2014四川省孙训方力学比赛参考解答

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第五届四川省孙训方大学生力学比赛试题

参考解答

一、解：1、平衡时歪面倾角θ的最大值

本题存在两种也许的平衡临界状态，一是整体处于沿歪面下滑的状态，二是整体绕轴A翻转。

若要别下滑，只需满脚99.347.0tan1=≤-θ若要别翻转，取整体为研究对象，

由∑=0)(FMA

得0)]3

31(sin[cos23N≥+-=θθPPFA

解得37.323

33

tan

1

=+≤-θ故平衡时歪面倾角的最大值为37.32=θ2、平衡时圆盘O1与O2之间铰链C沿圆盘公切线方向的约束力与倾角θ的关系取整体为研究对象由

∑=0xF得

θsin3SSPFFBA=+

再分不取圆盘O1、O2和O3为对象分不由

0)(,0)(ttS1=--=∑DCAOFFFrFM

0)(,0)(ttS2=+'-=∑ECBOFFFrFM

0)(,0)(tt3='-'=∑DEOFFrFM

联立解之得

θsin2

3

tPFC=

n

B

C

F'

FnE

F'tE'nD

A

NB

x

y

B

x

y

二解：1、相对轨迹

由刚体平面运动理论知aC和aD的方向如图所示。假如盘上与动点M重合点为加速度瞬心，则aC与直线CM和aD与直线DM的夹角应相等，均为θ，且

2

tanωαθ=

又DCaa⊥，故DMCM⊥。

由此讲明不管角速度ω和角加速度α取何值，加速度瞬心必位于以CD=r为直径的圆周上，即动点M的相对轨迹是以CD=r为直径的圆弧，相对轨迹方程为

4

)2(2

22

rryx=-+

相对运动方程

因为αraC=（纯滚动），在t时间tαω=，又轮C上与动点M重合点的加速度为零，因此

4

24

424

21t

rt

raCMC

αααα

ω

α+=

+=

+=

而4

22

4

2

24

24

2

1os,11sint

tct

ααω

αωθαω

ααθ+=

+=

+=+=

故相对运动方程为

4

24221sin,1costr

CMyttrCMxαθααθ+=?=+=?=

2、相对速度的大小

对前面所得相对运动方程求导得

2

423

224242)

1(4dd,)1()1(2ddttrtyvtttrtxvyxααααα+-==+-==相对速度的大小

124

22

2t

t

rvvvyxαα+=

+=

三、解：1、圆盘的角加速度

思考质点A运动到距盘心O为r处，如图（a）所示，此刻圆盘的角速度为ω，

质点A相对圆盘的速度为ωrvt

r

r

v===er,dd，由系统机械能守恒和对转轴z的动量矩守恒，有

2

a2202

02

121)4(21mvJmrJzz+=+ωω，ωω)()4(XXXmrJmrJzz+=+将202mrJz=和22

22arrv+==ω代入得

)(21

892222XXX20r

rmmrmr++=ωωω(A))2(4

9XXX2

rrmmr+=ωω(B)将0rr=代入式(A)和(B)得当质点A运动到盘沿B时圆盘的角速度

04

3ωω=

质点M的速度和相对速度

00r00a4

3

,423ωωrrvrv===

对式（B）求导得r

rmrrmωα2)2(0220++=将0rr=时，04

3

ωω=和00r

43

ωrrv==代入上式解得当质点A运动到盘沿B时，圆盘的角加速度

208

3ωα-=负号表示与ω转向相反。

圆盘作用于质点A的水平力大小

如图（c）所示，当质点A运动到盘沿B时，由点的合成运动理论，质点A的绝对加速度为科氏加速度与牵连切向加速度的矢量和

teCaaaa-=

c)

(

将2000te200rC8

3,892ωαωωrrarva===

=代入上式得2

00t

eCa4

3ωraaa=

-=由质点动力学基本方程得圆盘作用于质点A的水平力大小为

2

00aN4

3ωmrmaF==

2、力偶矩M与质点A相对圆盘位置r之间的关系如图(d)所示，用动量矩定理

0022)[(dd

ddωωr

mrmrJt

tLMzO=+==(C)再列出相对运动微分方程

20Ie22dt

dωmrFrm==令t

rr

vddr==，则上式可改写为dd22

02rrvω=积分并思考到初始条件得)4

(2

02

20

2r

2

rrvr

-==ω(D)代入式（C）得)4

(22

02

20

rrmrM-=ω

质点A运动到圆盘边沿B所需要的时刻由式（D）得

)4

(dd202

0rrtrr-==ω

解此微分方程并思考到初始条件得

trrrrr02

20

20

0)4

(dω=-

?

002

2

20

317.1)32ln(1])4(ln[1

ωωω=+=-

+=

rrrrrt

d)

(

四、解：

=

当F处于最左端时，压杆的轴力最大，

五、解：1）使用叠加原理

在均布载荷q作用时：向下

在钢索预紧力作用时：向上

（拉力）8分

绝对值,6分2）别能

在钢索预紧力作用时：向下；

即预紧力仍然使C截面挠度向下，无法向上；而q的作用，C的挠度向下。6分

六、解：1）在杆2和杆4顶端力作用下：每根杆上端铰接处浮现切向力

在杆3顶端的力作用下：设每杆均受压

平衡方程