复变函数与积分变换精彩试题及问题详解

标准文档复变函数与积分变换试（一）一、填空（分×）1ln(i)模，幅角。2i的个单根分别为：，，。3Ln在

的区域内连续。4f()z解极域为：。5f(xy的导数fz6s3

。

。7指数函数的映照特是：8幂函数的映照特点：

。。9若F(

=[ft)]，则f(t)

=F

f[(

。10．若f（t）满拉氏积分存在条件，[f()]=二、(10分)

。11已知()y，求函数u,y使函数f()x)(x,y)为22解析函数，且f(0)=0。三10分）用留数的相关定理计

z(z四、计算积分（5×2）1实用文案

z(z

标准文档2

()

：绕i一正向任意简单闭曲线五10分）函数f(z)1z

1z(z

在以下各圆环内的罗展式。2z六、证明以下命题分×2（）

t与e

构成一对傅氏变换对（）

dt七分拉氏变换求方程组满x(0)=y(0)=的解(t。

y

八10分）书中内容，函数在某域内解析的具体判别方有哪几种。实用文案

z(zz(1)(3)z(zz(1)(3)复变函数与积分变换试题答案（一）一、．

ln

，

arctg

ln2

k

2.

-ii

-i3.Z取点负轴

4.空

5.26．将形映角域8.

角形映角域

9.

1

i

10.

f(t)e

二、：

y∴uxy

（分）f(z)

11x

∵f(0)=0

=0（3分）∴

f(z)xy

iii(x)(y)z22

（2）三、：式（分

i

Re

1,

z（2）

i

Re

z(zz

,

3

zRes

,3(2分）(zz3)

Res

z(zz

1Resz

=0∴原式=2）

2

i

1=i336四、．：式Re

z(

（3）z=0

=1

i[

=0（2分）实用文案

标准文档2．：式

2

z

）

ii=

1五、．：111f(1分1分）()z()i

1

111分）zzii

zi

i

(z)

i()

（2）

1112．：(z)分分）()i)()

1i1（1）

()

iz

11i()

i

(

（2）六、．：

(t)e0

dt

t

（3）结成（2）解∵

12

2

（2）∴

(w

与1构成氏∴

e

dt

（2）七、：

sX()(sZs)SX(s)()()0Y(s)(s)0

(3)

（3）（2-（∴Y(s)

s11sss2

（分）∴(t)

1t2

cht八、：定；

②C-R充条件

；③为u共函

10分实用文案

1sin标准文档1sin复函与分换题二一、填空（分×）1函数f(z)在区域D可导是f(z)D内解析的

）条件。2wz

在i

处的伸缩率为（3z12i的指表示式为（

4Ln(-1)主值等于（

5函数

以（

）为周期。6设C为简单闭曲线，

dzz

=（

7若为f(z)的级点，则s[f(),]

8若(

F(t)（

92（

）构成一个付立叶变对。10．已知

]

，则L[]t

二、计算题(7分×1求p，m，n的值使得函数(pxy)为解析函数。2计算

1z

dz3已知调和函数x，解析函数f(使得(2)i。14把函数在内展开成罗朗级。(22)5．出函数f(z)实用文案

zz2z

在扩充复平面上所有立奇点并求孤立奇点处留

-t标准文档-t数。ze6计算7利用留数计算积份

12cos

三、积分变换（7×3）1设f(t)tcost

（为常数F

[(t)]

。2设ft)以求L[(t)]。

t0为周期且在一个周期内的表达式为f(t)3求方程y1（L[]=

满足条件(0)0,

的。实用文案

标准文档复变函与积分变试题答（二）一、．充要条件

2.23.

4.

i5.

2

i

6.

原式=

在C内z在C内7．

dlim(dz

()f(z)

8.

12

F(ej9.

10.

1ds二、1.

