-新教材高中数学第五章函数应用2.1实际问题的函数刻画学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE8实际问题的函数刻画新课程标准解读核心素养在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学建模爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%.[问题]五期后的本利和是多少？知识点实际问题的函数刻画1．在现实世界中，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．2．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质，使问题得到解决．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．1．某地为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万公顷，以后每年比上年增加1万公顷，每年植树的公顷数y(单位：万公顷)是时间x(单位：年)的函数，这个函数的图象是下图中的()解析：选A由题意知该一次函数的图象必过(1，0.5)和(2，1.5)两点，故排除B、C、D.2．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为()A．20m3 B．18m3C．15m3 D．14m3解析：选C设用水量为xm3，水费为y元，(1)当0≤x≤12时，y＝3x，令3x＝54可得x＝18(舍)；(2)当12<x≤18时，y＝12×3＋6(x－12)＝6x－36，令6x－36＝54可得x＝15.符合题意，故选C.3．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．答案：60解析式法刻画函数关系[例1](链接教科书第134页例1)车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．[解](1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N＋且0≤x≤3500)．(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625.根据函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225，1330]，即收入在1225元至1330元之间．eq\a\vs4\al()1．一次函数模型的实际应用应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或ax＋b≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．[跟踪训练]某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2h时火车行驶的路程．解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝eq\f(11,5)(h)，所以0≤t≤eq\f(11,5).因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f(11,5))).离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－eq\f(1,6)＝eq\f(11,6)(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×eq\f(11,6)＝233(km).图表法刻画函数关系[例2](链接教科书第134页例2)某国2017年至2020年国内生产总值(单位：万亿元)如表所示，年份2017201820192020x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．[解](1)根据表中数据画出函数图象，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067.所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.6777x＋8.2067，计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844(万亿元)，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．eq\a\vs4\al()利用已知图表中的数据根据条件画出图象，依据图象构建函数模型是解决此类问题的关键．[跟踪训练]某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：月投资A种商品的金额/万元123456纯利润/万元0.651.391.8521.841.40月投资B种商品的金额/万元123456纯利润/万元0.250.490.7611.261.51该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB，))即W＝－0.15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋0.15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋2.6.故当xA＝eq\f(19,6)≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，此时，xB＝8.8.即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.已知函数模型的实际应用问题[例3](链接教科书第136页例4)灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1℃，室内气温是θ0℃，tmin后，水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，1h后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种茶叶必须用不低于85℃的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20℃)[解]根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝eq\f(39,40)，利用计算器，算得k≈0.00042.故θ＝20＋80e－0.00042t.从早上六点到这一天的中午十二点共经过6h，即360min.当t＝360时，θ＝20＋80e－0.00042×360≈89.因为89℃>85℃，所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶．eq\a\vs4\al()某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答；第三步，转译成实际问题的解．[跟踪训练]某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则x的取值范围为________．解析：设每小时的油耗(所需要的汽油量)为yL，由题意可得y＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))，解得k＝100，∴y＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x))).要使每小时的油耗不超过9L，则eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x)))≤9，即x2－145x＋4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，故当每小时的油耗不超过9L时，x的取值范围为[60，100]．答案：[60，100]1．某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？()A．每桶8.5元 B．每桶9.5元C．每桶10.5元 D．每桶11.5元解析：选D根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设每桶水的价格为(6＋x)元，公司日利润为y元，则y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x≤12)，∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．2．据调查，某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝x＋400(0≤x≤400)B．y＝x＋800(0≤x≤400)C．y＝－x＋400(0≤x≤400)D．y＝－x＋800(0≤x≤400)解析：选D因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(400－x)辆次，所以y＝x