数值分析复习提要(6-1)

/提纲

1、高斯消去法、全选主元消去法、列选主元消去法、LU分解、对称矩阵的分解，对称正定矩阵的分解，三对角阵的追赶法。ﻫ2、向量空间距离的概念（向量范数、矩阵范数)、谱半径ﻫ3、解线性方程组的迭代方法:Ｊacｏbi迭代、Gauss-Sｅidｅl迭代方法,及其收敛性

４、求最大(小）特征值的幂法与反幂法要点ﻫ１、对于线性方程组ﻫ

如果的所有顺序主子式，则高斯消去法可以完成。其过程如下ﻫ将方程组的第一行乘加到第，消去中除了第一行之外的第一列元素,得到

其中ﻫﻫ得到一个等价的方程组ﻫ将方程组的第二行乘加到第,消去中除了第一、二行之外的第二列元素，得到

ﻫ其中

依此类推,可以得到一般的表达式ﻫﻫ如果只满足,那么就得在消去之前调整元素的大小，将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。即要保证,这样得到的方法称为全选主元素方法，为了减小选择主元过程的运算量,只保证，这样得到的方法称为列选主元方法。

２、三角分解,设为阶矩阵，如果的顺序主子式,则可唯一分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积,且这种分解是唯一的。即ﻫ

其中ﻫ

ﻫ于是原来的方程组可以写成ﻫﻫ令，则求解原方程组可分两步完成，首先由求出,这只要

ﻫ再从，求出，这只要ﻫ

３、对称正定矩阵的三解分解（也称Cｈolｅｓky分解）如果为阶对称正定矩阵,则存在一个实的非奇异下三角阵使，当限定的对角元素为正时,这种分解是唯一的.即ﻫﻫ其中。于是解线性方程组可以能过以下三个步骤完成ﻫ（1）计算,这只要对，计算ﻫ

(2)令，对求出，这只要

ﻫ（3）对,求出，这只要ﻫﻫ４、为了避免上面计算时的开方运算，可以将原来的算法改成

，这种分解对于所有的对称矩阵都是成立的。显然对于对称正定矩阵也是成立的。其过程可以写为

其中ﻫ

方程组求解过程：

ﻫ5、追赶法，如果方程组中的是一个三对角阵,即ﻫ

则它的ＬU分解为ﻫ

其中

原方程的求解过程为:令,ﻫﻫ注:这样的方程有唯一解,且数值稳定的一个充分条件是是对角占优的。

６、向量、矩阵的范数

（１）向量的－范数:

（2)向量的１－范数：

（3）向量的2—范数:

(4）矩阵的算子范数：

(5）矩阵的－范数：，也称行和范数

（６)矩阵的１－范数:，也称列和范数ﻫ(７）矩阵的２—范数：，为矩阵的最大特征值。

７、谱半径:;注意谱半径一些重要结论：ﻫ（1)谱半径,是的任意范数的下界;

（2)若，则

（３)设，则的充分必要条件是

8、将写成等价的形式，如果则，对，做迭代

得到的向量序列在范数意义下有极限,且，即.选择不同的等价表达式可以得到不同的迭代格式。其中最简单的两种是Ｊａcobi迭代与Gaｕss—Ｓeidel迭代。ﻫ9、Jacobｉ迭代ﻫ将方程组写成

ﻫ从第ｉ个方程解出，即

ﻫ对应的迭代格式为：ﻫﻫ写成矩阵形式就有ﻫ

为了得到更直观的表达式，将写为ﻫﻫ于是ﻫ

称为Ｊａｃobi迭代矩阵，其收敛的充公必要条件是

9、Gaｕsｓ-Seidel迭代ﻫ其原理是在Jacｏbi迭代的基础上改进而来的。其分量形式可以写为ﻫ

写成矩阵形式为:

ﻫ这里的B称为Gauss—Seｉdel迭代矩阵，其收敛的充分必要条件是。ﻫ１0、验证迭代过程收敛性的两种重要手段:

因为，虽然可以验证迭代矩阵的谱半径与１的大小的关系来判断迭代过程的收敛性，但由于谱半径的计算并非一件容易的事情,这里有两个判断迭代收敛性的充分但不必要条件：ﻫ(1)若迭代矩阵的某种范数小于１,那么迭代是收敛的（注：信息与计算科学专业的学生要求掌握它的证明过程）

