第3讲 二项式定理

xxxxn8x4488xxxxn8x4488第3讲

二项式定理一、选择题11．二项式开式中的常数项是()A．20C．160

B．－D．－1解析二项(2x－)x

6

的展开式的通项是T＝Crr6

·(2x)

6r·

r

＝C

r6

·26·(－1)

1·x－2.令6－2r＝，＝3，因此二项式(2－)x

6

的展开式中的常数项是C

36

·26－3

·(－1)

3

＝－160.答案D22二项式－开式中第5项是常数项整数n的值可能为()．A．6B．10C．12D．15解析

T＋1

＝C()n

2－3rn－r－2)Cx，当r＝，＝0，又n22∈N

*

，∴n＝12.答案

C3．已展开式中常数项为1，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是

()．A．2

8

B．3

8

C．13

8

D．1或2

8解析

由题意知C(－)＝1120解得＝±2令x1得展开式各项系数8和为(1a)＝1或3答案

C4．设

5x－

1x

n

的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为，若M－＝240，则展开式中x的系数为()．A．－150B．150C．300D．－300

201222012|n1121011n11211101815r18rrr201222012|n1121011n11211101815r18rrrrr322318xx解析

由已知条件4

－2

＝240，解得n＝4，T＝C(5x)＋14

4－r

－

1x

＝(－1)

5

4－C

3rx4－，42令4－

3r＝1，得r＝，T＝150.23答案

B5．设a∈，且0≤a若51＋a能被除，则a＝)．A．0B．1C．11D．12解析

51

2012

＋a(13×4＋

被13除＋，结合选项可得a12时，51＋能被13除．答案D6．已知，方程a

＝|logx的实根个数为n且＋a

＋＋

＝a＋(0＋2)＋a(＋＋…＋(＋2)＋(＋2)，则a＝210111A．－B．9．D．－

()．解析

作出ya(>0)与＝|logx的大致图象如图所示，a所以n2.(x1)

＋(＝(＋2

＋(＋2，所以a＝－＋C＝－2＝9.1答案

B二、填空题7．

x－

1的展开式中含x的项的系数为_结果用数值表示)．3x解析

T＝x－r

－

11)C－r令18r15解得r3x1822＝2.以所求系数为(－1)17.答案

178．已(1＋x＋2

)

1x＋

n

的展开式中没有常数项，n∈N

*

且2≤n≤8，则n＝________.解析

1

n

展开式中的通项为

＋1nx22x－63r6rrrr266x44231＋1nx22x－63r6rrrr266x44231nx01nnr8rrrx2T＝Cx－r＝C

x－4r(r＝0,1,2，…，8)，n将n＝逐个检验可知n＝5.答案

n＝9．若(cosφ＋)

5

的展开式中x

π的系数为2，则sin＋________.解析由二项式定理得，3系数为C3cos2φ＝2，51π3∴cos2φ＝，故sin＋φ＝2cos2φ－1＝－.55答案－

35a10设二项式＞的展开式中的系数为A，常数项为B.若＝A，则a值是________．解析

由T

r1

3＝Cx－＝(－)6r得B(a，＝C(a)，∵B4Aa0∴a6答案

2三、解答题11．已知二项式x＋的展开式中各项的系数和为256.求n(2)求展开式中的常数项．解

由题意，得＋＋＋…＋＝256，即2＝256，解得n＝8.nn3－r8－r该二项展开式中的第r＋1项为＝(x－··，令＝r10，得r＝2，此时，常数项为＝＝28.3812已知等差数列…与等比数列2,4,8…求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{C}的通项公式．n解

等差数列，…的通项公式为a3n－，n等比数列2,4,8，…的通项公式为b＝2k

k

，令3n－＝2

k

，n∈N

*

，∈N

*

，

2n＋255nx＋252r5rr55r＋rr242n5n24n2463424325772n＋255nx＋252r5rr55r＋rr242n5n24n2463424325777201即n＝

2

k

＋13

＝

－

3

k

＋1＝

C

0k

3k－C

1k

3

k－1

＋…＋C

k－1k

3

－

k－1

＋C

kk

－

k

＋1

，当k＝2m－时，∈N

*

，n＝

C

02－1

3

2－1

－C

12－1

32－23

＋…＋C

2－22－1

3

∈N

*

，C＝bn2－1

＝2

2－1

(n∈N

*

)．13已知(a＋1)展开式中的各项系数之和等于

161x的展开式的常数项，x而a

2

＋1)

的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解

1615x

的展开式的通项T＝Cxx

5

－

20rCx5

，16令20－5r＝0，得r＝，故常数项＝C×＝又(a＋1)展开式的各项系5数之和等于2

n

，由题意知

n

＝16得n＝由二项式系数的性质知，(

2

＋展开式中系数最大的项是中间项，故有＝54，解得a＝3.314已知＋2x若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；若展开式前三项的二项式系数和等于79求展开式中系数最大的项．解

∵C＋C＝2C，∴n－21＋98＝0.nn∴n＝7或n＝，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T和T.4535∴T的系数为C＝，42T的系数为C＝70当n＝时，展开式中二项式系数最大的项是T.8∴T的系数为C814

＝432.∵C

＋C＋C＝，∴nn

＋n－156＝0.

12121222kk1k1－1212122