2023年高考数学一轮复习重难点专题突破汇总

专题01玩转指对塞比较大小

【方法技巧与总结】

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,

C的大小.

（2）指、对、黑大小比较的常用方法：

①底数相同,指数不同时,如俨和源,利用指数函数y=ax的单调性：

②指数相同，底数不同，如x：和甘利用塞函数丁=/单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如［。外巧和1。/应利用指数函数单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助

中间量进行大小关系的判定.

（3）转化为两函数图象交点的横坐标

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

【题型归纳目录】

题型一：直接利用单调性

题型二：引入媒介值

题型三：含变量问题

题型四：构造函数

题型五：数形结合

题型六：特殊值法、估算法

题型七：放缩法

题型八：不定方程

【典例例题】

题型一：直接利用单调性

1

例1.（2022•江西•二模（文））已知a=/og^2,b=sin^,c=Q）5,则0h'。的大小关系

是（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数函数、三角函数、幕函数的单调性比较大小即可.

【详解】

a=log^2>log^6=1,

因为y=sin%在xe0,§是单调递增函数，所以0cb=sin^<sin.=g,

因为y=£在xe0,+8）是单调递增函数，所以i>c=>gy=1

所以Q>c>b,

故选：C.

例2.（2022•陕西西安•一模（理））已知Q=big,b=In（lg2）,c=，g（伉2）则a,b,c的

大小关系是（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数的性质比较大小

【详解】

先比较a,b,易知，g2<g,故5（Zg2）<Zn1,即bVQ

又e<10,故x>1时>Igx,OVxVl时"xv/gx

故，mg,而bi2>g故1g（勿2）>Lgg>仇5有c>a

故选：A

例3.（2022•河南•许昌高中高三开学考试（文））已知a=/og33b=log^+1（3-2V2）,

,O54

c=-2t则a，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<hD.b<a<c

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数的运算可知b=—2,c=-今再利用对数函数y=/。93%的单调性可比较大小，进

而得解.

【详解】

2

b=，。9互+1(3-2V2)=log无+1(V2-l)=2log^+1(V2-1)=2log4、嵩=-2,,

。=_2咽=2叫=_三，

2

又y=的3%为定义域上的增函数，，-2=log3^<a=log3^<log3-^=--|

所以6<a<c.

故选：D

题型二：引入媒介值

例4.（2022■全国■高三专题练习）若a=k）g23,b=log34,c=log45,则a、b、c的大

小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

根据对数函数的性质可得a>1力>1,c>1,然后利用对数的运算化为同底并结合对数函

数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值|比较，得出a>g>b>l,b,c

分别与中间值［比较，得出b>：>c,综合即可选出答案.

44

【详解】

解：由题意，log23>log22=1,log34>log33=1,log45>log44=1,

即Q>1力>1,c>1,

vc=log45=log225=5=log?55=log?V5»

而〃=log23>log2y/5,所以a>c>1,

33

:a=log23>Iog22^2二—而b=log34<log3373=

2

5

又•••(=log,3=log3用，b=log34=log3正，

而44),则噫">噫疗，即b>%

同理，•.•?=log444=log4〃^，c=log45=log4V?>

而45>53则Iog4*>k)g4疗，即3>C,

综上得：a>；>b>2>c>l,

24

所以c<b<a.

故选：D.

例5.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a,b,。满足。=6；，b=1°978+

/0况649,7。+24b=25。，则。，田。的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求出a,b,c的大致范围，即可比较a,b,c的大小.

【详解】

由题意得，a=65>6°=1-故2>a>l；

2

b=log78+103^49=log756-1+2log5f）7=/o,g756+-1,

77

因，。9756>，。。749=2,根据对勾函数得，。9756+正羡>2+万=3,因此6>3—1=2；

由勾股数可知72+242=252,又因7b+24%=25c且b>2,故b>c>2；

因此b>c>a.

故选：C.

例6.（2022•广东茂名•模拟预测）已知a=sin2/=Zn2,c=2T，贝U0，b,c的大小关系

是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】

判断sin2和sing的大小，比较a与:、b与：、c与*的大小可判断a与b大小关系及b与c

大小关系，判断a与立、c与它的大小可判断“与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关

22

系.