解：

n

（3）

3mp∴p

（1）2．式（分）

1

32

dz1分3．式

y

vy(x)

（2）

2(

g()

（2）∴fz2(xyy

x

f(2)ii

y)

（2）

∴f()2(y(yx

（1）4．：

z

z

＝zz

（2）实用文案

－zz2000标准文档－zz20001111＝z22

（2）∴

1z＝bz2

（3分）5．：

，＝，＝

（2）1Res[f(),0]2z21Res[f(),2]lim2s[(z),

（1）

（2）（2）zee63分,1s,7．：

（1）原式（分

dzz

=（分）

z

iz=（分）

|z

i(zz3)

=（分）2Re

iz

=（分）

2

i3

23三、．：F[(t

f(t)e

j

j2

（分1[[w))]2

（4分）实用文案

-t标准文档-t2.解：[f(t)]=（2分）

11

f(te

（2分）

11

te

=分

1s1

（1分）

1s11

23．解：

(y

[]

（1分）s()(s)(0)(s()

1s

（2）(s)

s

=

s(sss

（分t)Re[Y()e

]z1,k

1ete4（分实用文案

标准文档复变数与分变试题三）（）数与()

对应,请依次写z代数几何三角指数表式z次方根（请指指数

对数数

wlnz

正切函数

z

的解析，并明它的解域是类点。（）讨数

f()x

y

的可性，求出数

f()

在可点的导。另，函

f()

在可点解吗？或否说明由。知解析函数

f()v

的实

x

函数

f()v的表式，使

f(0)

。6×）算积分：（

C

dz()0

n

,其为以z

为圆心r为径的向圆周

为正数；（

e(

z(

z

。（分别圆环（1）

z，(2)0z

内将数f()

1)

2

展为朗级。（12求下各函在其立奇的留。实用文案

[t标准文档[t

f(z)

zsinz

;

f(z

2z

;

f()

1z

.7）分线性数、数函、幂数的照特各是么。（将上半平

z)

保形照成位圆

|1

的分线性数。（5×己知

[f(t)]F)

，求数

ft

的傅叶变；（2函数

2

的傅叶逆换11.（52）求数f(

t

(

的拉拉斯换；（）求普拉斯逆换

-1

s

2

s

]

。12.6分微积方程

'()

)d

y

。实用文案

标准文档复变数与分变试题案（）1.5请依写z根

的数几何三、指表式和z

的3方zxiyi(cossin

z

i

3z

：

r

2.（6分请指指函数z、对函wln的析，并明们的析是哪点。

、切数w指函、数函wln

、切数tanz

的析分为整个平,无开域；去点及半轴，界区域除点

，界区域9分）论数(x2y2可性，求函数f)

在导的导。外，数f()

在导解析？或否说理由解

x

y

，u,v可微所

y

时数导，

f

。x因函在可点任一域不可，以可点不解。4.（6分f)实用文案

的实uy3

标准文档f()v

的达，并(0)

。y2y

,yx,x

xy

解

f)xx3xy2)icff)xx3xy2)5.×计积：（C

dz(0

n

,其

为

为心

r

为径正向周,

为整；（z|

e(2

z(2)

z。解1设C

的程z0

i

)

,C

z(0

n

20

ireiri(

π0

irei

d

irn

20

(cosnn

所

C

dz()0

n

C

dz

0

πi

（0

时C

dz()0

n

（

时（z|

e(2

z(2)

z实用文案

n(2)标准文档n(2)

z

1

2

e(2

z

1

2

e(22)

z

|

z(z

d

|

(zz

dπi

z

)'

i

z(

2

42πieπieπi9996.（5×在圆环（z

，(2)

z

内将函数f()

z)

2

展罗级数解

1z)'(1)2n

n(|,n1f(z)2n

(|

.1(z1

(

(|

,

f(z

z

2

n

(

n

(z

n

(

(|

.7.（12求列函数其立奇的数。(1)f(z)

zsinz3

;(2)

f(

12sin

;(3)(z)

1z

.解

z

为f)

的去点Res[f(0]0

;（）z

为f()

的阶点,

zπ(k)

为z

的阶点,实用文案

)'',(kb5();e11-1标准文档)'',(kb5();e11-1Res[f(z),0]lim(

z2sin6f(),]

zsinz

2

z

(k（f(z)

的性点z

1

n

1n

n

,Res[(z1]

32

。8.）式性函、数函、函数映特点是么分线函数有角性保性、对性的照点，指函具有带域映为形域映特点幂数有将形映照形的映特。9.6分）将半平Im()性数

保映成单圆|1

的式解

zwiz0

(Im(0)010.5知F

[(t)]F)，函f(2

的里变换（求数F

2

的里逆变。解（1F

i[()]F()|a

,F

[ft

1i22（）3

f(t)

