-新教材高中数学第13章立体几何初步2.2第2课时异面直线学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE19第2课时异面直线课程标准1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．2.掌握两异面直线所成的角的求法．【概念认知】1．异面直线判定定理文字语言：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．符号语言：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线．图形语言：2．异面直线所成的角或夹角定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b.【自我小测】1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线【解析】选C.假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交【解析】选B.因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1CA．平行 B．相交C．异面但不垂直 D．异面且垂直【解析】选D.因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C14．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(14),4) C．eq\f(\r(28),14) D．eq\f(\r(2),2)【解析】选A.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，D1B1∥DB，所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角，因为AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DB＝eq\r(2)，BC1＝2，DC1＝2，由余弦定理得cos∠DBC1＝eq\f(DB2＋BCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－DCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),2DB·BC1)＝eq\f(2,4\r(2))＝eq\f(\r(2),4).所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).5．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________.【解析】因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.答案：60°6．空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为________．【解析】取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.答案：30°7．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，所以DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，所以EG∥DF，EG＝DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD＝90【基础全面练】一、单选题1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线()A．平行 B．异面C．相交 D．以上皆有可能【解析】选D.平面α，β相交，如图所示：则a⊂α，b⊂β，a∥b；又a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．2．直线c，d与异面直线a，b都相交，则c，d的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．相交于一点或异面【解析】选D.已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，当点B与点C重合时直线c与d相交，当点B与点D不重合时直线c与d异面．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1A．2条B．4条C．6条D．8条【解析】选D.在正方体ABCD­A1B1C1D1中与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1A．2条B．1条C．3条D．4条【解析】选B.与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C5．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A．梯形 B．矩形C．平行四边形 D．正方形【解析】选D.连接AC，BD.因为E，F，G，H分别为各边中点，如图．所以FGEHeq\f(1,2)BD，HGEFeq\f(1,2)AC，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为BD⊥AC且BD＝AC，所以FG⊥HG且FG＝HG，所以四边形EFGH为正方形．6．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1A.1 B．eq\r(2) C．eq\r(3) D．2【解析】选B.取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq\r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq\r(2).二、多选题7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，C1D1A．直线EF，OD1是异面直线，且EF＝OD1B．直线OD1，B1B是异面直线且OD1≠B1BC．直线EF，OD1是相交直线，且EF＝OD1D．直线OD1，B1B是相交直线且OD1＝B1B【解析】选ABD.因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AD，C1D1的中点，O为正方形ABCD的中心，如图，四边形D1EOF是矩形，直线EF，OD1是相交直线，A错误，直线OD1，B1B是相交直线，B错误；EF＝OD1，OD1≠B18．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为()A．15° B．30° C．45° D．75°【解析】选AD.如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD.由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．因为AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.