第1讲 平面向量的概念及其线性运算

1212412第1讲平面向量概念及其线性运算一、选择题1.已知两个非零向量，b满足|a+|=|a|，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.⊥bC.{0,1,3}D.a+ba答案B2．对于非零向量，b，“＋b”是“a∥b”的)．A．充分不必要条件C．充要条件

B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析

若a＋b＝0，则＝－b.∴a∥b；若a∥b，则＝λb，a＋＝0不一定成立．答案

A→→→3知O△ABC所在平面内一点DBC的中点且＋＋＝，那么

()．→→AO＝OD→→C.AO＝3

→→B.＝2→→D．2AO＝OD解析→＝OD.答案

→→→→由2＋OBOC可知是底边BC上的中线AD的中点，OA→→4．设A，A，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λA(λ→→1R)＝μAμ∈R)，且＋2，则，A调和分割A，A.知平面112λμ312

2μ11→→222μ11→→2233→→→→→→→→上的点C，调和分割点，B，则下列说法正确的是A．C可能是线段AB的中点B．D能是线段的中点C．C、可能同时在线段上D．CD不可能同时在线段AB的延长线上

()．解析

11若A成立，则λ，而＝0不可能；同理B不可能；若C成立，11则0λ10＜，＋＞，与已知矛盾；D同时在线段的λμ11延长线上时＞1μ＞，＋2与已知矛盾，D不可能同时在λμ线段的延长线上，故D正确．答案

D→5已知AC平面上不共线的三点是△的重心动点P满足＝OA＋OB＋2OC一定为三角形的()．3A．边中线的中点B．边中线的三等分点非重心)C．重心D．AB边的中点解析

1→1→→→1→→1→设的中点为MOAOBOMOP(OM2OC＝OM23

→→→→→→OC即＝OM＋2，也就是MP∴，M，C三点共线，且P是上靠近的一个三等分点．答案

B6在四边形ABCD中＝a＋2＝－4a－b＝－5a3则四边形的形状是()．A．矩形C．梯形

B．平行四边形D．以上都不对解析

由已知AD＝AB＋＋＝－8－2b＝2(－4a－)＝2BC.

→→→→→→→→31→→→→→→→→→→→→∴AD∥，又A与C不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案

C二、填空题→→→7．是两个不共线向量AB＝2ap＝a＋b＝－，，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析

→→→∵BDBCCD－b又，，D三点共线，→→∴存在实数，使Bλλ，即λ，

∴p－答案

－1→→→8.如图，在矩形，|＝1，AD＝2，设B＝a，→→＝b，BD＝，则|a＋＋|＝________.解析

→→根据向量的三角形法则有abc|＋→→→→→→→＋BD＝|ABBD|AD＝2|AD＝4.答案

4→→→→→9．若O是△在平面内的一点，且满|OB－OC＝|＋OC－2OA，则△ABC的形状为________．解析

→→→→→→→→→OB－2OAOB＋－OAAB，→→→→→→→→→OB＝＝－，∴|＋＝|ABAC故A，C为形的三个顶点，△ABC直角三角形．答案

直角三角形10．若M为△ABC一点，且满足＝＋AC，则△与△ABC的面积之比44为________．解析由题知B、、C三点共线，设＝λ，则：AM－＝λ(－AB)，∴AM＝(1－λ)＋λAC，

eq\o\ac(△,S)2→→→→→→→→→eq\o\ac(△,S)2→→→→→→→→→→→→→→→→→→1∴λ＝，4S1∴＝.4△ABC1答案4三、解答题11．如图所示，△ABC中，＝，DE∥交于E，是BC边上的中线，3交DE.设＝，AC＝，用a，别表示向量，，，DN，，AN.解

221AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－)，＝(b－a)，33311AM＝(a＋b)，＝(a＋)．23→→→12(1)设两个非零向量不共线，如AB＝2e＋e6e＋23eCD12121＝4e－，求证：，B，三点共线．12→→→设ee是两个不共线的向量已知AB＝2e＋e＝e＋e＝e112－e，若A，，D三点共线，求的值．2证明

→→因为BC＝6e＋，＝e－e，12→→→所以BD＝＋CD10＋15e.12→→→→→又因为AB＝2e＋e，得BD＝5，即∥，12→→又因为AB，BD有公共点B，所以，B，三点共线．解

→→→D＝e＋3－2e＋e＝－e，1121→＝e＋ke，12→→若A，，D共线，则AB∥DB，＝λ，设DλAB，所以λ

k＝－8.

33222222222→→→→→→→→→33222222222→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→13如图所示，在△ABC中，在AC上取一点，使得1＝AC，在上取一点M，使得AM＝AB，在1的延长线上取点，使得＝，在延→→→→长线上取点Q使得MλCM时，＝QA，试确定λ的值．解

→→→→→1→→→→→→1→∵AP＝－NA＝BN－)＝(BN＋＝＝MA－MQ＝BM→＋λ，→→→→→又∵AP＝，∴BM＋λMC＝，→1即λ＝MC，∴＝.14．已知O，，B三点不共，且OP＝＋，(m，∈．(1)若m＋＝1，求证：，，B三点共线；(2)若A，，B三点共线，求证：＋n＝1.证明

(1)m，∈R且＋n＝，∴OP＝mOA＋＝＋(1－m)，即OP－＝m(－OB)．∴BP＝mBA，而BA≠0，且∈故BP与共线，又BP，有公共点