必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(两课时)

1.2任角的三角函数1.2.1任意的三角函数一一、教学目标：1、知识与技能（）握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号解意的三角函数不同的定义方法）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意α的弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来掌并能初步运用公式一立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以角为自变,以比值为函数值的函.引导学生把这个定义推广到任意,通过单位圆和角的终,讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据终边所在位置不同,别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特.过去习惯于用角的终边上点的坐标“值定义这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广利引学生从自己已有认知基础出发学习三角函数它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函.这定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关.二、教学重、难点重点:任意的正弦余弦正的定（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号边同的角的同一三角函数值相等（公式一.难点:任意的正弦余弦正的定（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号角函数线的正确理.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法利单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用教学用具:投影机、三角板、圆、计算器四、教学设想第一课时任角的三角函数（）【创设情境】y提问：锐角O的弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

r

（ab）数你用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数?OM如图,设锐角的顶点与原点重,边与x轴正半轴重合那1

么它终边在一象.在的终上任取一点(a,)

,它原点的距离

r2

.过

P

作

a的终边

yx

轴的垂线,垂足

M

,则段

OM

的长度为

,线

P(x,y)段

MP

的长度为

b则sin

MPbOPr

;

OMaMPtanOPrOMa

.

O

x思考：对于确定的角，这三个值是否会随点P

在

的终边上的位置的改变而改变呢？显然我可以将点取在使线段

P

的长

r

的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin

MPOMMP;cosOPOPOMa

.思考：上述锐角的三角函数可以用终边上一点的坐标表示.那么角的念推广以后们该如何对初中的三角数的定义进行修改利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函.【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角数值的求法,我们如何求解任意角的三角函数值呢显然,我们只需在角的终边上找一个,这个点到原点的距离为1,然就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所,我在此引入单位圆的定义:在角坐标系中我们以原点为心以单位长度为半径的.2.思考如利用单位圆定义任意角的三角函数的定?如图,设是一个任意角它终边与单位圆交于点

(x,)

,那么(1)

叫做

的正弦sine),记

sin

,即

y

；（）x叫余(cossine),记做,即

；（）叫的正切tangent),做

tan

即tan

yx

(

.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点

(x,)

，从而就必然能够最终算出三角函数.3.思考如果知道角终边上一点,这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢前面我们已经知道三角函数的与点

P

在终边上的位置无关，仅与角的大小有关我们只需计算点到原点的距离

r

,那么

yx2y2

,

cos

xx2y2

,tan

yx

.所以，三角函数是以为自变,单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数因角的集合与实数集之可以建立一一对应关系三角函数也可以看成实数为自2

变量的函数4.例题讲评例1.求

的正弦、余弦和正切.例2．已知角的终边过点P0

，求角的正弦、余弦和正切.教材给出这两个例题是助理解任意角的三角函数定我也可以尝试其他方:如例2:设

xy

则

r

(2

.于是

sin

y4x3y4,cos,rr5x

.5.巩固练习第1,2,3题176.探究请据任意角的三角函数定,将正弦弦和正切函数的定义域填入下表将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：定义域三角函数

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限角度制

弧度制tan

7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组

sin{

成立时，角

为第三象限.8.思考根三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关?显然:终边同的角的同一三角函数值相.有公式:sin(

(其中

kZ

)tan(k9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符,然后用计算器验:(1)cos250(2)

4

;(3)

)

;(4)

tan例5.求下列三角函数:(1)

sin1480'

;(2)

4

;(3)

tan()6利用公式一,可把求任意角的三角函数值转为求

到

(或

到

)角三3

角函数值另外以直接利用计算器求三角函数,但要注意角度制的问题.10.巩固练习11.学习小结

P第4,5,6,7题(1)本章的三角函数定义与初中的定义有何异?(2)你能准确判断三角函数值在象限内的符号?(3)请写出各三角函数的定义域(4)终边相同的角的同一三角函值有什么关?你在解题时会准确熟练应用公式一?五、评价设计1．作业：习题1.2A组1,2题．2较角概念推广以,三角函数定义的变思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用另,关于三角函数值在各象的符号要熟练掌,知道推导方法.第二课时任角的三角函数（）【复习回顾】1、三函数的定义；2、三函数在各象限角的符号；3、三函数在轴上角的值；4、诱公式（一边同角的同一三角函数的值相等；5、三函数的定义域.要求：记忆并出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，是一个数量概念（弧度数为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画以标点为圆心，以单位长度为半画一个圆，这个圆就叫做单位意单长度不一定是1米或1当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个

y

角的终边交点

(x,)

，过点作PMx轴轴点M，

则请你观察根据三角函数的定义：

|ysin

|

；

OMA

x|OMx|随着

在第一象限内转动，

OM

是否也跟着变化？3．思考为了去掉上述等中的绝对值符号，能否给线MP

、

OM

规定一个适当的方向，使它们的取值与点的标致？（）能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角正切值吗？以

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角M为始点、为终点，规定：

的终边不在坐标轴时4

当线段OM与轴向时，OM的向为正向，且有正值；线段M与轴向时，OM的向为负向，且有正值其中P点的横坐标.这样无论那种情况都OMx

同理,当角

的终边不在

x

轴上时以

M

为始点、

P

为终点，规定：当线段MP与

轴同向时，MP的向为正向，且有值当线段MP与y

轴反向时，

MP

的方向为负向，且有正值

；其中

为

P

点的横坐标这样,无论那种情况有4.像

MP、

MPy这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段directlinesegment）T

5.如何用有向线段来表示角正切?如上图,过A作单位圆的切线,这切线必然平行于设它与终边交于点,请根据正切函数的定义与相似角形的知,借助有向线段、AT,我们有tan

AT

yx我们把这三条与单位圆有关的有向线段

MP、OM、

,分别叫做角

的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数.6.探究）当角的终边在第、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（）终边与

轴或

轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知

4

2

，试比较

,tan

,sin

,cos

的大小处理:师生共同分析