F

-1

[

13

][

]实用文案

i-1e)-1]L[]=[]Li-1e)-1]L[]=[]L-1]2L[]-10,

tti

|

t

,11.5函ft)tu(t2)的普拉变；（）拉拉斯变L[

s

2

s

]。解（

F()

L

t

t

L

t

)];s（L[

s

2

s-1-(ss=

e

L[

s

2

s12

=

e

（costt

12.6分解积分程y'()

t

(

)d

y(0)

。解

1(s)Y(s)s

,

Y(s)

12

,

()t

。实用文案

1s标准文档1s复变函数与积分变换试题及答案（四一、填空题题3分共分）

．

12

(22)

的

三

角

表

达

式cos(ksin(4

(k0,)

。．i

i

．

1)2设

。(k)z|

则

z00

。．幂级数

!

的和函数的解析域

空集

。．分式线性函数、指数函数的映照特点分别是：保对称性、保伸缩性，域。

保角性、保圆性、将带形域映照为角形．若

[f(t)]F(s)

，则

[()]ea()a

。实用文案

标准文档二、简答题题6分共分）．叙述函数f(z)

在区域

内解析的几种等价定义。答（1）区域D内可导，则称f(z)分)

在区域D内（若(z)

的实部、虚部均为

内的可微函数且柯西—黎方程成，则

称

fz)

为

在

D

内

的

解

析

函

数。分)（）()

的虚部为实部的共轭调和函数，则称z)

在区域D

内解析。分)．若

分别为(z)

及g)

的m阶及

阶零点，则

g()f)

在

具有什么性质。答

若

nm

，则

为

g(f

的

n

阶零点；分)若

nm

，

则

为

g()f()

的

可

去

奇

点；分)若

n

，

则

为

g(f

的

阶

极

点；分)．述将上半平面z实用文案

保形映照为单位圆盘w且将z

标准文档映照为w的分线性函数

i

zz

产生的关键步骤。答（）

映照w

，

映照为

，有f(z)

zz

分)（

）

当

zx

时，

w

，

有

分)（

）

w

i

zz

(Im()0)

使

得

I

映

为

分)三、计算题题7分共分）解．求f(

的解析点；f(z(xi

i

，

x

，

，

仅在(0,0)处立分)

f()

处

处

不

解

析。分)．求f(

z(

在2

时的罗朗级数；实用文案

解f()(3(标准文档解f()(3(41)分[]2分）zz52z34(n

分．求积分I解）z

为沿单位圆(|

的左半圆从到i的曲线。

I

i

（分．求积分I

|z|

z

1(

。1解I

|

(2z2

2分

i

1z2

)

分分）．求积分I

|

1z

,解

11zz3!z3

115!(

3分C

2分）I

i

（2分）、求函数t2)f()

的傅里叶变换.解

1(t()[tf()]f()]2分）2F

11[(t2)f)]22

F

[tf(t)]|

2

[f()]2）实用文案

221t标准文档221t

14i

F

[()(F)

2分）

14i2

)1分）7．函数

2s4s2

的拉普拉斯逆变换。解()4）s3ss

L

1

[

s

4

22]tsin2t3分四、证明及解方程（每题6共12分．证明：eidt证明

t1（2）

1

1

i

d)分）

i

dt（2）．解方程：y'(ty(0

y(0)

。解

11sY(s)Y(s)分s

Y)

s

2

1

1分）

y(t)i2）实用文案

标准文档复函与分换题答（）一填题每，）1、42

1()16

2、

z(z2)

dz

3幂级数

n

2n

的收敛半径

24、Re[

zz

＝

11205、设(t)

0,

||

，则付氏变换[f(t)]

二单选题每4分共20）、是函数()cos

1z

的A．

极点，

B.本性奇点

去奇点，

一级零点【】、函f

(z

2

(z

在复平面上的所有有限奇点处留数的和：A.1

B.

4

－1

2【】实用文案

11A．，2标准文档11A．，2、设为正向圆周z，则积分CA．，B，

[e

z4zz(zC.0，

等于

12

i【D】、设f()zz

，则f(

为A．1

B．2，

C．，

D．

i

。【C】、设fsin2

，则拉氏变换f(z)]

为2(3)