版考研数学三历年真题及答案1991路上的幸福哥

入学统一考数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一

x1ty

d2

sinttcost4tdz

xyz.

zz(xy在点(1,0,1)已知直L1L2的方程L:x1y2z3Lx2y1z，则L1 行于L2的平面方程是x-3y＋z+2= x0(1ax2)1/21与cosx1是等阶无穷小，则常数a3252 0 0设4阶方阵A=21 0,则A的逆矩阵A1 000

1/ 2/ 00 1/31/ 1e2曲线y 21(A)没有渐近 (B)仅有水平渐近(C)仅有铅直渐近 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近2若连续函数f(x)满足关系式f(x) f(t)dtln2，则f(x)等2exln

e2xln exln

e2xln2已知级数(1)n1a2,a5，则级数an等

2n

（A） （B） （C） （D）设D是XOY平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角区域，D1是D在第一象限的 等 1(A)2Dcosxsinydxdy(B)2Dxydxdy(C)4D(xycosxsiny)dxdy(D)1 (A)ACB= (B)CBA= (C)BAC= (D)BCA=lim

x)

lncos limlncos解原式lime

ex0 „2„4e2 „5设n是曲面2x23y2z26在点P111u 在点P处沿方向nz解：n4i6j2k „1z6x26x6x2P

6，6，Pz6x214P

88„3从 P[xcos(n,i)ycos(n,j)zcos(n,k)] 14 11 „57y2求(x2y2z)dv，其中是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平z4

x2解(xyz)dv drdrr2(r „22

28(4r38r5r58

„4 „53O00A,0yasinx(a0)L线从O到A的积分(1y3dx2xy)dy的值最小L解：I(a)[1a3sin3x(2xasinx)acosx]dx „204a4a3 „435

„„6f(x2x(1x1)2n2的和n1解：f(x2x(1x1是偶函数，所以a020(2x)dx5，„1 an20(2x)cos(nx)dx20xcos(nx)dx

n2

n1 „3bn0,n1, „4因所给函数在[1,1]满足收敛定理的条件2x5

2(cosn

cos(nx)5

4cos(2k1)

x „5 n2 4

2k

(2kx0

2 2

2

(2k

2，即

(2k

k0

2k01 4 于是n2(2k1)2(2k)2

84

，因此

6„8k k k 六(6分1cf(c0

3解：由积分中值定理知,在[3,1]上存在一点c1，使2f(x)dx3f(c1)， „3分从而有f(c1)f(0) „43f(x在区间[0,c1上满足罗尔定理的条件，因此在(0,c1内存在一点cf(c)0.c(0,c1(0,1 „7已知11,0,2,3，21,1,3,5)，31,1a2,1，41,2,4,a8)(1,1,b3,5)解：xxxx则x2x32x41 2 3 4 2x3x(a2)x4xb 3x15x2x3(a3)x4

„21 1 1 1因0 1 0 1 „4 23a b301a 3 a 0 a1 故当a1,b0时，不能表示成a1,a2,a3,a4的线性组合. „5分当a1时，表示式唯一，且2baab1a a0a „8a1 a a1 设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E 因A是正定阵，故存在正交阵Q，使Q1AQ

„1其中i0(i1,

n 1

故Q1(AE)QQ1AQQ1Q

E

„4 n nn在上式两端取行列式得(1)|Q1||AE||Q||AE|，从而|AE|1.„6 AE的特征值i11(i12,因此A+E的行列式|AE|112 n1

„1„4„6段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点，且曲线在点(1,1)处的切线与X轴平行.解：yy(x在点(xy处的法线方程是Yy1Xxy0,„1x轴的交点是(xyy0)x轴之间的法线段PQ1y(1y2)2（y0也满足上式 „2 y

，即yy''1y'2 „3313(1y'2 y(1y'2)且当x1时，y1,y'0 „4令y'p，则y''pdp，代入方程得ypdp1 dp 1y1p01

1

„6dypy

y2 y2y2积分上式，并注意到x1时y1，得ln(y y21)(x1)y2 ex1)即y1(ex1e(x1)) „y22若 量X服从均值为2，方差为2的正态分布，且P{2X4}0.3，P{X0} 0. 随机地向半圆0y (a0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为11 2设二维随量(X，Y)的概率密度为f(x,y)

2e(x2y

x0,yZX2Y的分布函数 其FZ(zP{ZzP{X2Yzx2

f(x „2z0时P{Z00 当z0时，P{Zz}0 „4 (x2 x 2 2y x 2 2y x z z e dy e)dx1 .„5

zZX2YFZ(z1ezzez

„6z数学（试卷二 (x(x x2 (x(x x2

(x(x (x1)2令x1sec，则dxsectand „2 „33sec43 3 2(1sin2cosd38 „63sydzdxz1)dxdySx2y24xz2z0解一：S,S1,S2,D1如图I1ydzdxz1)dxdy,I2ydzdxz1)dxdy I3 ydzdx(z1)dxdy,则II3I1I2 „1SS1I1ydzdx(z (z1)dxdy(2x1)dxdy12 I2ydzdx(z1)dxdydxdy4 有I3(11)dv0II3I1I28

