中考数学小压轴汇编初讲：第3讲相似三角形

第3讲 相似三角形（2）一、本讲概述上讲我们强化了利用A型图、X型图、K型图、麻花图等基本图形进行相似寻找，大家应该对图形结构有了深入的认识。这一讲我们将在以往基础上先对复杂图形中相似寻找进行更深入探索，然后再进行相似构造。相似构造，说穿了就是为更好解决问题，作辅助线，构造相似三角形。那如何才能简单、自然、快捷、准确地构造呢？那就要仔细分析题目特征，由特征引领我们前行。通常情况下，我们有两种思路：1、平行生相似；2、比例造相似。平行生相似，指的是通过作平行线，产生A型图、X型图，达到构造相似解决问题的目的。比例造相似，指的是根据题目中线段比例特征，进行相似构造。具体的构造，往往根据角度、线段转化，作垂线、截取等，形式上常与K型图、麻花图联系紧密。二、典例分析例1、（2016四川绵阳9题）如图，AABC中，AB=AC=4,/C=72。,D是AB的中点，点E在AC上，DE±AB，则cos/A的值是（）【关键词】相似寻找、麻花图【分析】特征1：AB=AC,/C=72。。有角度，图形中每个角度都能迅速求出来。AD特征2：欲求cos/A的值。RtAADE中，cos/A=——。AE特征3：AB=AC=4,DE为AB中垂线。不妨设AE=x(x>0)，则BE=BC=x,CE=4-x。麻花图，易证AABCsABCE。ABBC4x—=—n——= BCCEx4-x解之得x=2v5-2所以，cosZA=当|=-3——=、5+1，选C。AE2V5-2 4

例2、（2014哈尔滨20题）如图，在AABC中，4AB=5AC,AD为AABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF±AD于点F，点G在AF上，FG=FD,连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，则AG的值为。FD【关键词】相似寻找【分析】此题条件繁多。特征1：欲求AG的值。FD比例特征，有无所在三角形相似呢？没有。AGAGAG转化后呢？—>—^^都是等价的。分析这些线段所在三角形，看是否有可能FDGDAD相似？AG所在的三角形只有AAGH。AD所在三角形有AADB与^ADC。特征2：EF±AD，FG=FD。说明AEDG为等腰A，两底角/EDG=/EGD而/EDG+/ADB=180°,/EGD+ZAGH=180°故/ADB=/AGH所以，AAGHsAADBAG_AHAD~AB特征3：4AB=5AC,H是AC中点。易求AH易求AHABAG_4FD~3【点评】本题的相似寻找有难度，对大家提出了更高的综合要求。

例3、（2015江苏盐城18题）设AABC的面积为1,如图①将边BCAC分别2等份，BEi、也相交于点5AA°B的面积为枭如图②将边BC、AC分别3等份，吟AD1，以此类推，则s可表示为（用相交于点O,AAOB的面积记为S2；„含n的代数式表示，其中，以此类推，则s可表示为（用图①【关键词】相似构造、图①【关键词】相似构造、X型图AO【分析】本题的关键，其实就是分析清楚do的值，自然想到构造相似解决。构造的1相似三角形既要能涵盖条件，又要解决问题。所以我们想作平行线，平行生相似。那过哪个点作谁的平行线呢？具体没有定论，能有效整合资源就行。如图④，D、E1分别是BC、AC的（n+1）等分点。过A作AP//BC交BE延长线于点P，产生X型图。AAOPsAAAOPsAD1OBnDO-Bd图④11图④AEAPAAEPsACEBn生=竺iiCEBC1BD1AE1而 1二一, 1二一CD]nCE]naAPn+1APn+1故= , = BCnBD2n+1S1SAOn+1由_AAD1B- ,—AAOB= = S.n+1SMDB AD 2n+1得s-n+1-—-s，而S-S-1AAOB 2n+1n+1 AABC n AABC【点评】本题利用“平行生相似”，简捷、自然。例4、（2016山东淄博11题）如图1,直线/J/2//13，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A、B、C分别在卜、「4上,/ACB=90。，AC交12于点D。已知11与12之间的顶点A、B、C分别在卜、「4上,/ACB=90。，AC交12于点D。已知11与12之间的距离为1，/2与之之间的距离为3。ABBDn20v2D23图1【关键词】相似构造、K型图、A型图【分析】特征1：欲求AB的值。线段比例特征，自然让人想到寻找或构造相似三角形。BD带着美好的愿望,经过缜密侦查，结果发现寻找或构造难度都较大。继续分析题目特征。特征2：直线上面有直角，如果作垂线，可以产生K型图。如图2,过B作BM±l于点M，过A作AH±/于点H，交l于点G。产生K型3图，可以据此算出相关线段。由题意，BM=3,AG=1,AH=4。易证ABCM/ACAH，则MC=AH=4,CH=BM=3AC=、；AH2+CH2=5现在的问题是怎样简单地求出AB?BD当然可以再用勾股定理把所有线段硬算出来,但代数运算始终没能体现几何魅力，不免遗憾。我们看ABBD"2BC 」. 一，虽然AABD难以产BD生相似关系，但ABCD是很容易找到相似朋友的。易知ABCDsAAGDsAAHC。那太好了BCACBDAH所以,AB2BBC4v2BDBD【点评】比例造相似，舒服。就像下弹子跳棋，看似遥不可及，哪想一步就到位?例5、（2016成都23题）如图1,AABC内接于。O,AH±BC于点H，若AC=24,AH=18,0O的半径OC=13，则AB=【关键词】相似构造、比例造相似、垂径定理【分析】宏观分析，AB所在的是一个RtA，除直角特征外，还有一直角边AH=18。欲求AB，要么把BH求出来，要么把AB作为比例特征，比例造相似进行构造。AH微观探索，BH是难以迅速求出来的。那就重点相似。谁来与RtAABH相似呢？空旷的原野静悄悄，没人回答，只要自力更生了。RtAABH中，/B是圆周角，能转化到哪里去呢？一种思路是：同弧所对圆周角相等。但这样不能产生直角，放弃。另一思路如图2,过点O作但这样不能产生直角，放弃。另一思路如图2,过点O作OG1AC于G，连接由垂径定理，/COG=1AAOC由垂径定理，/COG=1AAOC^2而/B=1/AOC则/B=/COG故AABHsACOG,构造成功。ABCOAHCG'1339AB=18x=二12 2【点评】本题的相似构造，以比例特征为指引角度分析为突破口。属典型的比例造相似。三、课后小结相似构造是以相似寻找为基础，相似寻找又以A型图、X型图、K型图、麻花图等作为基本图形。也就是说我们构造出的常规图形往往会与基本图形沾边。其实，不管常规还是非常规构造，去深入思考它们最基本的联系，思路、方法自然就出来了。相似构造里大家把握两个重点：：1、平行生相似；2、比例造相似。

