第七章假设检验

第七章假设检验一、教材说明本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。1、本章的教学目的与要求（1）使学生了解假设检验的基本概念；（2）使学生了解假设检验的基本思想；（3）使学生掌握假设检验的基本步骤；（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。2、本章的重点与难点本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。二、教学内容下面主要分3节来讲解本章的主要内容。假设检验的基本概念对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。.引例我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法.例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时,其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为（千克）:0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,问机器是否正常?分析：用N和o分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差，则X~N（从,0.0152）,其中N未知。问题：已知总体XN（N,o2）,且o=o=0.015,根据样本值判断以=0.5还是0Nw0.5。提出两个对立假设H:从二从=0.5（原假设或零假设）和H:NWN（备择假设）.TOC\o"1-5"\h\z00 10再利用已知样本作出判断是接受假设H（拒绝假设H）,还是拒绝假设H（接受假设01 0H）.如果作出的判断是接受H,则从二从即认为机器工作是正常的，否则，认为是不1 00精选文档精选文档#XX-u，—~N(0,1)o/%：n0因为X是N的无偏估计量，所以，若H为真，则X-^不应太大衡量X-u0X-衡量X-u0的大小可归结为衡量——与的大小。于是可以选定一个适当的正数k,当观察o/v'n0X-u值X满足——与X-u值X满足——与>k时，

o/”0拒绝假设H;反之，当观察值X满足一。＜k时，接受假设0 o/、,nX-uH。因为当H为真时，U=——鼠~N(0,1)，由标准正态分布分位点的定义得:0 0 o/、：n0,lx-UI ,『，入X—UI ,r、__.k=u,当)一@>u 时，拒绝H,一触<u时，接受H.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a/2o/Jn a/2 0o八n a12 00 0假设检验过程如下:在实例中,⑴若取定a=0.05,则k=u=u=1.96,我们有a/2 0.025IX-uIP(IUI>1.96)=P(——阡>1.96)=0.05.o17n0又已知n=9,o°二又已知n=9,o°二0.015,由样本算得x=0.511,即有Iu|=——=2.2>1.96,

o/vn0认为包装机工作不正常.于是根据小概率事件实际不可能性原理，拒绝假设H0,认为包装机工作不正常.⑵若取定a=0.01,则U⑵若取定a=0.01,则Uk=u=u=2.58,a/2 0.005IuI=—=2.2<2.58,于是接o/nn0受假设Ho，认为包装机工作正常.注:上述a称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平a有密切的关系.所以，必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平a下作出的.2.假设检验的基本思想及推理方法1)假设检验基本思想在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为H，原假设如0果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为H。1假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的

样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。假设检验可能犯的两类错误：第一类错误（弃真错误）：即假设H为真而被拒绝，记为a，即0口拒绝HIH为真｝=a。00第二类错误（存伪错误）：假设H不真而被接受，记为P，即0口接受HIH不真｝=P。00③当样本容量n一定时，a,P不可能同时减少，在实际工作中总是控制a适当的小。2）假设检验的程序对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即：⑴根据题意提出零假设H（或相应备选假设H）。01⑵构造样本统计量并确定其分布；⑶给定显著性水平a，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域；⑷由样本观测值计算出统计量的值；⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝H0，若统计量的值落入接受域则接受H0。3）假设检验的主要方法U检验法、t检验法、殍检验法、F检验法。例2已知某产品使用寿命X服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时。则可用（ ）①t--检验法 ②X2一检验法③Z--检验法 ④F--检验法解选①例3假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（）①都增大 ②都减少③不变 ④一个增大，一个减少解选①TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"例4正态总体X~NG,o2）X,X,A,X为样本，X二1Zx.,假设检验12 n n ii=1Z（一x）H:a2«o2Q为己知数），在显著性水平a下，则当X2=—J （）时拒绝H0 0 0 a2 00①>X2（n一1）; ②<X2（n-1）\o"CurrentDocument"a2 1-a2

