2023年高考物理（考点解读+命题热点突破）专题09带电粒子在复合场中的运动

PAGEPAGE1专题09带电粒子在复合场中的运动【考向解读】1.主要考试热点：(1)带电粒子在组合复合场中的受力分析及运动分析．(2)带电粒子在叠加复合场中的受力分析及运动分析．(3)带电粒子在交变电磁场中的运动．2.带电粒子在复合场中的运动应该是2022年高考压轴题的首选．(1)复合场中结合牛顿第二定律、运动的合成与分解、动能定理综合分析相关的运动问题．(2)复合场中结合数学中的几何知识综合分析多解问题、临界问题、周期性问题等．【命题热点突破一】带电粒子在组合场中的运动磁偏转〞和“电偏转〞的差异电偏转磁偏转偏转条件带电粒子以v⊥E进入匀强电场带电粒子以v⊥B进入匀强磁场受力情况只受恒定的电场力只受大小恒定的洛伦兹力运动情况类平抛运动匀速圆周运动运动轨迹抛物线圆弧物理规律类平抛知识、牛顿第二定律牛顿第二定律、向心力公式根本公式L＝vt，y＝eq\f(1,2)at2，a＝eq\f(qE,m)，tanθ＝eq\f(at,v)r＝eq\f(mv,qB)，T＝eq\f(2πm,qB)，t＝eq\f(θ,2π)T例1．如下图，静止于A处的离子，经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场，圆弧虚线的半径为R，其所在处场强为E、方向如下图；离子质量为m、电荷量为q；eq\x\to(QN)＝2d、eq\x\to(PN)＝3d，离子重力不计．(1)求加速电场的电压U；(2)假设离子恰好能打在Q点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E0的值；(3)假设撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围．(2)离子做类平抛运动2d＝vt3d＝eq\f(1,2)at2由牛顿第二定律得qE0＝ma.那么E0＝eq\f(3ER,2d)(3)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qBv＝meq\f(v2,r)那么r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(EmR,q))离子能打在QN上，那么既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，那么离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ.由几何关系知，离子能打在QN上，必须满足：eq\f(3,2)d<r≤2d那么有eq\f(1,2d)eq\r(\f(EmR,q))≤B<eq\f(2,3d)eq\r(\f(EmR,q)).答案(1)eq\f(1,2)ER(2)eq\f(3ER,2d)(3)eq\f(1,2d)eq\r(\f(EmR,q))≤B＜eq\f(2,3d)eq\r(\f(EmR,q))【变式探究】如下图的坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E＝400N/C；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，x轴方向的宽度OA＝20eq\r(3)cm，y轴负方向无限大，磁感应强度B＝1×10－4T.现有一比荷为eq\f(q,m)＝2×1011C/kg的正离子(不计重力)，以某一速度v0从O点射入磁场，α＝60°，离子通过磁场后刚好从A点射出，之后进入电场．(1)求离子进入磁场B的速度v0的大小；(2)离子进入电场后，经多少时间再次到达x轴上；(3)假设离子进入磁场B后，某时刻再加一个同方向的有界匀强磁场使离子做完整的圆周运动，求所加磁场磁感应强度的最小值．解析离子的运动轨迹如下图(2)离子进入电场后，设经过时间t再次到达x轴上．离子沿垂直电场方向做速度为v0的匀速直线运动，位移为l1l1＝v0t离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为l2Eq＝mal2＝eq\f(1,2)at2由几何关系可知tan60°＝eq\f(l2,l1)代入数据解得t＝eq\r(3)×10－7s(3)由Bqv＝eq\f(mv2,r)知，B越小，r越大．设离子在磁场中最大半径为R由几何关系得R＝eq\f(1,2)(r1－r1sin30°)＝0.05m由牛顿运动定律得B1qv0＝meq\f(v\o\al(2,0),R)得B1＝4×10－4T那么外加磁场ΔB1＝3×10－4T答案(1)4×106m/s(2)eq\r(3)×10－7s(3)3×10－4T【感悟提升】带电粒子在组合场中的运动问题，一般都是单物体多过程问题，求解策略是“各个击破〞：(1)先分析带电粒子在每个场中的受力情况和运动情况，抓住联系相邻两个场的纽带——速度(一般是后场的入射速度等于前场的出射速度)，(2)然后利用带电粒子在电场中往往做类平抛运动或直线运动，在磁场中做匀速圆周运动的规律求解．【命题热点突破二】带电粒子在叠加复合场中的运动例2.如下图，水平线AC和竖直线CD相交于C点，AC上开有小孔S，CD上开有小孔P，AC与CD间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，∠DCG＝60°，在CD右侧、CG的下方有一竖直向上的匀强电场E(大小未知)和垂直纸面向里的另一匀强磁场B1(大小未知)，一质量为m、电荷量为＋q的塑料小球从小孔S处无初速度地进入匀强磁场中，经一段时间恰好能从P孔水平匀速飞出而进入CD右侧，小球在CD右侧做匀速圆周运动而垂直打在CG板上，重力加速度为g.(1)求竖直向上的匀强电场的电场强度E的大小；(2)求CD右侧匀强磁场的磁感应强度B1的大小；(3)假设要使小球进入CD右侧后不打在CG上，那么B1应满足什么条件？解析(1)因小球在CD右侧受重力、电场力和洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，所以有mg＝qE，即E＝eq\f(mg,q).(2)小球进入磁场后，由于重力作用，速率不断增大，同时在洛伦兹力的作用下小球右偏，当小球从小孔P水平匀速飞出时，受力平衡有Bqv＝mg，即v＝eq\f(mg,Bq)从S到P由动能定理得mgeq\x\to(CP)＝eq\f(1,2)mv2，即eq\x\to(CP)＝eq\f(m2g,2q2B2)因小球从小孔P水平飞入磁场B1后做匀速圆周运动而垂直打在CG上，所以C点即为小球做圆周运动的圆心，半径即为r＝eq\x\to(CP)又因B1qv＝meq\f(v2,r)联立得B1＝2B.