-新教材高中数学第14章统计2.2分层抽样学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9分层抽样【概念认知】1．分层抽样(1)分层抽样的定义一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样．(2)分层抽样的步骤①将总体按一定标准分层；②计算各层的个体数与总体的个数的比；③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).2．两种抽样方法的特点及适用范围(1)随机样本为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本．(2)两种抽样方法的特点及适用范围类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取——总体中的个体数相对较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同分层抽样将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取各层抽样时，可以采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成【自我小测】1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量【解析】选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．2．经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为9，则n＝()A．30B．40C．60D．80【解析】选A.因为老年人，中年人，青年人的比例为2∶3∶5，又中年人为9人，所以老年人为6人，青年人为15人，所以n＝6＋9＋15＝30.3．(教材练习改编)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按eq\f(1,100)的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A．8B．11C．162D．10【解析】选A.若设高三学生数为x，则高一学生数为eq\f(x,2)，高二学生数为eq\f(x,2)＋300，所以有x＋eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋300＝3500，解得x＝1600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为eq\f(800,100)＝8.4．在距离2016年央视春晚直播不到20天的时候，某节目被取消，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：网民态度支持反对无所谓人数(单位：人)8000600010000若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________．【解析】由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为48×eq\f(8000,8000＋6000＋10000)＝48×eq\f(1,3)＝16.答案：165．某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个，平原地区48个．为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程．【解析】由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理．因为eq\f(20,320)＝eq\f(1,16)，所以按eq\f(1,16)的比例抽取，应在山区抽取32×eq\f(1,16)＝2(个)，丘陵地区抽取240×eq\f(1,16)＝15(个)，平原地区抽取48×eq\f(1,16)＝3(个).具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略．对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法．首先将240个村按001，002，…，240编号，然后用随机数表法抽取15个．这样便得到了一个容量为20的样本．【基础全面练】一、单选题1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法 B．简单随机抽样C．分层抽样 D．随机数表法【解析】选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．2．下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是()A．从一箱3000个零件中抽取5个入样B．从一箱3000个零件中抽取600个入样C．从一箱30个零件中抽取5个入样D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样【解析】选D.D中总体有明显差异，故用分层抽样．3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题，“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人．”在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是()A．112B．128C．145D．167【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8356×eq\f(487,8758＋7236＋8356)≈167(人).4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人D．30人，50人，10人【解析】选B.先求抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，然后各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人).5．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为()A．5，10，15 B．3，9，18C．3，10，17 D．5，9，16【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a，b，c，则eq\f(a,15)＝eq\f(b,45)＝eq\f(c,90)＝eq\f(30,150)，解得a＝3，b＝9，c＝18.6．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012【解析】选B.因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人).二、多选题7．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人为样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有()①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为eq\f(1,50)；④中部地区学生小张被选中的概率为eq\f(1,5000).A．①B．②C．③D．④【解析】选AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生100×eq\f(2400,2400＋1600＋1000)＝48人、中部地区学生100×eq\f(1600,2400＋1600＋1000)＝32人、西部地区学生100×eq\f(1000,2400＋1600＋1000)＝20人，题中的说法正确；B．新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；C.西部地区学生小刘被选中的概率为eq\f(100,2400＋1600＋1000)＝eq\f(1,50)，题中的说法正确；D.中部地区学生小张被选中的概率为eq\f(100,2400＋1600＋1000)＝eq\f(1,50)，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是AC.8．为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正确的是()A．每层的个体数必须一样多B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项A不正确；又因为由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项B不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项C正确；每层抽取的个体数是有限制的，所以选项D不正确．三、填空题9．我校高一、高二、高三共有学生2400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这2400名学生中抽取一个容量为48的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为________．【解析】设从高一年级抽取的学生人数为2x，则从高二、高三年级抽取的人数分别为2x＋2，2x＋4.由题意可得2x＋(2x＋2)＋(2x＋4)＝48，所以x＝7.故高二年级抽取16人，设我校高二年级的学生人数为N，再根据eq\f(48,2400)＝eq\f(16,N)，求得N＝800.答案：80010．某高中各年级男、女生人数统计如表：高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝________．【解析】由题意可得eq\f(80,592＋563＋520＋528＋517＋a)＝eq\f(27,563＋517)，求得a＝480.答案：480四、解答题11．某校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为A型的有125人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人．为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，每种血型各有多少人？【解析】因为40÷500＝eq\f(2,25)，所以应用分层抽样抽取血型为O型的eq\f(2,25)×200＝16(人)，A型的eq\f(2,25)×125＝10(人)，B型的eq\f(2,25)×125＝10(人)，AB型的eq\f(2,25)×50＝4(人).12．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程．【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有eq\f(x,54)＝eq\f(1,3)⇒x＝18，eq\f(36,54)＝eq\f(y,3)⇒y＝2.故x＝18，y＝2.(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．【综合突破练】一、选择题1．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为()A．60B．80C．120D．180【解析】选C.从11～12岁的学生中回收180份问卷，从中抽取60份，则抽样比为eq\f(1,3).因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，所以从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为eq\f(300,\f(1,3))＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为x＝900－120－180－240＝360(份).所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×eq\f(1,3)＝120(份).2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A．40B．30C．20D．36【解析】选A.抽样比为eq\f(90,360＋270＋180)＝eq\f(1,9)，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×eq\f(1,9)＝40.3．(多选)某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则下列说法正确的为()类别人数老年人15中年人？青年人40A.抽到8位青年人 B．抽到6位中年人C．中年人有6人 D．中年人有30人【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x，则由题表可知，eq\f(3,15)＝eq\f(17,15＋x＋40)，解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30×eq\f(17,15＋30＋40)＝6.由抽样比可知抽到的青年人为8人．二、填空题4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．【解析】应从丙种型号的产品中抽取60×eq\f(300,1000)＝18件．答案：185．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是________．【解析】设一班被抽取的人数是x，则eq\f(x,54)＝eq\f(16,42＋54)，解得x＝9，所以一班被抽取的人数是9，二班被抽取的人数是16－9＝7.答案：9，76．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆，y辆，z辆，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))