③<X2(n一1) ④>X2(n一1)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a aTT (n-1)S*2 (n-1)S*2 (n-1)S*2解由于当H成立时,^——-一<-——-一,而^——-- X2(n-1),故o O2 O2 O20P((n-1)S*2>X2(n-1))<P((n-1)S*2>X2(n-1))=a，于是选④\o"CurrentDocument"Q2 a Q2 a0§7.2单个正态总体的假设检验⑴X:N(,2),2 H=0 0U检验法：①H：从二口 （H：从。口或从〉从或曰<从）0 0 1 0 0 0X-U②统计量U=一里 N(0,1)(H成立时②统计量U=Q八:n 00u.a2的值③给出a，P{IU\>uu.a2的值2④由样本值（X，X， ，X）计算TOC\o"1-5"\h\z1 2 n⑤判断：若Iul>u，则拒绝a/2（这是对双侧检验提出的U检验法步骤，若是单侧可仿比）⑵X〜N（,2）,2 H=00t检验法：①H：从二口 （H：从。口或口>从或曰<从）0 0 1 0 0 0X—U②T= 吐t（n-1）（H成立时）。S*/、;：n 0③给出a，P{|T|>t（n-1）}=a，查分布表定t（n-1）.a a22④由样本值计算T的值.⑤判断：若［t|>t（n-1）,则拒绝H，否则接受H（若是单侧可查表定t（n-1）,a 0 0 a22同样得出拒绝域）.（3）X N（从,Q2）,Q2未知，检验假设H：Q2=Q20 0H：Q2=Q2(：Q2wQ2)0 0 02L( )2X2=(n—DS2=4 X2(n—1)(H成立时)。\o"CurrentDocument"O2 O2 000a\o"CurrentDocument"③给出aP{X2<X2(n-1)}=P{X2>X2(n-1)}二天，查X2分布表定X2(n-1)a a 2 a1—22 2及X2(n—1).1-a2④由样本值计算X2的值⑥判断：若X2>X2(n-1)或X2<X2(n-1)，则拒绝H，反之则接受H.a a 0 01-22(一)已知方差例5设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差o=150，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(a=0.05)？解(1)提出原假设：H0：〃=1600,H1：〃，1600；X-日⑵选取统计量U=——3o4n0⑶对于给定的显著性水平a=0.05，查标准正态分布表u=u=1.96a0.0252(4)计算统计量观察值工-N1637-1600u= 金= . x1.258o0nn 150/726⑸结论|u|=1.258<u=1.96接受原假设H01-a2即不能否定这批产品该项指标为1600。(二)未知方差，检验H:从=N00例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560(kg/cm2)的正态分布。现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度(单位：kg/cm2)为：10512106231066810554107761070710557105811066610670⑴对显著性水平a=0.05,问这批产品的抗拉强度有无显著变化？⑵对显著性水平a=0.01,结果如何？(已知t (9)=1.833,t (9)=2.262,t (9)=2.821,t (9)=3.250)0.05 0.025 0.01 0.005

