九年数学下册第二十六章二次函数.2二次函数的图象与性质阶段强化专训新版华东师大版03012123

/10/10/专训1二次函数的图象与系数的关系名师点金：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．a与图象的关系1．如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c(第1题)(第3题)2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．b与图象的关系3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是()A．－5B．0C．3D．44．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)c与图象的关系5．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是()6．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示，则c＝________．(第6题)(第7题)a，b与图象的关系7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法中不正确的是()A．a＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a8．如果抛物线y＝eq\f(m,2)x2＋(n＋2)x－5的对称轴是直线x＝－eq\f(3,2)，则(3m－2n)2－eq\f(2n＋4,3m)的值为________．a，c与图象的关系9．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图象如图所示，试求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．(第9题)a，b，c与图象的关系10．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是()(第11题)11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，下列结论中正确的是()A．abc＞0B．a＋c＝0C．b＝2aD．4a＋c＝2b专训2求二次函数表达式的常见类型名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以给解题过程带来简便．由函数的基本形式求表达式eq\a\vs4\al(方法1：)利用一般式求二次函数表达式1．已知一个二次函数的图象经过点A(1，0)，点B(0，6)和点C(4，6)，则这个二次函数的表达式为____________________．2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为______________．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c对应的函数表达式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求OM＋AM的最小值．(第3题)eq\a\vs4\al(方法2：)利用顶点式求二次函数表达式4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋65．已知某二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．eq\a\vs4\al(方法3：)利用交点式求二次函数表达式6．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．eq\a\vs4\al(方法4：)利用平移法求二次函数表达式7．(中考·绥化)把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．eq\a\vs4\al(方法5：)利用对称轴法求二次函数表达式(第9题)9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．10．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－eq\f(1,2).(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．(第10题)eq\a\vs4\al(方法6：)灵活运用方法求二次函数的表达式11．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．由函数图象中的信息求表达式12．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()(第12题)A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋213．(中考·南京)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？(第13题)由表格信息求表达式14．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋815．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…则该二次函数的表达式为______________．几何应用中求二次函数的表达式16．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．(第16题)实际问题中求二次函数表达式17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm，花园的面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第17题)答案1．A点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2的图象中，|a|越大，图象的开口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故选A.2．y＝nx2；y＝nx23．C点拨：∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象关于y轴对称，∴b－3＝0，b＝3.4．＝；＜；＞5.D6.17.D8．15点拨：由题意得－eq\f(n＋2,m)＝－eq\f(3,2)，∴3m－2n＝4，3m＝2n＋4，∴(3m－2n)2－eq\f(2n＋4,3m)＝42－1＝15.9．解：由图象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m＞0，,n＋5＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜3，,n＜－5.))∴m－3＜0，m＋n＜－2.∴eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3.10．D11．D点拨：由二次函数图象知a＞0，c＜0，由对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，得－eq\f(b,2a)＝－eq\f(1,2)，∴b＝a＞0，∴abc＜0，∴A选项不正确；∵抛物线经过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b＜0，故B选项不正确；由b＝a知C选项不正确；由对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，且二次函数图象与x轴一个交点为(1，0)，知另一交点为(－2，0)，∴4a－2b＋c＝0，∴4a＋c＝2b，故D选项正确．1．y＝2x2－8x＋62．y＝x2－2x－13．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝－4，,c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝0.))∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋x.(2)由y＝－eq\f(1,2)x2＋x＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(1,2)，可得抛物线的对称轴为直线x＝1，并且对称轴垂直平分线段OB，连接AB，交直线x＝1于M点，∴OM＝BM.∴OM＋AM＝BM＋AM＝AB，即为OM＋AM的最小值．过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB＝eq\r(AN2＋BN2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，因此OM＋AM的最小值为4eq\r(2).4．D5．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x，2)，则2＝x＋1，所以x＝1，所以图象的顶点为(1，2)．设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a＝－2.所以该函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.6．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.又∵BC＝AB，∴BC＝5.在Rt△BCO中，OC＝eq\r(BC2－OB2)＝eq\r(52－42)＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝－eq\f(3,4)；将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝eq\f(3,4).∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)或y＝eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)，即y＝－eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x＋3或y＝eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x－3.点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．7．y＝2x2＋4x8．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原图象的顶点为(－1，－1)，新图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为eq\r(13).9．y＝－x2＋2x＋310．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)a＋k＝0，,\f(1,4)a＋k＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,k＝\f(25,8).))∴y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)，即y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3.(2)由y＝0，得－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O处时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝3eq\r(2)，∴BM＝3eq\r(2)，∴M点坐标为(3eq\r(2)－3，0)．综上所述，点M坐标为(0，0)或(3eq\r(2)－3，0)．点拨：本题求点M坐标时运用了分类讨论思想．11．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝4，,a＋b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,9)，,b＝－\f(16,9)，,c＝\f(20,9).))∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法二：设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－eq\f(4,9).∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(4,9)(x＋2)2＋4，即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－eq\f(4,9).∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(4,9)(x－1)(x＋5)，即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．12．D13．解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x＋b1.因为y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝60，,90k1＋b1＝42.))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－0.2，,b1＝60.))这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2.因为y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝120，,130k2＋b2＝42.))解方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－0.6，,b2＝120.))这个一次函