第23计 探索开门 智勇双锋

22222222222222222222222222222222222222数学破题36计●名义

第23计

探索开门

智勇双锋所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在的解（暂时不知我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决这就是所谓的“探索解题.“石头我已有的知识和方法，这当然是很重要的若要“过河有些还不够过河人还需要两大素质：大智大勇！面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证典示【例】如所示在正四棱柱—ABD中FGH别是棱CCCD，1111D，D的中点，N是点，点M在边形EFGH及内部运动，则M要满足1条件时，就有MN∥平面（填上你认为正确的一个条件即可，不必考1虑全部可能情况【思】显HN，即得HN∥平面BDD，使点M在面EFGH内动时总11有BBDD∥，只需过HN作平面，使之平行于平面BDD，线面平行的问题转化为面111面平行的问【解】连FH，当点M在HF上动时，恒有∥面BDD11例1题

例1题解图证明如下：连，HF，BDB，平面NHF交BC于P.则NHBDHFBB，1故平面∥平面.MN面，∴∥面BBDD111【例】知f()二次项系数为负数的二次函数，且对于任何∈Rf(2-x)=f(2+)总成立，问x

)与f(1+2)足什么条件时，才能-2<x<0成.【思】根已知条件很容易得到f(x是开口向下且对称轴为x的次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨【解】由设知：函数fx)的图象是开口向下且对轴为直线=2的抛物线故函数()(-,2上是增函数；在2,+上是减函数∵x≤1<2，1+2=-（x-1）+2∴1-2x∈∞,21+2x-x∈(-］当

)<fx-x

)时，x

<1+2x-x

即x+2x，得或x不能-2<<0立当)>f)1-2,即x+2x，得2<，符合题意，当)=f)，可x=-2或0不能-x成

222mm1或•346211n-1n-1nn-1nmmm6-m2222mm1或•346211n-1n-1nn-1nmmm6-m22n-122∴当【例】

)时，才能使<0成)>f能否构造一个等比数列{}使同时满足三个条:+=11②an6

329

;③至少存在一个自然数，使

2a，a依次成等差数若能，请写出这个数39列的通项公【解】先虑前两个条设等比数列{a}公为.n5)11a3∵aa,∴3a219即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为n

1²或=²31（）如a=²，设存在题设要求的m∈N，则³3

13

m

=

21m.33化简得：2

2m

²

m

-8=0

=8，m（

）

如

n

322

²

n-1

，

设

存

在

m

∈

N

使32324²32化简得4(2

)

－11²

6-m

-8=0这Δ=11

+16³8=249不完全平方数∴合条件的m不存在综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m，列的通项公式为：n

13

².【例】将二次函数f()=ax对应于一次函数)=2求f()=+2x对的一次函数(x（）观察后请写出这个对应法.（3可以用(x的某些性质来研究f(x)的性质：当g(时，对应的f(x的性质有哪些？（4你还能研究另外的某些性质吗？（5设g(xx，写出与(x)对应的fx)的三个不同的解析.【思】本是结论开放试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整f()g(x是什么关系？我容易由f′x，f′x)=()，可见，只有当(x)=f(x)时，才有可能用()的性质来研究f()的某些性质.【解】=1，b=2∴()=2x+2.（2①(x)一次项系数是fx)的二次项系数与其次数的积；②gx)常数项等于f()的一次项系数

2222222222(，即，当时x>

bb，而x=2a2a

是f(x的对称轴，故这时f()是单调增函数；时<

b2a

，(仍为单调增函数(前者单调区间为

b2

•调区间为

b2

).当(时f(x)单调减函(请仿照（）证明之.()=x，ax+b=x，知=

1，b只须在f()=中命=，，c取213意值即可，如f(x)=x，()=+，f(x)=+5.222【小】指导开题解法的理论依据是充分必要条件，即若A条件，B为的要条件●对应训

B，则称为B的分已知圆O′过定点（，(>0)，圆心′抛物线xpy上动，MN圆O在轴上截得的弦，AM，AN|=d，MAN=12当′运动时，是有变化，并证明你的结论；（2求

dd1dd2

21

的最大值,并求取得最大值的的如图所，已知在矩形ABCD，，(a，⊥面AC且PA问边是否存在Q便得⊥QD，并说明理由；（2若BC边有且只有一点Q，使得⊥QD，求这时二面角QPD—A的小

第2题图已知椭

2ab

6(a>b的离心率e=，过点A（0,-）B（,0）的直线原点3距离为

32

(Ⅰ求椭圆方;(Ⅱ已知定点（-1,0）若直线y与椭圆交于、两，试判断：是否存在k的值，使以CD为径的圆过点E？若存在，求出这个.若存在，说明理由.是否存一条双曲线同时满足下列两个条件：①原点O与线x=1是它的焦点和准；②被直线x+y=0垂平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，明理

222212021122222212021122由●考案如所示，设抛物线上一点O(x，0

x20p

)，连结O，OM作′C⊥于，则MC，∵O′O′|=

x0

x0p

)

x0p

2

p

2∴

||

2O

x0p

2

2

x0p

2

p

第1题图∴p为值.即当O运动时，不会有变化，总有如图所示，有（x-pN(，00∴d=1

x)

=2

p

x)

∴dd=4p+2，dd=12

(2

)

(2)

4

ddd2∴=dd112

p2p

x204x40

2

(2

24

)00

2=

1

040

20p2

20

2.

当且仅当x=2p0

，即x=±0

2

py=时等式成立，此时′M|=|′N0

2

∴∠MO′N°，∴eq\o\ac(△,)N为腰直角三角形∴=45.【思】这一道探性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发此题要使PQQDPA⊥需满足AQ⊥QD即转化到在平面上寻求⊥QD的件，从而使问题得到解【解】（）结AQ，∵PA面ABCD∴要使⊥，只要⊥QD即以为径的圆与有共这就是说，当ADAB，即a，在上存在点，⊥QD.∵当a>2时以AD为直径的圆与BC有个交.当时只有的点满足条件∴AD=2Q为中点，取AD的点M连结∵面⊥ABCD，QM，⊥.过M作MNPDN，连结NQ根据三垂线定理有，QN⊥PD.∴是二面角—PD的面.在eq\o\ac(△,Rt)QMN中=1²∠=1³

55

∴∠MNQ=

2222222222211222222222121201122222222222112222222221212011∴二面角Q—PDA为arctan5.【思】第一问从离心率的定义入手，很容易求得b的，从而得到椭圆方第二问判断k值否存在以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题求符条件的k值存在，反之，则不存.【解】（）=

ca

a26a2，∴a3a2

，∴a，a

.过A0,-B(a的直线为

xab

把=

入，即x-

y-

b=0,又由已知

b|3)

，解得=1，∴=3.(Ⅱ设C，D（，）122y由3去y，kx

得(1+3

)xkx必须

1+3

≠Δ=（12）

k

或>1

①要存在k满①且使

y1x1

即x++1+yy=0.1

②∵y=kx，kx12∴②式即为(1+kx+1)(+12129∵x+,x，代入③得9k+9-24-12122

③∴k=

76

7满足①式∴存在的使以为径的圆过E点这个值是.6设存在样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：

x2yx

化简为：e-1)

-y

e

xe

=0将弦所在直线y=x+b代得e-2)be

)+e

-b