解 ①假设检验H:从=10560,对H：从。1056001②方差未知时，检验数学期望选用统计量T=X一%nil,在H成立时，T~T(n—1)其中S*2=-L-£(x—x)2S* 0 n—1ii=1③对给定样本值，计算得x=1£x=—(10152+10623+A+10670)=10631.4ni10i=11(V 一、1( )59044s*2= 乙x2—nx2=-(105122++106702—10.10631.42)=——n—1(i)9 9i=110631.4—10560 =2.78859044x10631.4—10560 =2.78859044所以，统计量的样本值t=—Ls*in这里\t④当显著性水平a=0。5时,拒绝域为T2t0.025(9)=2.262这里\t=2.788>2.262,落入拒绝域，所以在a=0.05不应接受H,即认为抗拉强度0有显著变化。当显著性水平a=0.01时，拒绝域为।T|>t(9)=3.250，即认为这批产品的抗拉强度无显0.005著性变化。例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000小时，现从这批元件中随机抽取25只，测得平均寿命X=980小时标准差s=65小时试在显著水平a=0.05下，确定这批元件是否合格(附表t(24)=1.138,t(24)=1.171,t(24)=2.064)TOC\o"1-5"\h\z0.90 0.95 0.975分析元件是否合格，应通过寿命低于1000小时来判断(>1000小时都合格)，这里对总体均值的单测检验，02未知，用t—检验法解①提出检验假设H：U=U=1000,H：U<U=100000 10X-u②选取统计量T=——，当H成立时T~t(n—1)S* 0个n③由样本观测值，计算统计量所取的值。这里x=980,s*=65得t-980110°0=—1.53865至④对显著水平a=0.05拒绝域(临界域)t<-1(n—1)=—t(24)=—1.7111-a 0.95因为t>-1(24)=-1.711,未落入拒绝域，应接受H，否定H:即认为这批元0.95 0 1件合格。(三)未知均值，检验H0:o2=o2例5某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布NQ,82),某日随机抽取了10根进行折断力检验，测得平均折断力为57.5斤，样本方差为68.16,在a=0.05下，检验H0:o2=82对H:o2牛82,92 (9)=19.023,%2 (9)=2.7)1 0.975 0.025nS2解用/2-检验法，检验统计量为%2=一o20对n=10,a=0.05拒绝域为：％2>%2 (n-1)=%2 (9)=19.023或1-a2 0.0975%2<X2(n-1)=%2 (9)=2.7a2 0.097510-68.16有样本观察值，计算得%2= =10.6582因为%2=10.6542(9)/26))=6.7,19.023)所以接受H。0.025 0.975 0例6某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0,005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布，问在水平a=0.05下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗？(/2(8)=15.507,%2(8)=17.5)0.95 0.975分析凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题，均属于方差的单侧检验问题，其假设的提出有两种方式：有的书提出原假设H:o2=o2和备择假设H:o20o2或o2兀92)H与H是对立假设)有的书只提出j0 (.? 0)1 (注意原假设含有等原假设H：o2>o2或o2<o2)00 0号)，本教材按前者讲述。解用/2--检验法①检验假设H：H:o2=o2=0.0052，H:o26o2=0.005200 0 1 0（n-1.2②选用统计量X2= ,当H成立时，％2~X2Vn—1人TOC\o"1-5"\h\zO2 0（9—1）*0.0072③由样本观察值，计算统计量所取值为X2= =15.680.0052④对a=0.05，由已知X2。95（8）=15,507，拒绝域X2^X2,9（n—1）=X2nQ5（8）=15.507。0.95 1—a 0.95这里X2=15.68>15,507故拒绝H，接受H:即认为这批导线的标准差显著的偏大。0 1§7.3两个正态总体的假设检验（1）o2，O2已知，检验假设H：从=从1 2 0 1 2U检验法：①H:从=从（：从w从）0 1 2 1 2?一Y②U=. N（0,1）,（H成立时）。O2O2 0：—1■+nnn1 2③给出a，查正态表定d2④由样本值（x，x， ，x），（，y， ，y）计算的值TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n⑤作出判断：若u>u则拒绝H，反之接受H.a 0 02（2）O2，o2未知，但o=o2检验假设H:从=从1 2 0 1 2t检验法：①H：从二口（H：从二日或从〉从或曰<从）0 1 2 112 1 2 1 2e X—Y :nn(n+n一2)②T= 一•I -1 2 t(n+n—2)(H成立时)。( 1 ；( 1— n+n 12 01 1 2③④⑤同前(3)口,口，未知，检验假设H：o=o(H:o2wo2)12 0 1 1 1 2F检验法：①H：o=o(H:o2wo2)0 1 1 2②F=S*2/S*2 F(n—1,n—1)(H成立时)12 1 2 0