答案(1)eq\f(mg,q)(2)2B(3)B1≥4.3B【变式探究】如下图，离子源A产生的初速度为零、带电荷量为e、质量不同的正离子被电压为U1的加速电场加速后进入一电容器中，电容器两极板之间的距离为d，电容器中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场和匀强电场．正离子能沿直线穿过电容器，垂直于边界MN进入磁感应强度大小也为B的扇形匀强磁场中，∠MNQ＝90°.(不计离子的重力)(1)求质量为m的离子进入电容器时，电容器两极板间的电压U2；(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；(3)假设质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处，质量为16m的离子打在S2处．求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上正离子的质量范围．解析(1)设离子经加速电场后获得的速度为v1，应用动能定理有U1e＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)离子进入电容器后沿直线运动，有eq\f(U2e,d)＝Bev1得U2＝Bdeq\r(\f(2U1e,m))(3)根据(2)中R＝eq\r(\f(2U1m,B2e))，质量为4m的离子在磁场中运动打在S1处，运动半径为R1＝eq\r(\f(2U14m,B2e))质量为16m的离子在磁场中运动打在S2处，运动半径为R2＝eq\r(\f(2U116m,B2e))又ON＝R2－R1由几何关系可知S1和S2之间的距离ΔS＝eq\r(R\o\al(2,2)－ON2)－R1联立解得ΔS＝2(eq\r(3)－1)eq\r(\f(2U1m,B2e))由R′2＝(2R1)2＋(R′－R1)2解得R′＝eq\f(5,2)R1再根据eq\f(1,2)R1≤Rx≤eq\f(5,2)R1解得m≤mx≤25m答案(1)Bdeq\r(\f(2U1e,m))(2)eq\r(\f(2U1m,B2e))(3)m≤mx≤25m【命题热点突破三】带电粒子在交变电磁场中的运动及多解问题例3、如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为量．(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小．(2)求电场变化的周期T.(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，那么eq\f(d,2)＝vt1 ⑤(1分)qvB＝meq\f(v2,R) ⑥(2分)2πR＝vt2 ⑦(1分)联立③④⑤⑥⑦得t1＝eq\f(d,2v)；t2＝eq\f(πv,g) ⑧(2分)电场变化的周期T＝t1＋t2＝eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g) ⑨(1分)(3)假设微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R ⑩(1分)联立③④⑥得R＝eq\f(v2,2g) ⑪(1分)设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得t1min＝eq\f(v,2g)因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝eq\f(2π＋1v,2g). (2分)【感悟提升】空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波〞的特点．交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场、磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽，应注意以下两点：(1)仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联．(2)把粒子的运动过程用直观草图进行分析．【变式探究】如图甲所示，两竖直线所夹区域内存在周期性变化的匀强电场与匀强磁场，变化情况如图乙、丙所示，电场强度方向以y轴负方向为正，磁感应强度方向以垂直纸面向外为正．t＝0时刻，一质量为m、电量为q的带正电粒子从坐标原点O开始以速度v0沿x轴正方向运动，粒子重力忽略不计，图乙、丙中E0＝eq\f(3B0v0,4π)，t0＝eq\f(πm,qB0)，B0．要使带电粒子在0～4nt0(n∈N)时间内一直在场区运动，求：(1)在t0时刻粒子速度方向与x轴的夹角；(2)右边界到O的最小距离；(3)场区的最小宽度．解析(1)由牛顿第二定律，得E0q＝mavy＝eq\f(qE0,m)t0 (2分)E0＝eq\f(3B0v0,4π)tanθ＝eq\f(vy,v0) (1分)θ＝37° (1分)(2)x1＝v0t0 (1分)如下图，由几何关系得x2＝R1－R1cos53° (1分)B0qv＝meq\f(v2,R1) (1分)v＝eq\f(v0,cos37°) (1分)x＝x1＋x2＝(π＋0.5)eq\f(mv0,qB0) (1分)答案(1)37°(2)(π＋0.5)eq\f(mv0,qB0)(3)(1.5n＋1.5＋π)eq\f(mv0,qB0)【高考真题解读】1．(2022·福建理综，22，20分)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开 MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g. (1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC； (2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf； (3)假设D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上 的P点．