-新教材高中数学午间半小时三十六练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE6午间半小时(三十六)(30分钟50分)一、单选题1．下列命题正确的是()A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【解析】选D.对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，不一定有l1∥l2，故A错误；对于B，当l⊥平面α时也满足直线l上有两个点到平面α的距离相等，故B错误；对于C，直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，故C错误；对于D，若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2成立，故D正确．2．若直线l与平面α所成的角为eq\f(π,3)，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))【解析】选D.由题可知直线l与直线a所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以l与直线a所成的角的最小值为eq\f(π,3)，又l，a为异面直线，则直线l与a所成角的最大值为eq\f(π,2).故直线l与直线a所成角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).3．过正方体ABCD­A1B1C1D1顶点A作平面α，使α∥平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面α所成角的正弦值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(\r(3),3)【解析】选A.连接A1C1，B1C，取B1C的中点G，连接A1G，C1G，如图，因为α∥平面A1B1CD，EF∥A1C1，所以直线EF与平面α所成角即为A1C1与平面A1B1CD所成的角，因为C1G⊥B1C，CD⊥C1G，B1C∩CD＝C，所以C1G⊥平面A1B1CD，所以∠C1A1G即为A1C1与平面A1B1CD所成的角，设正方体棱长为2，所以sin∠C1A1G＝eq\f(C1G,A1C1)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2).4．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AC，若AB∶BB1＝eq\r(2)∶1，则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为()A．45°B．60°C．30°D．75°【解析】选A.取BC的中点D，连接AD，B1D，由AB＝AC，得AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．设AB＝eq\r(2)，则AA1＝1，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，AB1＝eq\r(AB2＋BBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，所以sin∠AB1D＝eq\f(AD,AB1)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠AB1D＝45°.即AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.5．在四面体P­ABC中，PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC.若四面体P­ABC外接球的半径为eq\f(\r(19),2)PB，则PA与平面ABC所成角的正切值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．2D．3【解析】选B.因为PB⊥平面ABC，AB⊥AC，所以可将四面体P­ABC补全为如图所示的长方体，则长方体的外接球即为四面体P­ABC的外接球，所以其外接球半径R＝eq\f(1,2)eq\r(PB2＋AB2＋AC2)＝eq\f(\r(19),2)PB，又AB＝AC，所以AB＝3PB，因为PB⊥平面ABC，所以PA与平面ABC所成的角为∠PAB，所以tan∠PAB＝eq\f(PB,AB)＝eq\f(1,3)，即PA与平面ABC所成角的正切值为eq\f(1,3).6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是()A．点C1，D1到平面PMN的距离相等B．PN与QM为异面直线C．∠PNM＝90°D．平面PMN截该正方体的截面为正六边形【解析】选B.设C1D1与平面PMN所成角为θ，由C1M＝D1M，可得C1Msinθ＝D1Msinθ，即点C1，D1到平面PMN的距离相等，A正确；M，N，P，Q分别是所在棱的中点，所以NQ∥PM，M，N，P，Q四点共面，所以PN与QM共面，B不正确；设正方体的棱长为2，则PN＝eq\r(2)，PM＝2eq\r(2)，NM＝eq\r(A1N2＋A1M2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，所以PN2＋NM2＝PM2，所以∠PNM＝90°，C正确；取CC1的中点E，BC的中点为F，则PF∥AC∥A1C1∥QM，ME∥D1C∥A1B∥NP，所以N，P，F，E，M，Q共面，则平面PMN截该正方体的截面为正六边形，D正确．二、多选题7．在棱长为2的正四面体A­BCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，DA的中点，则下列结论正确的有()A．AC∥平面EFGB．过点E，F，G的截面的面积为eq\f(1,2)C．异面直线EG与AC所成角的大小为eq\f(π,4)D．CD与平面GBC所成角的大小为eq\f(π,6)【解析】选ACD.因为点F，G为棱CD，DA的中点，所以FG∥AC，因为FG平面EFG，AC⊄平面EFG，所以AC∥平面EFG，故A正确；取AB中点H，则可得四边形EFGH为截面，由A选项可得FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC，同理可得HE∥AC，HE＝eq\f(1,2)AC，则HE∥FG且HE＝FG，故四边形EFGH为平行四边形，取BD中点M，则可得BD⊥AM，BD⊥CM，因为AM∩CM＝M，则BD⊥平面AMC，所以BD⊥AC，则EF⊥FG，故平行四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B错误；因为AC∥FG，所以异面直线EG与AC所成角即∠EGF，由B选项可得∠EGF＝eq\f(π,4)，故C正确；如图，因为DA⊥GB，DA⊥GC，所以DA⊥平面GBC，则∠DCG即为CD与平面GBC所成角，易得∠DCG＝eq\f(π,6)，故D正确．8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为BA1的中点，则下列结论正确的有()A.直线EC1与直线AD是异面直线B．在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CDC．直线BA1与平面A1CD所成角是eq\f(π,6)D．点B到平面A1CD的距离是eq\f(\r(2),2)【解析】选BCD.如图，由于E是A1B中点，则它也是AB1的中点，连接C1D，由B1C1∥AD知AD，C1B1共面，显然EC1在这个平面内，EC1与AD共面，A错；连接B1D1，A1C1与B1D1的交点为F，则EF⊥平面A1CD，连接BC1，B1C，正方体中，E，F分别是A1B，A1C1中点，则EF∥BC1，由CD⊥平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，则BC1⊥CD，又BC1⊥B1C，B1C与CD是平面B1CDA1内的两相交直线，则得BC1⊥平面B1CDA1，