（2)若线性方程组系数矩阵是对角占优的,那么Jａcobｉ迭代与Gａuｓs—Seidel迭代都是收敛的。ﻫ(３）若线性方程组系数矩阵是弱对角占优，且不可约的，那么Jaｃobｉ迭代与Gausｓ-Seidｅl迭代都是收敛的。(选读）示例ﻫ１、用Ｇauss消去法、全选主元方法、列选主元方法求解方程组

ﻫ解:（１）用Gauss消去法求解

第一行乘加到第二行，第一行乘加到第三行,可以得到

ﻫ第二行乘6加到第三行，可以得到

从第3行求出，从第二行求出,从第一行求出

(2)用全选主元方法

将方程组写成矩阵方式有ﻫ

在矩阵中找到绝对值最大者，将交换到所在的位置，可得ﻫ

对应用Gauss消去过程，ﻫﻫ再做一次消去法,得

ﻫ解得ﻫ

请同学们自行演算下面两题ﻫ（1）用Gauss全选主元方法求下列方程组的解:

，参考解：

（２)用列选主元法求矩阵ﻫ

的行列式。参考答案：ﻫ２、用ＬU分解的方法求下列两个方程组的解

与ﻫ解：由于两个方程组的系数矩阵是一样的。把上面的两个线性方程组写为：ﻫﻫ其中ﻫ

作的LU分解，有ﻫ

其中

ﻫ所以

令可以求得ﻫﻫ令可以求得ﻫﻫ注：LU分解的最大的好处在于求解的方程组序列,只要做一次LU分解，然后多次回代计算即可求解。要注意掌握.ﻫ３、求解线性方程组

ﻫ解：（1)用Gaｕss消去法可以不用交换行与列,参照前面的例子,自己演算。

(２）把它写成矩阵的形式有ﻫﻫ显然它是对称的,容易计算它的三个顺序主子式ﻫﻫ所以是一个对称正定的。故可以分解为

用两个矩阵相乘比较对应元素的方法，可以求得L中的各个元素（具体过程,请同学们自己演算）：

令求得

（３）也可以分解为ﻫ容易计算

ﻫ由求得ﻫ由求得

注：在解答过程中，演算过程要体现。

４、用追赶法求解如下三对角方程组:

解:设ﻫ

由两矩阵乘积比较对应元素，可计算出两个矩阵的各个元素ﻫ

求解

ﻫ得

再求解

ﻫ得ﻫ５、证明用Ｊaｃｏbi迭代求下列方程组必收敛，并取，计算它的前５个近似解

ﻫ解：Jaｃobi迭代的矩阵为ﻫﻫ由于，故迭代收敛，前五个迭代计算结果如下：ﻫ0。2０00０。13０00.46６7ﻫ0。２１９３0.13６7０。４867

0．22４70.14250.４97６ﻫ0。2２８００．1４470.5032

0.2２96０.１459０。5058ﻫ参考真值为：０。2３110.1４７1０.5084ﻫ6、利用Gａuss－Sｅｉdeｌ迭代求解下列方程组，并讨论收敛性ﻫﻫ解：由Gauss—Ｓeiｄel迭代矩阵ﻫﻫ因为，所以G－S迭代收敛。迭代公式为

请大家取自行计算它的前五个迭代结果。并与参考真值比较。

7、考察Jacobi迭代与Ｇａusｓ—Ｓeidel迭代求解方程组

ﻫ的收敛性ﻫ解:对于此方程组，写成矩阵形式为

对于此方程组,Jaｃｏｂi迭代的迭代矩阵为

ﻫ其特征多项式为

ﻫ于是它的特征值为。故，说明Ｊacoｂi迭代不收敛。ﻫ对于此方程组的Gauss—Ｓｅideｌ迭代矩阵为

ﻫ其特征值为,故，所以G－S迭代收敛。

注：要充分理解收敛的判断条件,在求解线性方程组的时候要充分利用方程组的特征.ﻫ８、如果有线性方程组的系数矩阵为ﻫﻫ讨论用Ｊａcｏbi迭代与Ｇauss-Seidel迭代求解线性方程组的收敛性，选择收敛速度最快的一种迭代格式。ﻫ解题提示:分别求出两种迭代式的迭代矩阵,计算它们的谱半径，依据谱半径的大小判断收敛性，根据谱半径的大小，选择谱半径最小的.具体过程请同学们自己完成.

9、填空题

(1），则，，ﻫ（2)，则，

(３）设,为使可分解为，其中为对角线元素为正的下三角形矩阵，的取值范围取，则.ﻫ（4）已知方程组，则解此方程组的Jａcｏbｉ迭代法收敛。ﻫ(5）用G—S迭代法解方程组,其中为实数，方法收