(一)已知O2及O2，检验假设H:N=从1 2 01 2例1由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X〜N(日，7.5),丫〜N(日，2.6)。现从两12矿中各取几个试件，分析其含灰率为：甲矿：24.320.823.721.317.4(%)乙矿：18.216.920.216.7(%)问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望N和N有无显著性水平差异？(显著性水平12a=0.10).(Z=1.28,Z=1.64)TOC\o"1-5"\h\z0.90 0.95解已知O2及o2，假设检验H:从=从，用Z〜检验法。1 2 01 2①提出零假设H:N=从，对H:N。从01 2 1 1 2x一v一(口-u)②选取统计量Z=—J\产1r，当H成立时，Z〜N(0.1)0,o2o2 0，一U+—2-\nn1 1 2③对显著性水平a=0.10,由Z=1.64=1.64,确定临界域|Z|=Z=1.640.95 a1一2④计算统计量Z的观察值。X=21.5,Y=18于是Z二七vJZ二七vJo2 o2,—U+—2.l'n n1 1 2,7.52.6' + TOC\o"1-5"\h\z\5 4由于|Z|=2.39>1.64,故拒绝H0，即可以认为U1和U2有显著性差异。(二)未知，但o2=o2，假设检验H:U=U1 2 01 2例2某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率(%)如下：处理前x：0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17处理后y：0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12设含脂率分别服从正态分布N(U,o2),N(U,o2)，对显著性水平a=0.05,试问：处理前11 22后的平均含脂率有无显著性差异？/ (13)=2.160,t(14)=2.145)0.975 0.975分析首先需要F-检验法验证二总体方差是否有显著性差异，在无显著性差异(视为相等)的条件下，然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。解(1)利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。①检验假设H:o2=o2,H:o2丰o01 2 11 2

S2—i—O2②选用统计量F=-，，当H:成立时，F〜F(n-1,n-1)S2 0 1 2—2-O221F(6,7)1——=0.1751F(6,7)1——=0.1755.70F(6,7)=5.12,F(6,7)=a a1222④计算统计量F的样本观察值TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"X=—EX=0.24,Y=—2Y=0.13ni ni1i=1 2i=1S2=-1-£(X-X)2=7.58*10-3n一1i1 i=1S2=-1-E(Y-Y)2=3.9*10-3\o"CurrentDocument"n-1 i2 i=1S2\o"CurrentDocument"故F=#=1.93e(0.175,5.12)，接受H，认为二总体方差无显著性差异。S2 02(2)利用T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。①检验假设H:N=N,H:N。N01 212 2②选取统计量T=(%-力一⑴-n) 1。’1 1S+—T=(%-力一⑴-n) 1。’1 1S+—w\mn〜t(m+n-2)-四2)-,(n-1)S2+(n-1)S2V

112 2:nn(n+n-2),12——12 ，n+n, 1 2H0成立时，T〜(4+n2-2)③对给定显著性水平a=0.05,得拒绝域|T户10975a3)=2.160④计算统计量T的观测值X-Y 'nn(n+n-2)t= == ，.一-一<(n-1)S2+(n)S211 1 2-120.24-0.13 7*8*13 0.11士= = = *6.967<6*7,5*10-3+7*3.9*10-3、：7+8 0.2692.849由于心2.849>t0,975(13)=2.160。故拒绝H0,接受H1。即处理后含脂率有显著差异。(三)均值未知，检验假设H:O2=o201 2例3某一橡胶配方中，原用氧化锌5g,现减为1g，若分别用两种配方做一批实验，5g配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是S1=63.86；1g配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是S2=236.8。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有2无显著差异？(a=0.10)(F(8,9)=3.23,F(9,8)=3.39)0.95 0.95分析两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异，是通过样本值去判断o2=o2是否12成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验，5g配方和1g配方记为X~N(从,o2),Y~N(从,o2)TOC\o"1-5"\h\z11 22解①检验假设H：o2=o2,H:o2wo201 211 2S2—i-o2 S2②选取统计量F=-，，当H成立时F=针〜F(n-1,n-1)S2 0 S2 1 2—2- 2o2211③对显著性水平a=0.10由题设F(8,9)=3.23,F(8,9)= =—-=0.295。0.95 0.05F(9,8)3.390.95故拒绝域为b,0.295]ub.23,y]④计算统计量F的样本观察值F=S2F=S2S2263.86236.8=0.2697由于F=0.2697e(0.295,3.23)由于F=0.2697e(0.295,3.23)，即F落入拒绝域，应拒绝H，接受H，01即在o=0.10下认为两个总体的方差是不等的。注：若将显著性水平改为a=0.02,此时F(8,9)=F(8,9)=5.47,F(9,8)=F(9,8)=5.91,a 0.99 .a 0.991— 1—22此时拒绝域0,F(8,9)0,F(8,9)ua2F(8,9),+8=i-a20, F(9,8)0.99uF，+」=|"0,，]ul5.47,+8]=b,0.169]ul5.47,+8)0.99 |_5.91_样本观察值F=0.2697未落入拒绝域，故接受H，即认为两种配方总体方差无显著差异，0说明显著性水平越小,否定零假设越困难。

