运筹学-图与网络分析

OPERATIONSRESE运筹学OR31运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第1页!第六章图与网络分析ABCDE引论:哥尼斯堡七桥问题

ABCDA

BcDOR32运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第2页!铁路交通图此图是我国北京,上海等十个城市间的交通图,反映了这十个城市间的铁路分布情况.点表示城市,点间的连线表示两个城市间的铁路线.诸如此类问题还有电话线分布图或煤气管道分布图等.北京济南徐州青岛南京上海连云港郑州武汉天津OR33运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第3页!6.1图的基本概念图是由点和线构成的。点代表所研究的对象，线表示对象间的关系。1、图的分类：无向图，有向图无向图：由点和边所组成的图。表示为G=(V,E).有向图：由点和弧所组成的图。表示为D=(V,A)点的集合用V表示，V={vi}2、图上的基本概念：（1）边：图中不带箭头的连线叫做边(edge)，边的集合记为E={ej

}，一条边可以用两点[vi,vj

]表示,ej=[vi,vj].弧：图中带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合记为A，A={ak

},一条弧也是用两点表示，ak=[vi,vj

],弧有方向：vi为始点，vj为终点OR34运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第4页!（2）次：以点u为端点的边的条数，叫做点u的次。悬挂点：次为1的点叫做悬挂点；孤立点：次为0的点叫做孤立点；奇点：次为奇数则称奇点；偶点：次为偶数则称偶点。基本定理：1、图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即2、任一图中，奇点的个数为偶数。OR35运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第5页!6.2树与最小生成树1、树的概念与性质树：无圈的连通图称为树。定理：定量3：设图G=（V,E)是一个树，p(G)≥2,则G中至少有两个悬挂点。定量4：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G不含圈，且恰有p－1条边。定量5：图G=（V,E)是一个树的充要条件是G是连通图，并且q(G)=p(G)-1.定量6：图G=（V,E)是一个树的充要条件是任意两个顶点之间恰好有一条链。OR36运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第6页!3、最小支撑树最小支撑树：当一个连通图的所有边都被赋权，则取不同边构成的支撑树具有不同的总权数，其中总权数最小的支撑树称为最小支撑树。求最小支撑树的方法：破圈法：在连通图中任取一个圈，去掉一条权数最大的边，在余下的图中重复上述步骤，直至无圈为止。避圈法：将连通图所有边按权数从小到大排序，每次从未选的边中选一条权数最小的边，并使之与已选的边不能构成圈，直至得到最小支撑树。OR37运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第7页!6.3最短路问题引例:单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。最短路问题的一般描述：对D=（V，A），a=（vi，vj），w（a）=wij，P是vs到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记为w（P），则最短路问题为：V2(v1,6）路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（vs，vt）最短路：赋权有向图D=（V，A）中，从始点到终点的权值最小的路称为最短路。OR38运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第8页!Dijkstra算法的基本步骤：1:给vs以P标号,P(vs)=0,其余各点均给T标号,T(vi)=+∞2:若vj点为刚得到P标号的点,考虑这样的点vj,(vi,vj)∈E,且vj为T标号.3:对vj的T标号进行如下更改:4:比较所有具有T标号的点,把最小者改为P标号.当存在两个以上最小值时,可同时改为P标号.若全部改为P标号,则停止.否则转回(2).OR39运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第9页!最短路问题的算法：Bellman算法适用范围：有向图，且图中有wij﹤0。假设前提：任意两点vi,vj之间都有一条弧。（若无，则添加一条虚拟的弧，且其权值为＋∞。）公式来源分析：OR310运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第10页!为了求得公式的解可以运用以下公式：令：OR311运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第11页!举例：求v1到各点的最短路OR312运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第12页!当计算到第六步时，计算结果与第五步相同，则表中第六列的数字分别表示点v1到其它各点的最短路。寻找最短路径的方法：反向追踪法。OR313运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第13页!6.4最大流问题1、掌握可行流、增广链、截集、截量等基本概念2、掌握基本定理8及其证明3、掌握求最大流的标号法OR314运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第14页!最大流问题的基本概念1、容量网络如果有向连通网络图D=(V,A)的每一条弧（vi，vj）上都被赋予一个非负数，以表示通过该弧的最大通行能力，称为弧的容量，则称这样的网络为容量网络，记作D=(V,A,C)。OR315运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第15页!3、可行流对给定的D=(V,A,C)，把满足下列两个条件1），2）的流称为可行流。1）容量限制条件:对D中的每一条弧（vi，vj），有0≤fij≤cij;2）平衡条件:对中间点vi，流入量等于流出量,即;

对发点vs，有;