【详解】

.°、.2“遮、3

a=smz>sin--=—>

34333

（句=/>24=3>2=lne7=q>ln2，即・・a>b;

16

64

a>c>b.

故选：D.

【点睛】

本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以:和包两个值作为中间值，比较“、6、

42

C与中间值的大小即可判断。、b、。的大小.

例7.（2022,全国•高三专题练习）已知a=3'W，b-log2425,c-log2s26,则a,b,c

的大小关系为

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】D

【解析】

先由题，易知a=3吗<1，而b=log2425>1,c=log2526>1,再将b,c作商，利用对

数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.

【详解】

因为）故a=3吗<1

b=log2425>l,c=log2526>1

f=鬻噗=1092526log2s24<（—26产24）2=/物5（25+1）（25-I）］2<1

所以c<b,即b>c>a

故选D

【点睛】

本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属

于中档偏上题型.

例8.（2022•北京通州•模拟预测）已知a=log3；,b-Inn,c-ba,则a,b,c的大小关

系（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】

解：因为-l=log3g<log3；<log31=0，即

又比n>Ine=1,即b>l,

所以0V〃V=1,即0VCV1,

综上可得b>c>a,

故选：A

题型三：含变量问题

例9.(2022•全国•高三专题练习)已知。€(0年)，a=嗤穿茅，6=霭言?，c=

管霍小，则abc的大小关系为()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知构造函数/0)=黑孝，可得/(x)的图象关于直线x=1对称.再求导，运用导函数

的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.

【详解】

由题可设f(无)=邛书，因为/(2-幻=/(%),所以/(工)的图象关于直线x=1对称.

因为/''(¥)=幺号争凶,当xe(1,2)时，0<(X—1)2<1,所以行(X-1)2<0,1-ln(x-

1)2>0,0—1)3>0,所以所以/(%)在(1,2)上单调递增，

由对称性可知"X)在(0,1)上单调递减.因为ee(O*),所以0<sineVg<FVcoseVI,

所以c=f(sinB)>f(cosd)=b；

又2cos2。>|>1,0<sind<^<1,由对称性可知f(2cos28)=/(2-2cos28),且0v

2-2cos20<I，因为2—2cos20—sin0=2sin2Q—sin6=sind(2sin0-1)<0,所以

0<2—2cos28<sin0<7,

又/1(x)在(0,1)上单调递减,所以c=/(sin0)</'(2-2cos2e)=/(2cos20)=a,所以

b<c<a,

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查比较大小，关键在于构造合适的函数，并运用导函数得出函数的单调性

和对称性得以解决.

例10.(2022•江西宜春•模拟预测(文))己知实数x,y,ZER,且满足华=斗=一9,y>1,

Jexey肝

则x,y,z大小关系为()

A.y>x>zB.x>z>yC.y>z>xD.x>y>z

【答案】A

【解析】

【分析】

根据给定条件，可得x>l,z<0,构造函数，借助函数单调性比较大小即得.

【详解】

因"=W=-J，y>1>则/x>o,-z>o,即x>i,z<o,

exeye"/

令/CO=x->1,则/(x)=1-:>0,函数/(x)在(1,*»)上单调递增，有/(x)>

/'⑴=1>0,

即inx<x,从而当x>Ly>i时，£=中</，令g(t)=?/>i，g'⑷=录<°，g(t)在

(i,”)上单调递减，

则由x>1/>1,g<※得y>X>1,

所以y>x>z.

故选：A

【点睛】

思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析

并运用函数的单调性求解作答.

例11.(2022•天津•高三专题练习)已知xe(e-1,l),记a=\nx,b=©7=elnx-则a,b,c

的大小关系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据xe(eT,l),利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】

解：因为尤&(e-1,l)«

所以a=Inx丘(-1,0),d=(畀“、G(l,2),c=elnxegi),

所以a<c<b,

故选：A

例12.(2022•安徽哈肥一中高三阶段练习(文))若则ew,me,的大小关系为

()

A.cm>mnt>meB.me>em>mmC.me>mm>cmD.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用塞指函数的单调性可得>nf",me>mm,构造函数g(x)=%-e，nx(x>2),可得

em>me,从而得到结果.