„3

„4„5„6解二：SD2 24x2

„1„3 2 0 0

4x2 „422(2x)4x2

„522

4x2dx8 „6五、(8分)六、(7分)七、(8分)八、(6分)九、(8分)数学（试卷三3xlnyln(13xdy

1

dx曲线yex2的向上凸区间是 2 2)

lnxdx 到t2秒内质点所经过的路程等于1/ 米1lim1ex x若yx2axb和2y1xy3在(11)点相切其中a,b是常数， (A)a0,b (B)a1b (C)a3,b (D)a1,b0x 0x 0f(x)2

F(x)

0x

F(x)

0x 2x 1x 2x 1x

F(x)

0x3

（D）F(x)3 3

0x 2x

1x 2x

1x设函数f(x)在(,)内有定义，x00是函数f(x)的极大点 x0必是f(x)的驻 (B)x0必是f(x)的极小(C)x0必是f(x)的极小 (D)对一切x，都有f(x)f(x0)(4)如图，x轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，若质量为m的质点到杆右端的距离为a，引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为 0 1 0 1

2

21 2 (D)22 1(a 0(a 2(a 0(a

xtytsint

dysintt

„2 costtsin d2ysinttcostdt costtsint 2

„44计算1

(costtsin

„5解：令t ，则xt2,dx2tdt，于是2原式

„22 12 „31 1t12[lntln(1 „412ln4 „53xsin求 0 n解：原式lim lim1

„2„4

1 lim „5x0 求xsin21cos解：原式

„21xdx1xdsin

„32x 2x44xsinx4sin „4 xsin2xcos2xC „5 xy2yxexy(1)1解：yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx „11

1 x[

xdx „2ex1,y1代入，得C1yx1xe

„4„5x1时，有不等式ln(1x)ln

x1x证一：令f(x)(1x)ln(1x)xlnx „2)f(xln(11)x

所以在[1,)中f(x)为增函数 „6f(1)2ln20，所以在[1中，有f(x)0.即(1xln(1xxlnx0x1时，有ln(1x)ln

1

„9求微分方程yyxcosx解：原方程所对应齐次方程的通解为C1cosxC2sinx „yyxy1AxB.B0,A1y1x xsinx x因此原方程的通解为yC1cosxC2sinxx2sinx „9x解：在[1,2]上取积分元，得dV2x|y|dx „42于是有V12x|y|2

„6

1

„7 „92如图，A和Dyexye2xABDC均垂直xAB:DC21,AB求点B和CABCD的面积最大1解：设B，C的横坐标为x,x,则有ex2e2x，由此可得x1ln22x. „21分又BCxx13xln2x2

„5令S3(36x2ln2)e2x0，得驻点x11ln2 „7 x11ln2S0x11ln2S0 所以x

ln2是极大值点，又驻点唯一.故x

„8即当x ln2，x1 „9 八、(本题满分6分 设函数f(x)在(,)内满足f(x)计算 f(x)dx

f(xsinxf(x)xx[0,解一： f(x)dx3[f(x)sinx]dx

f(x „1令tx

f

„3 0 0f(t)dt f(t)dt0f(t)dtf(tsin „6 令xt 22f(t22f„822„9数学（试卷四设zesinxy，则dz esinxycosxy(ydx 设曲线f(x)x3ax与g(x)bx2c都通过点(1,0)，且在点(1,0)有公共切线，则a-1 ，b ，c 设f(x)xex，则f(n)(x)在点x (n1)处取极小 设A和BX

A为分块矩阵，则X1

0若x若1x0若10若x若1x0若1x1若x 3 则X的概率分布为 0.2 lim(11)x (B)lim(11)x (C)lim(11)x (D)lim(11)x 设0an1n(=,2)，则下列级数中肯定收敛的 nnn

(1)nn

(1)na2 设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根则A的伴随矩阵A*的特征根之一 (A)1A (B)1 (C) (D)A A与B不相 A与B相 P(AB)=P(A)P(B P(A-B)=P(对于任意两个随量X和Y若E(XY)=EXEY (BD(XY)=DXD (B D(X+Y)=DX+D X和Y独 (D X和Y不独exe2xenx求极限lim( )x其中n是给定的自然数 exe2x ln(exe2xenxln解：原式limexp{ )} }.„1 0