对收点vt，有.是可行流的流量，是发点的净输出量，是收点的净入量。注意：任一D=(V,A,C)都存在可行流。如零流就是一个可行流。如果D=(V,A,C)中没有给出弧上的流量fij，可认为fij＝0。OR316运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第16页!5.截集、截量、最小截量截量：截集（，）中所有弧的容量之和称为该截集的截量，记为c（，）.最小截集：在D=(V,A,C)的所有截集中，截量最小的截集称为最小截集，记为()。OR317运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第17页!6、增广链在容量网络D=(V,A,C)中，若为网络中从vs到vt的一条链，给链定方向为从vs到vt，上与同方向的弧称为前向弧，与反方向的弧称为后向弧，前向弧和后向弧的集合分别用和来表示。设是一个可行流，如果满足：则称为从vs到vt的（关于f的）增广链。OR318运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第18页!7、最大流量最小截量定理定理8：可行流是最大流的充要条件是不存在从vs到vt的关于的增广链。重要结论：任一容量网络D=(V,A,C)中，最大流的流量等于最小截集的截量。可行流f是最大流的充分必要条件是不存在从到可行流f是最大流的充分必要条件是不存在从到可行流f是最大流的充分必要条件是不存在从OR319运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第19页!再证明：若D中不存在关于的增广链，则该流是最大流。利用下面的方法来定义V1:OR320运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第20页!标号法的基本方法介绍1.标号过程在这个过程中，网络中的每个标号点的标号由两个标号组成：个标号表明该点的标号是从哪一点得到的，以便找到增广链；第二个标号是为确定增广链上的调整量用的。OR321运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第21页!调整过程1）按上一步的个标号用反向追踪法找出增广链。2）令调整量＝l(vt)，且令：然后去掉所有标号，回到标号过程，对可行流重新标号。OR322运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第22页!球队比赛图五个球队比赛,比过的两个队之间用连线相连，还没有比赛的队之间没有连线v5v4v3v2v1OR323运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第23页!例1.v7v1v2v3v4e1e2e3e4e5e6e7a9v1v2v3v4v5v6a1a2a8a4a3a5a6a7a10环：两端点相同的边。多重边：若两点之间有多于一条边，则称这些边为多重边。简单图：无环、无多重边的图。多重图：无环，但允许有多重边的图。e7OR324运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第24页!（3）链：点边交替序列称为链；圈：首尾相连的链称为圈；初等链：链中各点均不同的链；初等圈：圈中各点均不同的圈；简单链：链中边均不同的链；简单圈：圈中边均不同的圈。（4）连通图：任意两点之间至少有一条链的图。连通分图：对不连通的图，每一连通的部分称为一个连通分图。支撑子图：对G=(V,E)，若G’=(V’,E’)，使V’＝V，E’包含于E，则G’是G的一个支撑子图。赋权图：在图中，如果每一条边（弧）都被赋予一个权值wij，则称图G为赋权图。（5）路：在有向图中，如果链上每条弧的箭线方向与链行进方向相同，则称之为路。回路：首尾相接的路称回路OR325运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第25页!2、图的支撑树支撑树：设T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图，如果T是一个树，则称T为G的支撑树。定理7：图G有支撑树的充要条件是图G是连通的。求支撑树的方法：破圈法：即任取一个圈，从圈中去掉一条边，对余下的图重复这个步骤，直至图中不含圈为止。避圈法：在图中每次任取一条边，与已经取得的任何一些边不够成圈，重复这个过程，直到不能进行为止。OR326运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第26页!避圈法的基本步骤P259步：令i＝1，E0＝空集。第二步：选一条边ei∈E﹨Ei-1,使ei是使（V,Ei-1∪｛e｝）不含圈的所有边e（e∈E﹨Ei-1）中权最小的边。令Ei＝Ei-1∪｛ei｝,如果这样的边不存在，则T=(V,Ei-1)是最小树。第三步：把i换成i＋1，转入第2步。OR327运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第27页!最短路算法Dijkstra算法：有向图，wij≥0一般结论：Dijkstra算法基本思想:采用标号法:P标号和T标号P标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。T标号：未确定出最短路的节点，但表示其距离的上限(试探性标号)。算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完为止.Si：P标号节点的集合。

OR328运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第28页!用Dijkstra算法求图中v1到v8的最短路OR329运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第29页!基本思路：用逐次逼近来求网络中的最短路：每次求出从始点到网络中其余各点有限制的最短路。若次逼近即得最短路，则限制其最短路只有一条弧，其路长记为；若第二次逼近即得最短路，则限制其最短路不超过两条弧，其路长记为；依此类推，第k次逼近得最短路，则限制其不超过k条弧。一般的，最多逼近n-1次即得到最短路。OR330运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第30页!基本步骤：1、令，其中，若v1与vj间没弧，则记w1j=+∞。2、当计算到第k步时，若有成立，则停止计算。即为从v1到各点的最短路。OR331运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第31页!计算过程见下表：025-30-2406400-3047203-10025-3020-3611020-36615020-3361410020-336910020-336910OR332运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第32页!OR333运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第33页!引例：如下输水网络，南水北调工程，从vs到vt送水，弧旁数字前者为管道容量，后者为现行流量，如何调运输水最多？vsvtv2v1v4v3(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(1,1)(2,2)(3,0)(2,1)(5,3)OR334运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第34页!2、流在D=(V,A,C)中，如果实际通过每一弧（vi，vj）的流量是fij，则称集合f=｛fij｝为网络D=(V,A,C)上的一个流。OR335运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第35页!4、最大流使得从网络发点到收点得总流量（W）达到最大得可行流f=｛fij｝称为最大流。最大流问题就是求一个流f=｛fij｝使其流量达到最大，并且满足：注意：寻求网络中的最大流就相当于求线性规划模型的最优解。OR336运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第36页!注意：容量网络图D的截集不是唯一的，截集个数是有限的。如果在图D中把任何一个截集中的弧丢掉，那么从发点就不能通往收点。所以，截集是从发点到收点的必经之道。从而，有任何一个可行流的流量都不会超过任意截集的截量。OR337运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第37页!增广链的实际意义：沿着这条链从vs到vt输送的流，还有潜力可挖，只需按照定理证明中的调整方法，就可以把流量提高；调整后的流，在各点仍满足平衡条件及容量限制条件，即仍为可行流。这样，就得到了一个寻求最大流的方法：从一个可行流开始，寻求关于这个可行流的增广链，若存在，则可以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该流的增广链时就的得到了最大流。OR338运筹学——图与网络分析共42页，您现在浏览的是第38页!定理8可行流是最大流的充要条件是不存在从vs到vt的关于的增广链证明：先证明：若可行流是最大流，则中不存在关于的增广链。若是最大流，设D是的增广链。令：由增广链的定义可知