【详解】

当2<zn<e时，em>m'n,me>mm,

下面比较即与me的大小，即比较m与e/nm的大小，

考察函数g(x)=x-eInx(x>2),"g'(x)=1-1

当2<x<e时，g'(x)<0,.遭⑶在(2,e)上单调递减，

因为2cm<e,

g(m)>gQe)—0,即m—ehim>0=m>ebi?n,

所以e01>me,

综上：当2<m<e时，em>me>mm.

故选：D

例13.(2022・江苏・扬州中学高三阶段练习)已知0<a</?</则下列大小关系中正确的

是()

A.(sina)c°sa>(sina)C0S^

B.logsinaCOSa>logsinaCOS^

sin

C.(cosa)sina>(COS^)^

D.(cosa)sM。<(Sina)。。，。

【答案】c

【解析】

【分析】

A.构造函数y=(s讥a)x,利用其单调性比较大小；

B.构造函数y=logsinax,利用其单调性比较大小：

C.构造函数y=(cosa)，及函数y=/叫利用其单调性比较大小；

D.将(cosa)sE夕<(sina)c°s夕转化为tan/?>logcosasina,判断tcmQ,/。。叱。sina的大小关系

即可.

【详解】

0<a<^<^,则0<sina<cosa<1,P.cosa>cosp,sina<sinP

A.因为函数y=(sina尸在尺上单调递减,故sina’osa<sin0cos6,A错误；

B.因为函数丫=logs加a》在(0,+8)上单调递减,^Llogsinacosa<logsinacosp,B错误;

C.因为函数y=(cosa)x在R上单调递减，函数y=%5加0在(0,+8)上单调递增，

(cosa)sina>(cosa)sin^>(cos^)sin^,C正确;

D.(cosa)sm"<(sina)c°s"=sinpIn^cosa)<cosp仇(sina)

sinpZn(sina)

0宙〉师丽0ttm6>logcosaSina

：•0<£<；,；.0<tanp<1

又logcosasina>logmsacosa=1,■■tan。<log,.osasina,D错误；

故选：C.

例14.(2022,全国•高三专题练习)已知a>6>0"6=1,若％=£,y=log2(a+h),z=a+

则10gx(3x),，ogy(3y),，ogz(3z)的大小关系为()

A.logx(3x)>logy(3y)>logz(3z)B.logy(3y)>logx(3x)>logz(3z)

C.logx(3x)>logz(3z)>logy(3y)D.logy(3y)>logz(3z)>logx(3x)

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简log,(3x)=?(3〃=]+-J—,iOg,.(3y)=1+-^―slog;(3z)=1+——,

log3xlog3xlog3ylog3z

再根据x,y,z的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系.

【详解】

因为k)g*(3x)=乎(3、)=[+-^―,log,,(3y)=l+-^―；log.(3z)=1+——,

log,xlog,xlog,ylog,z

函数V=S一在(0,1)和(1,+划上均单调递减，

lOg3X

a

又a>b>O,ab=1,所以Q>1,0VbV1.而％=晟,y=log2(+b),z=a4-

所以0cxV>l,z>2,即y>x,z>x,可知Ilog》(3x)最小.

由于夕=log2(a+Z>)=log2[aJ),z=2a=log22"=log24,所以比较真数

a+1与4。的大小关系.当a>l时，a4—<4",所以z>y>l,

aa

即1+-^—>1+"一.综上,log.(3y)>10gr(3z)>log,.(3x).

log.,ylog.,Z

故选：D.

（多选题）例15.（2022•山东威海•三模）若a>b>1,0<m<1,贝1J（）

A.am<bmB.ma<mb

C.log,,,a<log,,,D.10gli机<log/"

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据黑函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C,结合C和对数换底公式

即可判断D.