四、真题演练1、（2016四川绵阳11题）如图，点E、点F分别在菱形ABCD的边AB.AD上，AF HF,且AE=DF,BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若 =2，贝|的DF BG值为（）C、5127C、512122、（2016天津17题）如图1，在正方形ABCD中，点E、N、P、G分别在边AB、BC、CD、DA上，点M、F、Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNpQ的值等于S正方形AEFG

3、（2015江苏扬州18题）如图，已知AABC的三边长为a、b、c,且a<b<c,若平行于三角形一边的直线/将AABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形（1）、（2）、（3）的面积分别为（3）的面积分别为q、S2、S3,则JS2、S3的大小关系是 号连接）。4、（2016四川泸州11题）如图1,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M、N,则MN的长为）。20D、逅205、（2015辽宁盘锦18题）如图，在平面直角坐标系中，等腰AOBC的边OB在x轴上，OB=CB,OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD。AB=<2,/CBO=45。，在直线BE上求点M，使ABMC与AODC相似，则点M的坐标是练习1、（2016四川绵阳11题）【关键词】相似寻找、X型图QMABBD2QMABBD2HF【分析】图中有两组X型图，均与折有紧密联系。不妨设AE=DF=a，由菱形BG性质，AF=2a，BE=2a。HFDHDFAHFDsABFAn = =BFABAFHGDHAHGDsABGEnHG=DHBGBE进而可得DH=3a；所以,HF 1 HF 1 =—n=一BF 2 BH 3HG 3 BH 7 二一n二一BG 4 BG 4HF HF BH 1 7 7= • =x=，选B。BG BH BG 3 4 12练习2、（2016天津17题）【关键词】相似寻找、A型图【分析】由于小正方形位置特殊，线段间的数量关系其实可以直接观察出来:2AE_<23QM—~TAE_3-v2QM—~7~S正方形S正方形MNPQ=S正方形AEFG(QM)2I~EE)之所以把这道简单的题目放于此处，有两个原因：1、三角形内接矩形（含正方形）问题，常见且重要；2、具有推广价值。【推广】如图2,其它条件不变，把单个正方形MNPQ换成n（n>1）个大小相等的内接正方形，把单个正方形AEFG换成n（n>1）个大小相等的内接正方形，则两组对应正方形的面积之比为

答案为S矩形PQQnMnS矩形AEnF答案为S矩形PQQnMnS矩形AEnFnG练习3、（2015江苏扬州18题）【关键词】相似寻找、A型图【分析】图中明显的A型图，肯定需要找出相似比。因为只有找出相似比，才能表示三个面积，进行大小比较。如图，不妨设EF―BCkEFEFk,22~—k,33—kiAB2AC3由AAE]FisAABC,ACE2F2sACAB,ABE3FsABCA，得AEi—勺c,A4―勺b；BE3—k3a,BF3—k3c。又因直线/将AABC的周长分成相等的两部分，则kb+kc—a+G—k%+G—k\；(L—k)a+(L—k%.

2 2 'b+G—k)a+G—kI3 3整理，得,a+b+ck=1 2b+2caa+b+ck= 2 2a+2baa+b+ck- 3 2a+2c再设AABC的面积为S，则S(EF丫 0_— Cc-2—2~2SIAB)S(EF¥3- 33SIAC)欲比较S1、S2、S3的大小关系，需先比较k1、k2、k3的大小。因a<b<c,则a+b<a+c<b+c。所以，k<k<k。即S1<S3<S2。练习4、（2016四川泸州11题）【关键词】相似寻找、相似构造【分析】欲求MN的长，需求M、N两点分AF所成线段的比例。特征1：矩形ABCD中，BF-2FC。RtAABF中，由勾股定理AF-2<2FNFBX型图，ABFNsADANn-ANAD4<2解之得FN-七特征2：E为AB的中点。由于点M所在三角形没有对应相似，所以考虑构造。中线倍长，如图2,延长DE交CB延长线于点G。

易得AGFM易得AGFMsADAMnFMFGAMAD5、；2解之得FM=4所以，MN=FM—FN=上2，选B。20练习5、（2015辽宁盘锦18题）【关键词】相似构造、分类讨论【分析】特征1：OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D。RtAECD与RtAABD中，/ECD=/ABD。特征2：等腰AOBC中，OB=CB,/CBO=45°。由三线合一，BE是OC边上的中垂线，也是/OBC的角平分线。则/DCO=/DOC=/OBE=/CBE=22.5°说明AODC是两底角为22