-新教材高中数学第13章立体几何初步2.2第1课时平行直线学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9第1课时平行直线课程标准1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系．2.进一步掌握用几何图形、数学符号表示空间直线之间的位置关系．【概念认知】1．空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和理解①定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．(2)空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有2.平行直线及基本事实4基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．用符号表示为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.3．等角定理定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【自我小测】1．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线()A．12对 B．18对 C．24对 D．36对【解析】选B.由基本事实易知共有18对．2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同，所以有可能互补．3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确，A错误；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．4．直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为________．【解析】以正方体为例，如图，当直线l位于图中两位置时，直线l与b的位置关系是相交或异面．答案：异面或相交5．如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形．【基础全面练】一、单选题1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能【解析】选D.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1A.MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行【解析】选D.如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为BB1⊥BD，BB1∥CC1，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对B．4对C．5对D．6对【解析】选A.三棱锥A­BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面 D．相交或异面【解析】选D.画出图形，得到结论．如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知．5．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A．矩形 B．正方形C．菱形 D．空间四边形【解析】选C.因为E，F，G，H分别为各边的中点，所以EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，EH＝FG＝eq\f(1,2)BD，所以四边形EFGH是平行四边形．因为AC＝BD，所以EF＝EH，所以四边形EFGH是菱形．二、多选题6．在四面体A­BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是()A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形【解析】选ABC.由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQeq\f(1,2)BD，NPeq\f(1,2)BD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．7．在四棱锥A­BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则()A.PQ＝eq\f(1,2)MNB．PQ∥MNC．M，N，P，Q四点共面D．四边形MNPQ是梯形【解析】选BCD.由题意知PQ＝eq\f(1,2)DE，且DE≠MN，所以PQ≠eq\f(1,2)MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．三、填空题8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④∠DAH＝∠CBN.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】因为A，M，C，C1四点不共面，所以直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；易得∠DAH＝∠CBN，故④正确．答案：③④四、解答题9．已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1【证明】如图，连接EE1，因为E，E1分别为AD，A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C10．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.判断MN与BD的位置关系．【解析】MN∥BD.理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF.因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD.又因为点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，所以MN∥EF，且MN＝eq\f(2,3)EF，故MN∥BD.【综合突破练】一、选择题1．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则()A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5【解析】选A.取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】选B.直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．3．(多选)在空间四面体ABCD中，如图，E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为()A.EG＝FH B．EF＝GHC．EH与FG相交 D．EG＝HG【解析】选ABC.由题意知，EGeq\f(1,2)BD，FHeq\f(1,2)BD，所以EGFH，所以四边形EGHF为平行四边形，所以EG＝FH，EF＝GH.所以EH与FG共面且相交，故A，B，C正确，但EG不一定与HG相等．二、填空题4．在四棱锥P­ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________．【解析】由题意知EFeq\f(1,2)AC，GHeq\f(1,2)AC，故EFGH，故GH＝2.答案：25．在空间四边形ABCD中，如图所示，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．【解析】在△ABD中eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.答案：平行6．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1(1)直线A1B与直线D1C(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．【解析】(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C(2)由(1)及AB∥DC，根据等角定理可得∠A1BA＝∠D1CD.答案：(1)A1B∥D1C(2)∠A1BA＝∠D1三、解答题7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点.求证：BF∥ED1【证明】如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，因为F为CC1的中点，所以BGC1F，所以四边形BGC1F所以BF∥GC1，又因为EGA1B1，A1B1C1D1，所以EGC1D1