-新教材高中数学第13章立体几何初步2.3第3课时直线与平面垂直的判定学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE14第3课时直线与平面垂直的判定【概念认知】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面．垂线和平面的交点称为垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图：2．直线与平面垂直的判定定理【自我小测】1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直【解析】选A.由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【解析】选C.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC.3．如图，BC是Rt△BAC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A.3B．5C．6D．8【解析】选D.由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均为直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD.所以AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形．4．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．【解析】因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，所以l⊥平面ABC，又因为AB⊂平面ABC，所以l⊥AB.答案：垂直5．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直．设PA＝PB＝PC＝3，则点P到平面ABC的距离为________．【解析】因为PA，PB，PC两两垂直，而PA∩PB＝P，故PC⊥平面PAB，又S△PAB＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，VC­PAB＝eq\f(1,3)×3×eq\f(9,2)＝eq\f(9,2).又Rt△PAB中，PA＝PB＝3，故AB＝3eq\r(2)，同理AC＝BC＝3eq\r(2)，故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×(3eq\r(2))2＝eq\f(9\r(3),2)，故VP­CAB＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×d，其中d为点P到平面ABC的距离，因为VP­CAB＝VC­PAB，故eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×d＝eq\f(9,2)，故d＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中正确的序号是________．①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A­BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．【解析】对于①，由题意及图形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；对于②，由于正方体ABCD­A1B1C1D1对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B的距离等于AC的一半，故可得三棱锥A­BEF的体积为定值，故③正确；对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故④错误．答案：①②③7．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.【基础全面练】一、单选题1．已知直线a，b和平面α，下列推理中错误的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊂α))⇒a⊥bB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b，,a⊥α))⇒b⊥αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,b⊥α))⇒a∥α或a⊂αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，,b∥α))⇒a∥b【解析】选D.当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BCD．AE⊥CD【解析】选B.如图所示．连接AC，BD，因为ABCD­A1B1C1D1所以四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，因为BD∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定【解析】选A.因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．4．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【解析】选D.如图所示，直线l和平面α相互平行，直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.5．(2021·南京高一检测)如图所示，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，且CE与AB不垂直，则图中直角三角形的个数是()A.3B．4C．5D．6【解析】选D.因为∠ACB＝90°，所以△ACB是直角三角形．由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以△PAB，△PAC是直角三角形．又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB是直角三角形．因为EF∥PA，PA⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，所以EF⊥BE，EF⊥EC，所以△BEF，△FEC是直角三角形，所以△PAB，△PAC，△ACB，△PCB，△FEC，△BEF均为直角三角形，共6个．二、多选题6．ABCD­A1B1C1D1A.BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1【解析】选ABC.在正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．7．(2021·永州高一检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，点E为PA的中点，则下列判断正确的是()A.PB与CD所成的角为60°B．BD⊥平面PACC．PC∥平面BDED．VBCDE∶VPABCD＝1∶4【解析】选BCD.对A，因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，则∠PBA即为PB与CD所成的角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，因为PA＝AB，所以∠PBA＝45°，故A错误；对B，连接AC，因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故B正确；对C，设BD∩AC＝O，连接OE，则O是AC中点，又点E为PA的中点，所以PC∥OE，因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE，故C正确；对D，因为VBCDE＝VEBCD＝eq\f(1,3)S△BCD·EA，VPABCD＝eq\f(1,3)SABCD·PA＝eq\f(1,3)×2S△BCD×2EA＝4VB­CDE，所以VBCDE∶VPABCD＝1∶4，故D正确．三、填空题8．下列语句中正确的是________.(填序号)①l⊥α⇒l与α相交；②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α.【解析】①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.答案：①③9．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．