【详解】

对于A,:豚函数尸x"'(O<m<l)在(0,+8)单调递增，.•.根据a>b>l可知£1巾>加>,

故A错误；

对于B,•.,指数函数产znx(O<m<1)在R上单调递减，.•.根据a>b>1可知<m",

故B正确：

对于C,,对数函数尸logmX(0<m<1)在(0,+8)上单调递减，.•.根据a>b>1可

知log,,,a<10gBib,故C正确；

对于D,由C可知log,,,a<log,„b<0,：.丁」一>1,即log“加〉log,,m,故D错误.

log,”alog,,,h

故选：BC.

(多选题)例16.(2022•广东佛山•三模)已知0<6<“<1,则下列不等式成立的是()

A.Iog(,b<log4aB.logab>lC.alnb<blnaD.alna>bInb

【答案】BC

【解析】

【分析】

作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幕函数指数函数对数函数的单调

性去判断选项C；举反例排除选项D.

【详解】

选项A：幽-幽=短"运=处变U则

IgalgIgalgbIgolgb

ll]0<Z?<a<l,可得ZgbVZgaCO,

贝ijlgblga>0,Igb-Iga<0,Igb+Iga<0

[川I”。Jga)(，gb+/ga)〉0

则Log。b>loga.判断错误;

'Igalgbb

选项B:由可得y=/oga%为(0,+8)上减函数,

乂0<6<a,则log”b>log”a=1.判断正确：

选项C：由可知y=谟为R上减函数，又b〈a,则成>a。

由Q>0,可知y=%。为(0,+8)上增函数，又力<Q,则/VQ。，则/>b。

又y=Lnx为(0,+8)上增函数，则ma。>lnba,则alnb<bma.判断正确;

选项D：令Q=Lb=3,则0vb<a<l,

eec

alna=-In-=-bbib==—刍

eee

则aIna—bInb=--4-4=~~r<0,5PaIna<b仇/?.判断错误.

e所所

故选：BC

题型四：构造函数

例17.(2022•辽宁实验中学模拟预测)若a=sin1+tan1,b-2,c-/n4+贝ija,h,

c的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数f(x)=2伍x+：-x,利用导数说明函数的单调性，即可判断b>c,再构造函数

g(x-)=sinx+tanx-2x,xG(0,g,利用导数说明函数的单调性，即可判断。>b,即可

得解；

【详解】

解：令则/(0=：+/一1=二竽二=与丫30,则/3)在定义

域(0,+8)上单调递减，所以/(2)</(1)=0,即2/2+(-2<0,所以bi4+g<2,即

b>c,令g(x)=sinx+tanx-2x,x6(0,*则g'(x)=cosx+——2=

因为％E(蛇)所以cos%6(0,1),令九(%)=%3—2x24-1,%G(0,1),则九(x)=3x2—4%=

x(3x-4)<0,即九(%)在(0,1)上单调递减，所以h(x)>/i(l)=0,所以g'(》)>0,即g(%)

在(0,3上单调递增，所以g(l)>g(0)=0,即sinl+tan1—2>0,即sinl+tan1>2,

即。>力，综上可得a>b>c；

故选：A

例18.(2022・全国•高三专题练习)已知a=mb=胃,c=sin0.1,则a,b,c的大小关

系正确的是()

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

作差法比较出。>6,构造函数，利用函数单调性比较出c>a,从而得出c>a>b.

【详解】

»0.30.90.3TT—0.90.3x3-0.9■匚c/17〃、•

a—b=——-^7=-->—乒—=0n,所以Q—b>0,故a>6,X/(%)=nsin%—o3x,

则f(%)=ncosx_3在xE(0，B上单调递减，又f(0)=7T—3>0,f(?)=与一3V0，

所以存在%0e(0,)使得f(%)=o,且在xe(0口0)时,f'(%)>o,在x€卜05)时，/(%)<0,

即/(%)=nsinx一3%在不€(0,x())上单调递增，在；rW(均匀单调递减，且/佶)=

曳心兀一3>0,所以孙>g又因为/(0)=0,所以当工€(0曲)时，/(%)=7TS讥x—3%>0,

其中因为《<所以七七(。式0)，所以/(5)=7Tsin0.1—0.3>0,t^sin0.1>即c>

a>b.

故选：B

例19.(2022•河南洛阳•三模(理))已知a=81°,b=99,c=108,则a,b,c的大小关

系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数/(x)=(18—久)mx,%>8,求其单调性，从而判断a,b,c的大小关系.

