定积分典型例题例答案

定分型题20例案例求lim

(n

n

)

．分析将类问题转化为定积分要是确定被积函数和积分上下限题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解

将区间[0,1]n等每个小区间长为i

1后nnn

1的一个因子乘n入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即lim

(n

n

)

=(

)=

．例

xdx解法1由积分的几何意义知，

x

dx等上半圆周(x2

y

2

(

y

)．xdx=与轴围成的图形的面积．故解法2本也可直接用换元法求解．令x=sint（

dx

1sin

ttdt=

sin

tcostdt=

cos

tdt=

2例（）若f)

e

则f

）f()

xf(t)，求f

．

分析这求变限函数导数的问，利用下面的公式即可解

（1）f

ddx=2xe

(f(t)dtf[v(x)]()；

[()]u

．（由于在被积函数中不积分变量，故可提到积分号外即f(x

()dt，则可得f

=

()(x)例设f(x)连，且

ft)，f=_________解对式

ft)两关于x求得f(x

3

2

O(_∩

故f(

1，令3得x3，以．x例函F(x(3

1t

)dt(x单调递减开区间．解

F)

1x

，令得

1x

，之得

11，即(0,)为所求．99例求x))arctan的极值点．解由意先求驻点．于是如下：

=(1xx．f

=，，x0．表

(

f

-0＋

－故x为f)的极大值点，x0为小值点．例已两曲线yf(与y()在(0,0)处切线相同，其中g)

dt[1,1]，试求该切线的方程并求极限

lim()分析

两曲线y(与y()在(0,处的切线相同，隐含条件f(0)g，f

解

．由已知条件得f(0)g(0)

dt，且由两曲线在处线斜率相同知f

)x

0

．故所求切线方程为．3lim()

3f)fn3n

f．例求lim

tdtt(tsint)

；分析该限属于

00

型未定式，可用洛必达法则．解

tdtt(tsint)

=lim

2x)(x)

=x

()2

=x0

xO(_∩

dx＝)xdx＝[]]＝．dx＝)xdx＝[]]＝．注

==．xx此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例

试求正数a与，等式lim

1x

ta

成．0分析易该极限属于型未式，可用洛必达法则．0

解

lim

t

dt=lim

cos

=

1a

1x

lim

xcosx

，由此可知必有lim(1x)得b．由x0得a．a，b为所求．

lim

x，cos例10设f(x)

dt，x)x34，则当x0时f()是g(x)的A等价无穷小．B．同阶但非等的无穷小．．高阶无穷小．D低阶无穷小．f(x)sin(sin解法1由limx)xlimx02lim．x3故f()是(x)同但非等价的无穷小．选B

)解法2将t

展成t

的幂级数，再逐项积分，得到f(

[

3!

t)

1]sin

x

，则f()(x

1sinx(xx

)

lim

1

．例11计

dx．分析被函数含有绝对值符号应先去掉绝对值符号然后再积分．解注

5222在使用牛顿－莱布尼兹公式时应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如

1dx]x6

1则错误的错误的原因则是由于被积函数在x处间断且在被xO(_∩

积区间内无.例12设f(x)是连续函数，且fxx

f(tdt，则fx)________．分析本只需要注意到定积分

()是数（,为数解

因f()连，fx)必积，从而(t)是数，记(tdt则f(x)x且

()．所以从而

1[]，即213a，以f(x)．4例13计

1

．分析由积分区间关于原点对，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解

1

2x1

dx

11

dx．由于

1

是偶函数，而x1

是奇函数，有

x

dx,于

1

1

=

(11

=

1dx由定积分的几何意义可知

故例14计

dx

2dx11tf()dt，中f(x)连．

4

分析要积分上限函数的导数被积函数中含有因不能直接求导必须先换元使被积函数中不含x，后再求导．解由

tf)dt=

f(x

)dt

．故令

，t时

；当时而dt

，以

tf

)dt=

f()()

f()，故dx

tf(

dt=

1[dx

fu)]

=

f)=xf(x

2)．O(_∩

[ln(1)]=111[ln(1)]=111错误解答

dx

tf(

dt

2

2

)(0)．错解分析这错误地使用了变函数的求导公式，公式

ddx

f(t)dtf()中要求被积函数f()中含有变限函数的自变量x，而f(

2

2

)含，此不能直接求导，而应先换元．例15计

xsinxdx．分析被函数中出现幂函数与角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解

xin

x(cxo)]

)

6

3xdx．26例16计

x)(3x

dx分析被函数中出现对数函数情形，可考虑采用分部积分法．解

x)(3

dx=

11)d)3(3))

dxln2(dx412ln3．4例17计

sinxdx．分析被函数中出现指数函数三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解

由于

sinxde

x]

cos

cos，（）而

xdx

cos

cosx]

)

sinxdx，（）将（2）式代入（）式可得

sinxdx,

故

1xdx(e2

．例18计O(_∩

xxdx．

221(xdsin221(xdsint=lim()分析被函数中出现反三角函与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解

xarcsin

arcsinxd()x20

(arcsinx4

．（）令xsint

，则

sint1sint

dsin

tt

tdt

sin

1costtsintdt[]．（）244将（2）式代入（）式中得

xarcsin

8

．例19设f()[0,

上有二阶连续导数，

且

[f(xf

2求

．分析被函数中含有抽象函数导数形式，可考虑用分部积分法求解．解

由于

[f(f

xd