-新教材高中数学课时检测7全称量词和存在量词含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE4课时跟踪检测(七)全称量词和存在量词[A级基础巩固]1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C对于A，是特称命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称命题，故B不正确；对于C，是全称命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称命题，故D不正确，故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A∀x∈[1，2]，有x2∈[1，4]，则由a≥5，可得∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立；反之，∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立，可得a≥4.∴a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．故选A.4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A、C、D错误，B正确．故选B.5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：选AC命题的否定是全称命题，即原命题为特称命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选A、C.6．命题“∀x∈R，eq\f(1,x－2)<0”的否定是________________．答案：∃x∈R，eq\f(1,x－2)>0或x－2＝07．下列特称命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.答案：①③④8．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则綈p：________________．解析：全称量词的否定是存在量词，恰有一解的否定应包含两个方面：一是无解，二是至少有两解．所以綈p为：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解．答案：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解9．判断下列命题的真假：(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；(3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立；(4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.解：(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为eq\r(2)，就不能用正有理数表示．(2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．(3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数根．(4)是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．10．(2021·南京高一期中考试)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．解：由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.又因为p，q都为真命题，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥1或a≤－2，))所以a≤－2或a＝1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．[B级综合运用]11．(多选)下列命题错误的是()A．∀x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．∃x∈Q，x2＝3C．∀x∈R，x2－1>0 D．∃x∈N，|x|≤0解析：选ABC对于A，x＝－1时，不合题意；对于B，x＝±eq\r(3)，B错误；对于C，比如x＝0时，－1<0，错误；D选项正确．12．以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①原命题的逆命题为若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；②当a＝b＝2时，a＋b＝ab，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故选C.13．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”或“否”)解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．∴两位同学题中m范围是一致的．答案：是14．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.故m的取值范围为[2，3](2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤5，,2m－1≥－2，,m≥2.))解得2≤m≤4.故m的取值范围为[2，4]．[C级拓展探究]15．(2021·连云港高一期中考试)已知命题p：A＝{x|x2＋x＋a＝0}满足A∩R＋＝∅；命题q：二次函数y＝x2－ax＋1的函数值y≥0对于x∈R恒成立．(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p，q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．解：(1)若p为真命题，即A∩R＋＝∅；所以①A＝∅，1－4a<0，解得a>eq\f(1,4).②A＝R－或{0}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4a≥0，,x1＋x2＝－1，,x1·x2＝a≥0，))整理得0≤a≤eq\f(1,4)，综上，实数a的取值范围为[0，＋∞)．(2)命题q：二次函数y＝x2－ax＋1的函数值y≥0对于x∈R恒成立．所以Δ