【详解】

构造/'(x)=(18—x)x>8,

f(x)=—Inx+—1,

f(x)=—inx+——1在8,+8)时为减函数，且/(8)=—伍8+3—1=^—/n8<—

~5

Ine2=—2<0.

4

所以/''(¥)=—Inx+y-1<0在8,+8)恒成立，

故/(x)=(18-x)在8,+8)上单调递减，

所以f(8)>f(9)>f(10),

BP10/n8>9Zn9>8ZnlO,所以8］。>9s>>1()8,即a>b>c.

故选：D

【点睛】

对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂

的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其

单调性，比较出大小.

例20.(2022・河南•模拟预测(理))若a=e°，2,b=Vh2>c-ln3.2,则a,h,c的大小

关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数/(x)=ex-x-l(x>0),利用导数可得a=e02>1.2>b,进而可得e「2>3.2.

可得a>c,再利用函数g(x)詈，可得m3.2>1.1,即得.

【详解】

令f(x)=ex-x—1(%>0),则f(%)=ex-1>0»

・•・/■(%)在(0,+8)上单调递增，

***a=e02>0.2+1=1.2>V1.2=b，

a=e02>1.2=Ine12,c=ln3.2,

V(e12)5=e6>(2.7)6«387.4,(3.2)5w335.5,

Ae1,2>3.2,故Q>c,

设g(x)=/则g'(x)=

/x+l八)X(x+1)2x(x+l)2

所以函数在(0,+8)上单调递增，

由g(l)=0,所以％>1时，g{x)>0,即"久>笺/，

.,O1H、2(2-1).2(1.6-1)[5—5-

..Zn3o.2o=in24-tn1,6>--------------------=1—>1—=1.1,

24-11.6+13950

又1V1.2V1.21,1<b=V12<1.1，

，c>1.1>b,

故a>c>b.

故选：B.

【点睛】

本题解题关键是构造了两个不等式e、>x+l（x>0）与mx>筌。>1）进行放缩，需要

学生对一些重要不等式的积累.

2?

例21.（2022・新疆・模拟预测（理））实数》,丫,2分别满足log2ix=-,2iy=22,20z=21,

20

则x,y,z的大小关系为（）

A.x>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>x>z

【答案】B

【解析】

【分析】

22

由题意得％=（4产，y=10。2122,z=log2o21,然后y与z作差结合基本不等式比较大

小,构造函数/(r)=竽可判断其在(e,+⑼上单调递减,则f(21)<“2。),化简可得21<

20急则为>,。92()21=z,则可比较出z与y的大小即可

【详解】

22

由题意得X=(£1)21,y=log2122,z=log2o21,则

1

z-y=log2021-log2122=^-^=-^^^,

Jyzuyzilg2oIg21lg204g21

22

因为匈20022<*(，g20+®22)]=g^440),

所以〃21“02、22匈221_&g440)2_(/g214旬440)(/g21，g440)

-lg2Qlg21-lg20lg21---20⑨21

所以Z>y,

设/(%)=?，则/(x)=W°，当xw(e,+8)时，/1(X)<0,所以/(%)在(e,+8)上单调

递减，所以"21)<f(20),即譬〈鬻，所以20)21<21仇20,

所以。〈m2021,所以2件。<2021,所以21<20急所以分>Zog?。21=z,

22

因为x=O五>看所以x>z，

所以x>z>y,

故选：B

±z11x651

贝H

b2(+cos)c仇ab

,=武=---u

例22.(2022•四川雅安•二模)设a/nxSIin755,

50100o

c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】

【分析】

002

由于a=Ine^=/ne>^=/&讥击+cos击=仇偌了，所以只要比较％=6。吗丫=

2

(s/n_l_+cos_l_)=1+sin±=i+sin0.02,z=(Vy的大小即可，然后分别构造函数

/(X)=ex-(1+smx)(x>0),g(x)=(1+x)1,2-ex,判断出其单调性，利用其单调性比

较大小即可

【详解】

因为a=In威=Ine。%b="卜讥击+cos击下,©=/n(|沪

002

所以只要比较％=e,y=(sin击+cos击)=1+sin5=1+sinO.02tz=偌1=(1+

0.02尸2的大小即可，

令/'(x)=e*-(1+sinx)(x>0),则/'(x)=e*-cos%>0,所以/(x)在(0,+8)上递增，

所以f(x)>/(0),所以ex>l+sinx,

所以e°，°2>1+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)，2—e，贝ijg'(x)=1.2(1+x)°，2—eLg\x)=0.24(1+x)-0-8—ex

