=f(x)-f(x)=0,故f(1)=0.（）取x,x∈(0,+∞，且xx,＞由于当x1时，f(x)0,x所以f()＜即f(x)-f(x)＜因此)f(x),x所以函数f(x)在间0,+∞上单调递减函.（）f()=f(x)-f(x)得)=f(9)-f(3),而所f(9)=-2.x由于函数f(x)在间（∞上是单调递减函数，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴＞9或x＜因此不等式的解集{x|x＞或x＜变训4函数f(x)任意的a、∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞时f(x)1.（）证f(x)是R上的增函；（）f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)3.解1设∈，且x,则x-x＞∴f(x-x)＞f(x)-f(x)=f((x)+x)-f(x)=f(x-x)+f(x)-1-f(x)=f(x-x)-1＞∴（）＞f(x).即是R上增函数（）f（）（）（）+f（2）-1=5，∴（）=3，∴原不等式可化为f(3m-m-2)＜∵f(x)是R上增函数，∴3m-m-2＜解得-＜＜,故解集为-1,）3小:．证明一个函数在区间D上增减函的方法有：定义法其过程是：作差——变形——判断符号而最常用的变形是将和形式的结构变为积的形式的结构(2)求导法.其过程是：求导——判断函数的符号——下结.2．确定函数单调区间的常用方有(1)察法；(2)象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间定法(4)导.注意：单调区间一定要在定义域.3．含有参量的函数的单调性问，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围解是由定义或导数法得到恒成立的不等式合义域求出参数的取值范围第3页共6页

2，2，第4时

函数的奇偶性基过．奇性①定：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都，称()为奇函数；若，称x)为函数如函数()不具有上述性质，则f()不有.如函数同时具有上述两条性质，则().②简性质：1）图的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对.2）函fx具有奇偶性的必要条件是其定义域于对称．与函周有的论①已知条件中如果出现(x)(x)

或()（、为非零常数，a可得出)

的周期为；②yf(x)

的图象关于点(,0),(b

中心对称或f(x

的图象关于直线xa典例

轴对称，均可以得到f()

周期例1.判下列函数的奇偶（）f(x)=

;(2)f(x)=log(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解1∵-101-x≥0,∴±1,即f(x)的定义域是-1，∵（），f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既奇函数又是偶函.（）法一易知f(x)的定义域为R，又∵f(-x)=log［

(2

］=log

1xx

=-log(x+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R又∵f（）（）=log［

()2

］+log(x+)=log1=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（）|x-2|＞，x≠2.∴（）定义域x|x≠2}关于点不对称，故为非奇非偶函.变训1判断下列各函数的奇偶性：（）（）（）

22

；（）（）（）（）

lg(1)x

；(xx

(解1由≥，得定义域为-2，于点不对称，故f（）为非奇非偶函.2（）得义域为-10）∪（0，）这时f（）

)lg(1)x2)x

.第4页共6页

11111111111111∵（）=-

lg1))(),()

∴（）偶函数（）＜时，（），-x＞1,（-x）=-（-x+2=x+2=f（x）x＞时，（）=-x+2，＜，f(-x)=x+2=f(x).-1≤≤时，f（）=0，≤≤1,f-x=0=f（）.∴对定义域内的每个x都（）（）因此f（）是偶函数例已函数f(x),当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（）证f(x)是奇函数；（）果x∈R，（）0,并试求f(x)区间［，］的最值（）证：∵数定义域为R，定义域关于原点对.∵（）（）+f（y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（）+f-x）=0得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（）解方法一设x,y∈，∵（x+y=f（+f（y∴（）（）=f（）x∈R，（）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,f(x+y)f(x).∵x+y＞f(x)在（，∞上是减函又∵（x）为奇函数，f（），∴（）（∞∞上是减∴f（）为最大值f(6)为最小值.∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（）（2∴所求f(x)在间-2，］的最大值为，最小值-3.方法二设x＜,且x,x∈R.则f(x)=f［+(-x)］=f(x)=f(x)-f(x).∵-x＞∴f(x-x)＜∴f(x)-f(x)＜0.f(x)在R单调递减.∴（）为最大值f（）最小.∵（）=-，2∴（）=-f（）（），（）3）=2f（）+f（∴所求f(x）在区间［，］的最大值为1，最小值-3.变训2已知f(x)的奇函数，且当x∈(-,0)时f(x)=-xlg(2-x),求的解析.解∵（）奇函数，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.当x＞时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（）（2+x即f（）=-xlg(2+x)（＞）∴f(x)=即f(x)=-xlg(2+|x|)∈

))

(0),(0).例已函数f(x)的定义域为，且满足f(x+2)=-f(x).（）证f(x)是周期函数；（）f(x)为奇函数，且当0x≤1时f(x)=求使在0，009］的所有x2个数.（）证：∵f（x+2）（∴（）=-f（）=-［（（∴（）以4为周的周期函.（）解≤≤1时，f(x)=x,设1≤≤0,则0≤-x≤∴（）（-x）=-x.22∵f(x)是奇函数，f（-x）=-fx）∴（）x，即f(x)=x.2故f(x)=x(-1≤≤2第5页共6页

2

11110051111111111005111111又设1＜＜3,则1＜x-2＜1,∴f(x-2)=(x-2),2又∵f（x-2）（）））=--f-x（∴（）（x-22∴（）（x-2＜＜）2∴（）

x(1(x2由f(x)=