-新教材高中数学第13章立体几何初步2.4第1课时两平面平行学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE11第1课时两平面平行1．平面与平面之间的位置关系位置关系平面α与平面β相交平面α与平面β平行公共点有一条公共直线没有公共点符号表示α∩β＝aα∥β图形表示2.平面与平面平行的判定定理自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β图形语言3.平面与平面平行的性质定理自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言4.两个平行平面间的距离(1)公垂线与公垂线段与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．(2)两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为()A.梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【解析】选B.由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形EFGH为平行四边形．2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是()A．若α与β相交，a⊂α，b⊂β，则a与b一定相交B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b【解析】选D.A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B，C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．3．底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是()A．平面AA1D1DB．平面AA1B1BC．平面DD1C1CD．平面ABCD【解析】选A.根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.4．如图，在四棱锥P­ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．【解析】因为E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，所以平面EFGH∥平面ABCD，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面EFGH，所以AE为平面ABCD与平面EFGH的公垂线段，AE＝eq\f(1,2)PA＝1.答案：15．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．【解析】由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.答案：平行6．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.【证明】过点M作MG∥BC交AB于点G，连接GN，则eq\f(AM,MC)＝eq\f(AG,GB).因为AM＝FN，AC＝BF，所以MC＝NB.所以eq\f(FN,NB)＝eq\f(AG,GB)，所以GN∥AF.又AF∥BE，所以GN∥BE.因为GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，所以GN∥平面BCE.因为MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MG∥平面BCE.因为MG∩GN＝G，所以平面MNG∥平面BCE.因为MN⊂平面MNG，所以MN∥平面BCE.一、单选题1．下列说法中正确的是()A．若平面α内的直线a平行于平面β内的直线b，且a∥β，b∥α，则α∥βB．若直线a⊂α，a∥β，则α∥βC．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行【解析】选D.对于A，若α∩β＝l，a⊂α且a∥l，b⊂β且b∥l，则a∥b，但此时α与β不平行；对于B，若α∩β＝l，a⊂α且a∥l，则a∥β，但此时α与β不平行；对于C，不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交；D是面面平行的判定定理的推论．2．下列命题正确的有()①如果两个平面不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】选B.对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【解析】选B.如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为()A.2∶5B．2∶7C．4∶49D．9∶25【解析】选C.因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.二、多选题5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥bC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β【解析】选AD.对于A，由点线面的位置关系知，两条直线平行于第三条直线，这两条直线平行，故A正确．对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故B不正确．对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故C不正确．对于D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故D正确．三、填空题6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．【解析】三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．答案：平行或相交7．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是________．【解析】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①③正确，②中m，n可能平行或异面．答案：①③四、解答题8．如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1，A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【证明】连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED，因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点，又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1＝D1，所以平面A1BD1∥平面AC1D.9．如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形，所以A′D′∥B′C′.因为A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.因为A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因为AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面ABCD与平面BB′C′C的交线，所以AD∥BC.同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形．一、选择题1．(2021·廊坊高一检测)设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是()①m∥l，n∥l，则m∥n；②m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m∥l，m∥α，则l∥α；④若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β；⑥α∥γ，β∥γ，则α∥βA．0B．1C．2D．3【解析】选C.①显然正确；②可能相交；③l可能在平面α内；④l可能为α，β两个平面的交线，两个平面α，β可能相交；⑤α，β可能相交；⑥显然正确．2．(2021·宜昌高一检测)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝4，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内的一动点(含边界)，若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是()A．[3，eq\r(17)] B．[2，3]C．[eq\r(6)，2eq\r(2)] D．[eq\r(17)，5]【解析】选C.如图所示：取A1D1的中点G，取MD的中点E，A1G的中点F，D1D的三等分点H靠近D，并连接起来．由题意可知C1G∥CM，GH∥MN，C1G∩GH＝G，CM∩MN＝M，所以平面C1GH∥平面CMN.即当点P在线段GH上时，C1P∥平面CMN.在△C1GH中，C1G＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，C1H＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，GH＝2eq\r(2)，所以△C1GH为等边三角形，取GH的中点O，C1O＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6)，故线段C1P长度的取值范围是[eq\r(6)，2eq\r(2)].3．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝()A．12B．15C．18D．21【解析】选B.因为α∥β∥γ，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，而AB＝6，所以BC＝9，所以AC＝AB＋BC＝15.4．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，则m∥βC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n【解析】选BD.对于A选项，假设α∩β＝l，m⊄α，m⊄β，m∥l，则m∥α，m∥β，但α，β不平行，A选项错误；对于B选项，若α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可知m∥β，B选项正确；对于C选项，若α∥β，m∥n，m∥α，则n⊂β或n∥β，C选项错误；对于D选项，若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，由线面平行的性质可知m∥n，D选项正确．二、填空题5．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD.【解析】由题意知l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.答案：垂直6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.【解析】因为HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH7．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB＝8，且AB与α成45°角，则α与β之间的距离是________．【解析】如图，过A作AA′⊥平面α交α于点A′，连接A′B，则A′B为AB在平面α内的射影，所以∠ABA′为AB与α所成的角，所以∠ABA′＝45°，在Rt△ABA′中，AB＝8，AA′＝8×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)，又因为α∥β，所以AA′⊥β，所以AA′为α与β之间的距离，所以α与β之间距离为4eq\r(2).答案：4eq\r(2)8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．【解析】AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，所以AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,2).同理可得eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(3,2).所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为eq\r(3)，所以△A′B′C′的面积为eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)三、解答题9．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.【解析】(1)连接BM，BN，BG并延长分别