能判定直线与此平面垂直的有________.【解析】由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边可能平行，所以也无法判定线面垂直．答案：①③四、解答题10．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A【证明】因为AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1所以AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，所以A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.所以AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))所以A1D⊥AD.因为A1C1∩A1D＝A1所以AD⊥平面A1DC1.11．如图，在四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD为直角梯形，AD＝eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5).因为侧面SAB为等边三角形，所以SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以BD2＝SD2＋SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB＝S，所以SD⊥平面SAB.【综合突破练】一、选择题1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，所以选C.2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【解析】选B.根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，所以AH⊥平面EFH，B正确；因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF不正确，D不正确．3．如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM∥平面ADE；②DE⊥BM；③平面BDM∥平面AFN；④AM⊥平面BDE.以上四个命题中，真命题的序号是()A.①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解析】选A.把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，如图1所示；对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM⊂平面BCMF，所以BM∥平面ADNE，①正确；对于②，如图2所示，连接AN，则AN∥BM，又ED⊥AN，所以DE⊥BM，②正确；对于③，如图2所示，BD∥FN，BD⊄平面AFN，FN⊂平面AFN，所以BD∥平面AFN；同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，所以平面BDM∥平面AFN，③正确；对于④，如图3所示，连接AC，则BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MC⊥BD，又AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM，所以BD⊥AM，同理得ED⊥AM，ED∩BD＝D，所以AM⊥平面BDE，所以④正确．4．(多选)在正方体中ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1A．AC1⊥EGB．GC∥EDC．B1F⊥平面BGC1D．EF和BB1所成角为eq\f(π,4)【解析】选AD.如图，对于A，连接B1D1，A1C1，则A1C1⊥EG，又AA1⊥平面A1B1C1D1，EG⊂平面A1B1C所以AA1⊥EG，又AA1∩A1C1＝A1，所以EG⊥平面AA1C1，又A1C⊂平面AA所以AC1⊥EG，故A正确；对于B，取B1C1所以CM∥ED，又GC∩CM＝C，因此GC∥ED不成立，故B错误；对于C，假设B1F⊥平面BGC1，则B1F⊥GC1，连结B1D因为D1F⊥平面A1B1C1D1，GC1⊂平面A1B1C1所以D1F⊥GC1，又B1F∩D1F＝F，所以GC1⊥平面D1B1F，又D1B1⊂平面D所以GC1⊥D1B1，显然不成立，故C错误；对于D，因为D1D∥B1B，所以∠D1FE为异面直线EF和BB1所成的角，在等腰直角△D1EF中，∠D1FE＝eq\f(π,4)，所以异面直线EF和BB1所成的角为eq\f(π,4)，故D正确．二、填空题5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则四个侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有________个直角三角形．【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以△PAB，△PAD为直角三角形，因为BC⊥PA，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，同理，△PDC为直角三角形，所以四个侧面三角形均为直角三角形．答案：46．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1【解析】如图所示：连接BC1，B1C交于点O，连接A1因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1所以BC1⊥平面A1B1O，所以BC1⊥A1O，所以A1O的长度即为所求．因为A1B1＝a，B1O＝eq\f(\r(2),2)a，所以A1O＝eq\r(A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋B1O2)＝eq\f(\r(6),2)a.答案：eq\f(\r(6),2)a7．(2021·嘉兴高一检测)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的有________.【解析】因为底面ABCD为正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，故四棱锥SABCD为正四棱锥，设AC与BD的交点为F，则SF⊥底面ABCD，又AC⊂平面ABCD，故SF⊥AC，又AC⊥BD，SF∩BD＝F，故AC⊥平面SBD，又E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，故EN∥SB.EN⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，故EN∥平面SBD，同理可证EM∥平面SBD，EM∩EN＝E，则平面EMN∥平面SBD，则AC⊥平面EMN，又EP⊂平面EMN，故AC⊥EP，①正确；当P与M重合时，才满足EP∥BD，故②错误；由平面EMN∥平面SBD，EP⊂平面EMN，可得EP∥面SBD，故③正确；由BD⊥AC，BD⊥SF得BD⊥平面SAC，只有当P与M重合时，满足EP∥BD，EP⊥面SAC，故④错误．答案：①③8．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E为棱PD上一点，且ED＝2PE，过EB作平面α分别与线段PA，PC交于点M，N，且AC∥α，则eq\f(PM,PA)＝________，四边形EMBN的面积为________.【解析】如图，延伸平面α，交平面ABCD于RS，因为B∈平面α∩平面ABCD，所以B∈RS，即R，S，B三点共线，又AC∥α，由线面平行的性质可得AC∥RS，则∠ARB＝∠ABR＝eq\f(π,4)，即AR＝AB，所以A是RD的中点，过M作MK⊥PD，垂足为K，则在△PDA中，eq\f(MK,DA)＝eq\f(PK,PD)，在△EDR中，eq\f(MK,DR)＝eq\f(EK,ED)，所以eq\f(PK,PD)·DA＝eq\f(EK,ED)·DR，即eq\f(PK,6)·4＝eq\f(PK－2,4)·8，解得PK＝3，所以K是PD中点，则M是PA中点，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(1,2)，则eq\f(PN,PC)＝eq\f(PM,PA)＝eq\f(1,2)，MN∥AC，因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，因为BD⊥AC，BD∩PD＝D