黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高二上学期开学考试（8月）数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高二上学期开学考试（8月）数学试题含答案哈师大青冈实验中学2019-2020学年度第一学期8月份考试高二学年数学试卷选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分)。1．已知直线经过，两点,则直线的斜率为A． B． C． D．2．不等式的解集是A．B．C．D．3．在数列中，，（，)，则（）A． B． C．2 D．64．已知分别为内角的对边,若,b=则=（)A． B． C． D．5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．如图，长方体中,,,那么异面直线与所成角的余弦值是A．B． C．D．7．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A．B．C．D．8．在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，则面积最小值为（）A．4 B．8 C．12 D．169．已知等差数列的前项和为,则数列的前2019项和为（）A． B． C． D．10．设满足约束条件,则的最小值为(）A．3 B．4 C．5 D．1011．正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．12．对于数列,定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（）A．2022B．1011C．2020D．1010二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分）。13．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．14．已知三棱锥（如右图所示)，平面，，,，则此三棱锥的外接球的表面积为______．15．圆与直线相交于,两点，则弦_______．16．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，且四棱锥的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥体积的最大值为__________.三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分,其余小题每题12分，共70分）。17．在中，内角,，的对边分别是，，，且满足：.（1)求角的大小;（2）若,求的最大值.18．在正项等比数列中，且，，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前项和.19．如图，在四棱锥中，，,，，，,分别为棱，的中点。（1）证明:平面.（2)证明：平面平面.20．已知圆O：x2+y2=2，直线．l:y=kx-2．（1）若直线l与圆O相切,求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；21．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD，，E是PC的中点．（1）求证：；（2）求证：面ABE；(3）求二面角E—AB-C的正切值．22．已知数列的前项和为,满足，,数列满足,,且.（1）求数列的通项公式；(2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；（3）若,数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.高二开学初考试答案CBDBAAACCBDB13.14．15．16．617．（I）由正弦定理得：，因为，所以，所以由余弦定理得：,又在中,,所以。(II）方法1：由（I）及，得，即,因为，（当且仅当时等号成立）所以.则（当且仅当时等号成立)故的最大值为2。方法2：由正弦定理得,，则，因为，所以，故的最大值为2（当时).18．（1),，（2）①-②得19．证明：（1)因为，,，所以，由所以。因为,,所以平面.（2）因为为棱的中点，所以，因为，所以。因为，所以,所以四边形为平行四边形，所以，所以平面。因为，分别为棱，的中点，所以，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面。20．解：(1）∵圆O：x2+y2=2,直线l:y=kx-2．直线l与圆O相切,∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=,即d==，解得k=±1．（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)，将直线l：y=kx—2代入x2+y2=2,整理，得（1+k2）x2—4kx+2=0，∴，，△=（-4k）2—8（1+k2）＞0,即k2＞1,当∠AOB为锐角时,=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2—2)==＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴—或1＜k＜．故k的取值范围为（-）∪(1，）．21．（1）证明：∵底面，又，，故面面,故（2）证明：，，故，是的中点,故由（1）知，从而面,故易知，故面（3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG∵PA⊥AC,∴PA//EF∴EF⊥底面且F是AC中点∴故是二面角的一个平面角．设,则PA=BC=,EF=AF=从而FG=,故．22．(1）由题意,当时,，所以，当时,,，两式相减得，又,所以,从而数列为首项，公比的等比数列，从而数列的通项公式为．（2）由两边同除以，得，从而数列为首项,公差的等差数列,所以，从而数列的通项公式为．（3）由(2)得，于是，所以，两式相减得，所以，由（1）得，因为对,都有，即恒成立，所以