其中大括号内的极限是0limln(exe2xenx)ln limex2e2x

„212

n

x0exe2x „4 于是原式e2 „5计算二重积分IDydxdy，其中D是由x轴，y轴与曲 1所围成的区域；a0,b0.解：积分区域D如图中阴影部分所示 1，得yb Ia2 „2 xx20 adx „3x令t

xa1t2dx2a(1t)dtI

1(t4t5)dtab2t

t61

2 „5

6 xydyx2y2

y x2 x2

„1

1设yux, u ，将其代入上式，得u

„2即xdu1，ududx,1u2ln|x|C „3 将uy代入上式，得通解y22x2(ln|x|C) „4xy

2e,求得C1，于是，所求特解为y22x2(ln|x|1) „5222Lyax2分为面积相等的两部分，其a是大于零的常数，试确定的a值.2 解：y1x2(0x1yax2联立，可解得故曲L 11的交点P的坐标为 , )11于是S111a[(1x2)ax2]dy[x1(1a)x3 31 12SS

„43 3 从而S13.因此31a3 „5因此于是a3 „6某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分P1P2，销量分别为q1和q2，需求函数分别为q1240.2P1和q2100.05P2，总成本函数为c3540(q1q2)，解：总收入函数为Rpqpq24p0.2p210p0.05p „21 2 总利LRCp1q1p2q2[3540(q1q232p0.2p212p0.05p2 „4 L320.4p 由极值的必要条件，得方程组 p1p180,p2„6由问题的实际意义可知，当p180,p2120时，厂家所获得的总利润 605p180,p2„8

120.1p2)试证明函数f(x)(11)x

在区间(0,)内单调增加证：f(x)exp{xln(1

f(x11

11 „2x

11

) ) x(1

0故函数g(x)在(0,)上单调减少 „3

1

0 „4 x(0g(xln(11

0 „5 1从而，f(x)0，x(0,)于是，函数f(x)在(0,)上单调增加 „61 1 1 0设11，问 23 1 1 可由1,2,3可由1,2,3不能由1,2,3解：xxx

1x1 011 1x1 2 3

11

2 x 21

3 其系数行列式|A

11 11

2(3) „3若0且3，则方程组有唯一解，可由a1,a2,a3唯一地线性表示 „4若0可由a1a2a3线性表示，但表达式不唯一.5若3

0

318

6A

3

12

29 29 29 „7考虑二次fx24x24x22xx2xx4xx，问取何值时为正

1 1 2 解：二次型f的矩阵为A 2 „2 1 4 而A的顺序主子式为：D10，D1 42， 3D 242484(1)(2) „431 由D242 可见22；由D34(1)(2)0，可见2是，二次型是，二次型f正定，当且仅当2 „6试证明n维列向量组1,2,,n 1 1 1 i 2 1,2,,nD0其中i表示列向量i n n解：记n阶矩阵A1,2,,n则1,2,,n线性无关的充分必要条件是|A|0 „2 T1

1 由于ATA2(,, )2 n „4 T

n n nn故有|ATA||AT||A||A|2D|A|0D0等价于是D0是1,2,,n线性无关的充分必要条件 „6十二、(6分)1)假设随量X和Y在圆域x2y2r2上服从联合均匀分布XY

1 若x2y2解：(1)因X和Y的联合密度为p(x,y)r „1r2dy r2r2dy r2r2(|y|故Xp1x

(|x|r同理，Yp2(yr

„2于是EX

xr2x2dx0，EYr

„3r2cov(X,Y)EXY

x2y2

r2 xydxdy0 因此X和Y

„5(2)由于p(x,y)p1(x)p2(y)，故X和Y不独立 „6设总体Xpx

axa1e

若x0，其中0 若xa0XX1X2,,Xn，求 „2 ln

0 „4n由此可解得的最大似然估计量= „5nn数学（试卷五(1)(2)(3)ab0000ab0000a00000abb000aab0000ab0000a00000abb000an[91-5]设A，B为随机，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P(AB)(1)n2

设数列的通项为：xn

n

xn (C)有界变 设A与B为n阶方阵且AB则必 (A)A0或B (B)AB (C)A0或B AB设A是mn矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组， 若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b若Ax＝b有无穷多个解则Ax＝0(4)11三、(本题满分5分)求极限limx xx解：原式limx1x21limexp{1ln(x1x2exp{x

ln(x1x2)}

„2

ln(x 1x2

1 lim lim 1

xx1 1

1x2xe0 „5I1(2xx1)2dxI0(x1)2dx1(3x1)2

„2 3

(3x0

„53x2xI1x2I

1

arctanxdx

arctanxdarctan „2 dx1(arctan „41 xarctanx1ln(1x21(arctanx)2C „5 已知xyxf(z)yg(z),xf(z)yg(z)0，其中zz(x,yxy的函数. 证：[xg(z)] yf(z) 证：xyxf(zyg(zxyf(zxf(zzyg(zz „2z yf ， „3 xf(z)同样可得z x „4 xf(z)因此[xg(z)]z[xg(z)][yf(z)][y