（四）均值未知，检验假设H:O2<^201 2例4有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得又甲=15.01，^乙=14.99,S甲=0.0955,S乙=0.0261,对（7⑻二4.53,f0.975（7⑻二4.53,f0.975⑸7）二4.90）（于0.95（7,8）二3.50,f0.95（8,7）二3.73,f0.975分析由题意，是验证O2<O2是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为甲乙H：O2<Q20甲乙解利用F-检验法检验两总体方差比。①检验假设H：O2<Q2，H：O2>o20甲乙1甲乙S2②选取统计量F=”，第一自由度是7,第二自由度是8的F-分布S2乙③由题知f（7,8）=3.50，故拒绝域为b.50,y）0.95④统计量F的样本观察值S2S2F=-MS2乙年二3.6940.0261由于f=3&9>3.50,故应拒绝H0，接受%。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。二、两个正态总体均值差的检验设x,x,A,x是来自总体X服从N⑴，。2）的样本，y,y,A,y是来自总体Y服12m 11 12 n从N（日，o2）的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验:22H:日H:日一旦＜0V501 2H:日一日＞011 2H:日一日20V501 2H:日一旦＜011 2H:日H:日一日=0V501 2主要分两种情况讨论。H:日一日w011 21、o,o已知时的两样本的检验12此时N-^的估计X—y的分布完全已知，了一y~此时N-^的估计X—y的分布完全已知，了一y~N(日—日,O2o2—+一)，由此可mn采用U检验法，检验统计量为x-y在日二四时，U=.J1 2 O2o2,—U+—2.\：mn〜N(0,1)。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三对假设检验的拒绝域分布为:w={u；U\>u}1-a22、o=o=o但未知时的两样本t—检验1 2在o2=O2=O2未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用O21 2的无偏估计代替O2，而此时可以证明O2的无偏估计为:[£(x-X)2+£(y-y)2]=(m-1)S2+(n-1)S2ii=1ii=1于是有S「口

w\mn从而检验统计量为x-y,一、一==~t(m+n-2)。上述三对假设检验的拒绝域分布为:,1 1S+—w\mnW={T;T>t(m+n-2)}1—a

w={T；T<t(m+n—2)}

aw={T;T\>t(m+n—2)}

i-a2例7.2.3某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度(一种耐磨性指标)为：镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平a=0.05下判断银合金的硬度是否有明显提高？解略。综上，关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表：条件原假设H0备择假设检验统计量及其分布拒绝域;N<N1 2N〉N1 2u=xy~n(0,1)a2a2J-+2mmnU>U1-aN>N1 2日〈日1 2U<Ua从二从从w从U>U1-aa=a1 2未知N<N1 2N〉日1 2T=——Xy~t(m+n-2)s1w\mnT>t (m+n一2)1一a日>日1 2日〈日1 2T<t(m+n一2)a日二日1 2日w日1 2T>t(m+n—2)1-：一、正态总体方差的检验考虑如下的三x,x,A,x是来自该总体的样本，对方差a2考虑如下的三12种检验：<a20vs><a20vs>a20vs(2)vs1、均值N未知时方差的检验由于N未知，S2=-^―Z(X—元)2是02的无偏估计，且O2=O2有n一1 ， 0i=1(n-1)S2 /八X2 X2(n-1)020对于显著性水平a，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为：w={X2；(n-1)S2>X2 (n-1)}TOC\o"1-5"\h\z02 1-a0(n-1)S2W={X2； <X2a(n-1)}\o"CurrentDocument"02 a0(n-1)S2 (n-1)S2w={x2； >X\a(n-1)或^ <x2a(n-1)}\o"CurrentDocument"02 1-2 02 200例7.2.4某类钢板每块的重量X服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.016kg2。现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差S2=0.025kg2。问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？a=0.05。解略。2、均值日已知时方差的检验£(X-N)2i此时，检验统计量取为X2=4=1 ，且O2=02时02 00£(X-N)2iX2=^= ~X2(n)02

0故对均值日已知时方差的三种检验，我们只需将均值N未知时方差的三种检验中X2一分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域。综上，关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表：条件原