三、填空题9．点E，F分别是三棱锥P­ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为________．【解析】如图，取PB的中点G，连接EG，FG，则EGeq\f(1,2)AB，GFeq\f(1,2)PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，FG＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.答案：90°10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________．(填序号)【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③四、解答题11．如图所示，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.【解析】(1)因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.12．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1，求证：AC⊥B1【证明】如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角．连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.【综合突破练】一、选择题1．(2021·杭州高一检测)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点，则MN与AB1A．eq\f(\r(10),5) B．－eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(10),10)【解析】选D.取A1B1的中点P，连接PN、PB，设PB∩AB1＝Q，设AB＝2，因为P、N分别为A1B1、A1C1的中点，则PN∥B1C1且PN＝eq\f(1,2)B1C1，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BC∥B1C1且BC＝B1因为M为BC的中点，所以，BM∥PN且BM＝PN，则四边形BMNP为平行四边形，所以MN∥PB，所以异面直线MN与AB1所成的角为∠AQB或其补角，AB1＝eq\r(AB2＋BBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝2eq\r(2)，PB＝eq\r(PBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋BBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(5)，因为A1B1∥AB，则eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(B1Q,AQ)＝eq\f(PB1,AB)＝eq\f(1,2)，所以AQ＝eq\f(2,3)AB1＝eq\f(4\r(2),3)，BQ＝eq\f(2,3)PB＝eq\f(2\r(5),3)，由余弦定理可得cos∠AQB＝eq\f(AQ2＋BQ2－AB2,2AQ·BQ)＝eq\f(\r(10),10).因此MN与AB1所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).2．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1A.eq\f(\r(10),5) B．eq\f(\r(15),5) C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,3)【解析】选B.取BC的中点G，连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE，OH，因为E是CC1的中点，所以GC1∥HE，所以∠OEH为异面直线OE和FD1所成的角．在△OEH中，OE＝eq\r(3)，HE＝eq\f(\r(5),2)，OH＝eq\f(\r(5),2)，由余弦定理可得cos∠OEH＝eq\f(OE2＋EH2－OH2,2OE·EH)＝eq\f(\r(15),5).3．(多选)如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P­DEF，则在此正四面体中，下列说法正确的是()A．PG与DH所成的角的正弦值为eq\f(2,3)B．DF与PE成角eq\f(π,2)C．GH与PD所成的角为eq\f(π,4)D．PG与EF所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6)【解析】选BCD.△ABC的边长为4，折成正四面体P­DEF后，如下图所示，因为D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，所以DH⊥FP，DE⊥GP，连接FG，取GF中点M，则HM∥GP，所以异面直线PG与DH所成角为∠DHM(或补角)，因为GP＝eq\r(3)，所以HM＝eq\f(\r(3),2)，连接MD，得DM＝eq\f(\r(7),2)，DH＝eq\r(3)，cos∠DHM＝eq\f(（\r(3)）2＋（\f(\r(3),2)）2－（\f(\r(7),2)）2,2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3)，所以PG与DH所成的角的正弦值为：eq\r(1－（\f(2,3)）2)＝eq\f(\r(5),3)，故A错误；正四面体P­DEF中，取DF中点N，连接PN，EN，则PN⊥DF，EN⊥DF，PN∩EN＝N，所以DF⊥平面PEN，所以DF⊥PE，所以DF与PE成角eq\f(π,2)，故B正确；连结GN，HN，则NH∥DP，所以异面直线GH与PD所成的角为∠GHN(或补角)，GH＝eq\r(GP2－（\f(PF,2)）2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，GN＝HN＝1，cos∠GHN＝eq\f(2＋1－1,2×\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠GHN＝eq\f(π,4)，所以GH与PD所成的角为eq\f(π,4)，故C正确；异面直线PG与EF所成角为∠PGN(或补角)，由题知PN＝eq\r(3)故cos∠PGN＝eq\f(PG2＋GN2－PN2,2×PG×GN)＝eq\f(3＋1－3,2×\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),6)，故D正确．二、填空题4．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线，已知条件中的角会给解题提供方向．【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.