因为g"(x)在9+°°)上为减函数，目.g"(o)=0.24-1<o,

所以当x>0时，g\x)<0,

所以g'(x)在(0.+8)上为减函数，

因为g'(0)=1.2-1>0,5(0.2)=1.2x1.202-e02=1.212-e02,

要比较1.2L2与e0-2的大小，只要比较，nl.212=1.2/n1.2与Ine02=0.2的大小，

令/i(x)=(1+x)in(1+x)-x(x>0)>则/i'(x)=/n(l+x)+l—l=Zn(l+x)>0>

所以秋x)在上递增,所以九(乃>/1(0)=0,

所以当x€(0,+8)时，(1+x)Zn(1+x)>%,所以1.2lnl.2>0.2,

所以>e02,所以g.(0.2)=1.2x1.202-e02=1.21-2-e02>0,

所以当xe(0,0.2)时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.2)上递增,

所以g(x)>g(0)=0,所以(l+x)L2>ex,

所以(1+0.02)12>e0Q2,所以z>x,所以z>x>y,

所以c>a>b,

故选：D

【点睛】

关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形,

然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思

想和计算能力，属于难题

例23.(2022•浙江•高三专题练习)a="臀力=-,c=拶，则a,h,c的大小顺序为()

e”e3

A.a<c<bB.c<a<h

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数/(x)=等，应用导数研究其单调性，进而比较a=〃J),b=f(e),c=f(3)的

大小，若t=W有两个解则1<%<e<z,te(0,1),构造g(x)=Inx->i),

利用导数确定g(x)>0,进而得到即可判断八c的大小，即可知正确选

%2~X1X2-rX\

项.

【详解】

令/(工)=竽则a=f(9)=字，b=f(e)=等，c=〃3)=等，

而f'(x)=号3且x>0,即0<x<e时/'(%)单调增,x>e时f(x)单调减,又l<J<e<3,

".b>c,b>a.

若t=W有两个解X1X2,则1<再<6<々，te(oj),

X2-X11乙t

令g(x)=bix-g产(x>1),则g1(x)=：：：；；；>。,即g(x)在(L+8)上递增，

Ag(x)>g(l)=0,即在(1,+8)上，/华12,若%=于即屿*1>=一,故t>#L,

x

x+1ix2-xiX2+X1InxiX2

有/

22

...当X2=3时，e>Xi>y，故f(：)<f(Xi)=f(3),

综上：b>c>a.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定

a,b,c的大小.

题型五：数形结合（交点问题）

（多选题）例24.（2022•河北邯郸•一模）下列大小关系正确的是（）

A.1.92<21-9B.22-9<2.92

oln21版

C丽二<西D.log74<log127

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A、B选项画出y=2*和y=/的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数/*（x）=恚,

借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.

【详解】

作出y=2,和y=x2的图象，如图所示，由图象可得，当xe(0,2)时，2X>x2,

当xe(2,4)时，*2>2%,1.92<21-9,229<2.92,故A,B正确.

令八%)=系，则/0)=1+六，f(x)在(。,+8)上单调递减，所以高>羿,故C

L—14—1―17*^_I

错误.

log]4+log?12T]

log741og712-l2

log74-log127=log74--~-

log712log712log712

所以log]4(log/,故D正确.

故选：ABD.

例25.(2022•广东茂名•一模)已知x,y,z均为大于0的实数，且2'=3y=虫z,则x,y,z

大小关系正确的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【答案】c

【解析】

【分析】

根据题意，将问题转化为函数y=2「y=3\y=，。毒久与直线V=t>1的交点的横坐标的

关系，再作出图像，数形结合求解即可.

【详解】

解：因为x,y,z均为大于0的实数，

所以2*=3y=logsz=t>1,

进而将问题转化为函数y-2x,y=3x,y=Zogsx与直线y=t>l的交点的横坐标的关系,

故作出函数图像，如图，

由图可知z>x>y

例26.(2022•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2，+%一1,g(x)=log2x+x-l,

〃(x)=d+x-l的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小为()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】

函数f(x)，g(x)的零点直接求解即可，函数〃(尤)的零点利用零点存在性定理求解即可，从而

可得答案

【详解】

解：令/(x)=0,则2才+%-1=0,得久=0,即a=0,

令g(x)=0,则Nog2x+x-1=0，得x=1,即b=l,

因为函数〃(x)=x3+x-l在R上为增函数，且仅0)=-1<0,/!⑴=1>0,所以力(x)在区间

(0,1)存在唯一零点c,且ce(0,l),

综上，b>c>a,

故选：B

例27.(2022•全国冻北师大附中模拟预测(理))已知a为函数/(x)=log2%-：的零点，b=

C=诉,则a、b、C的大小关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】

对氏c,同时进行6次方运算，利用y=%6的单调性比较大小；

先利用零点存在定理判断出：|<a<|.

对a、c,同时进行3次方运算，利用y=炉的单调性比较大小；

对a、b,同时进行平方运算，利用y=/的单调性比较大小.

【详解】

因为b=c=诉，

6362

所以a=（7e）=e>（I'=153，c=（折>=TT2<（3.2）=10.24,

所以心>c6.

因为y=%6在9+8）上单增，所以b>c.

因为a为函数/（%）=/。勿%-:的零点，所以f（Q）=log2a4=。

因为y=!og2%为增函数，歹=-1为增函数，所以/（》）=/。比工一上为增函数，所以/（%）=

Xx

log2x-:有且仅有一个零点a.

又死）=/。92=因为|=［（/,=（韵B=所以六2：所以

=1。。26）-也因翟=［（凯：43%=32、所以。2,，所以

='092（5-《>0；由零点存在定理,可得：1<a<1

所以修）3<〃<伊，〃=（诉尸=71,所以>（|）3=y=3,375>n=C3.

因为y=炉在（o,+8）上单调递增，所以Q>C.

因为m<Q<《，所以/<（§2=256，而力2=°=2.71828,所以〃>层

因为y=/在（0,+8）上单调递增，所以b>a.

所以b>a>c.

故选：B

例28.（2022,全国•高三专题练习）已知a+2。=2力+3）=2,则blga与algb的大小关系

是（）

A.blga<algbB.blga=algb

C.blga>algbD.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=x+2£,g(x)=x+3L结合题意可知0<6<a<l,进而有卢>朋〉〃，再利用对

数函数的单调性和运算性质即可求解

【详解】

令/(x)=x+2*,g(x)=%+3X,

则当x>0时，g(x)>/(x),当x<0时，g(x)<f(x)；

由a+2a=2力+3b=2,得/(a)=2,g(b)=2

考虑到f(a)=g(b)=2得

:.ab>bb>ba

由a”>b。,得Ig(a")>Zg(b。)，

即biga>algb

故选：C

题型六：特殊值法、估算法

例29.(2022•全国•高三专题练习)已知，贝！Ia,b,c,d的大小关

系为()

A.b>a>d>cB.b>c>a>dC.b>a>c>dD.a>b>d>c

【答案】C

【解析】

【分析】

对给定的幕或对数变形，借助幕函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.

【详解】

依题意，a=2X=(2&f，函数y=C在［0,+8)上单调递增，而*<2a<3,于是得g<

II3

(272)5<3笳即b>a>：，

函数y=log4xTt(O,+8)单调递增,并且有lo的3>0,log45>0,

则

2=log416>logA15=log43+［。〃5=

于是得Io%?x［0045V1,即/。。45<=，。①牝则c>d,

又函数y=Io/%在(0,+8)单调递增，且4<3B，则有Log?4Vlog33g=5

所以b>a>^>c>d.

故选：C

例30.（2022・全国•高三专题练习）已知b=c=log?e，则a，b,c的大小

关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】

结合已知条件，比较/和/的