答案：60°5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1(侧棱垂直于底面内的所有直线)，其中ABCD是正方形且边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1【解析】因为AA1∥DD1，所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角，连接BD，在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝eq\f(DB,BD1)＝eq\f(2\r(2),2\r(6))＝eq\f(\r(3),3).因为AD∥BC，所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)，连接D1C，在△D1因为长方体ABCD­A1B1C1D1高为4，所以D1B＝2eq\r(6)，BC＝2，D1C＝2eq\r(5)，D1B2＝BC2＋D1C2，所以∠D1所以sin∠D1BC＝eq\f(D1C,D1B)＝eq\f(2\r(5),2\r(6))＝eq\f(\r(30),6)，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是eq\f(\r(30),6).答案：eq\f(\r(3),3)eq\f(\r(30),6)6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C【解析】取A1B1中点M，连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．易知△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，所以EF与GH所成的角等于60°.答案：60°7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，所以MN＝5.答案：5三、解答题8．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角，由FG∥AC，EG∥BD，且AC⊥BD得EG⊥FG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1【解析】如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M设正方体的棱长为a，则A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M

【素养培优练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱A1D1的中点，，若过点A，E，F的平面分别交棱CC1，BC于点G，H，则线段GH的长度为()A．eq\f(\r(34),3)B．eq\f(4\r(5),3)C．eq\f(\r(97),3)D．eq\f(10,3)【解析】选B.由知，D1F＝3，FC1＝1，取AD的中点K，在线段DC上取点L，使LD＝3，则LC＝1，由KDED1，所以四边形KDD1E为平行四边形，KEDD1，由LDFD1，所以四边形DD1FL为平行四边形，FLDD1，所以FLKE，所以四边形FLKE为平行四边形，EFKL，在DC的延长线上取点P，使CP＝2，连结AP，则L是线段DP的中点，所以KLeq\f(1,2)AP，所以EF∥AP，所以过点A，E，F的平面与棱BC的交点H就是线段AP与线段BC的交点，设直线EF与B1C1则MH和CC1的交点就是过点A，E，F的平面与棱CC1的交点G，由△D1EF和△C1MF相似，易求MC1＝eq\f(2,3)，由△PCH和△PDA相似，易求HC＝eq\f(4,3)，由△C1GM和△CGH相似，易求GC＝eq\f(8,3)，所以GH＝eq\r(HC2＋GC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝eq\f(4\r(5),3).2．如图，已知三棱柱ABC­A′B′C′的底面是正三角形，侧棱AA′⊥底面ABC，AB＝9，AA′＝3，点P在四边形ABB′A′内，且P到AA′，A′B′的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A′D平行的直线交三棱柱ABC­A′B′C′于点P，Q两点，则点Q所在平面是()A．ACC′A′ B．BCC′B′C．ABC D．ABB′A′【解析】选C.如下图所示，连接A′P并延长交直线AB于点M，由于点P在四边形AA′B′B内，且点P到AA′，A′B′的距离都等于1，可知∠AA′M＝45°，则△AA′M为等腰直角三角形，且AM＝AA′＝3<AB，所以，点M在线段AB上，连接DM，由于点P在线段A′M上，过点P作PQ∥A′D交DM于点Q，则点Q即为所求，且点Q在线段DM上，因此，点Q在平面ABC内．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70°，则这样的直线lA．不存在 B．2条C．4条 D．无数条【解析】选C.因为B1D1∥BD，过点C做直线l可以转化为过B做直线l与直线BA1和BD所成的角均为70°，由于BA1与BD所成的角等于60°，所以当直线l是∠A1BD的角平分线时与A1B，BD都成30°，然后直线l绕着点B转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70°，同理在∠A1BD的对顶角中也有一条直线l与两条直线都成70°，因为∠A1BD的补角是120°，角平分线与两条直线都成60°，当直线l绕着点B从∠A1BD一侧的补角角平分线开始转动，在与平面A1BD垂直的过程中有一条直线与两条直线都成70°，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条．4．(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1A．直线AM与C1CB．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线MN与AC所成的角为60°【解析】选CD.结合图形，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边△AD1C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，P是线段AC上一点，且直线PA1交平面AB1D1于点M.给出下列结论：①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1不共面；③A，M，C，O共面；④B，B1【解析】连接A1C1，因为O是B1D1所以O∈A1C1平面AB1D1与平面AA1C则平面AA1C1C∩平面AB1对于①，M∈PA1，PA1⊂平面AA1C则M∈平面AA1C又M∈平面AB1D1，则M∈AO，即A，M，O三点共线，故①正确；对于②，A，O，A1在平面AA1C由①知M∈AO，所以M∈平面AA1C即A，M，O，A1共面，故②错误；对于③，A，O，C在平面AA1C所以M∈平面AA1C对于④，连接BD，则B，B1，O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1D1D，则直线OM⊂平面BB1D1D，所以A∈平面BB1D1D，显然A∉平面BB1D1D的，故④错误．所以正确命题的序号