小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间 为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP. (3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤 去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′ g′＝eq\r(〔\f(qE,m)〕2＋g2)⑥ 且veq\o\al(2,P)＝veq\o\al(2,D)＋g′2t2⑦ 解得vP＝eq\r(veq\o\al(2,D)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(〔\f(qE,m)〕2＋g2))t2)⑧ 答案(1)eq\f(E,B)(2)mgh－eq\f(mE2,2B2) (3)eq\r(veq\o\al(2,D)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(〔\f(qE,m)〕2＋g2))t2)2．(2022·重庆理综，9，18分)如图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN 和M′N′是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O′， O′N′＝ON＝d，P为靶点，O′P＝kd(k为大于1的整数)．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U.质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域(含N′点)或外壳上时将会被吸收．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力．求： (1)离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小； (2)能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值； (3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间． 解析(1)粒子经电场加速一次后的速度为v1，由动能定理得 qU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)① 粒子能打到P点，那么在磁场中的轨道半径r1＝eq\f(kd,2)② 对粒子在磁场中由牛顿第二定律得qv1B1＝eq\f(mveq\o\al(2,1),r1)③ 联立①②③式解得B1＝eq\f(2\r(2Uqm),qkd)④ (2)假设粒子在电场中加速n次后能打到P点，同理可得 nqU＝eq\f(1,2)mv2(n＝1，2，3，…)⑤ rn＝eq\f(kd,2)⑥ qvB＝eq\f(mv2,rn)⑦ 联立⑤⑥⑦式解得B＝eq\f(2\r(2nqUm),qkd)⑧ 由题意可得当n＝1时，2r1′>d⑨ 解得n<k2⑩ 故⑧式中n的取值为n＝1，2，3，…，k2－1 答案(1)eq\f(2\r(2Uqm),qkd)(2)eq\f(2\r(2nUqm),qkd)(n＝1，2，3，…，k2－1) (3)eq\f(〔2k2－3〕πkmd,2\r(2Uqm〔k2－1〕))heq\r(\f(2〔k2－1〕m,Uq))3．(2022·天津理综，12,20分)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．真空中存在着如下图的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射． (1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2； (2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn， 试求sinθn； (3)假设粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况 下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之． (2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn,轨迹半径为rn(各量的下标均代表 粒子所在层数，下同)． nqEd＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)⑤ qvnB＝meq\f(veq\o\al(2,n),rn)⑥图1 粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有 vn－1sinθn－1＝vnsinαn⑦ 由图1看出 rnsinθn－rnsinαn＝d⑧ 由⑥⑦⑧式得 rnsinθn－rn－1sinθn－1＝d⑨ 由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得 rnsinθn＝r1sinθ1＋(n－1)d⑩图2 当n＝1时，由图2看出 r1sinθ1＝d 由⑤⑥⑩⑪式得 sinθn＝Beq\r(\f(nqd,2mE))⑫ (3)假设粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，那么 θn＝eq\f(π,2)⑬ sinθn＝1⑭ 在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为eq\f(q′,m′)，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时的速度方向与水平方向的夹角为θn，由于 eq\f(q′,m′)＞eq\f(q,m)⑮ 那么导致 sinθn′＞1⑯ 说明θn′不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界． 答案(1)2eq\r(\f(qEd,m))eq\f(2,B)eq\r(\f(mEd,q))(2)Beq\r(\f(nqd,2mE))(3)见解析4．(2022·江苏单科，15，16分)一台质谱仪的工作原理如下图， 电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零．这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上．放置底片的区域MN＝L，且OM＝L.某次测量发现MN中左侧eq\f(2,3)区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧eq\f(1,3)区域QN 仍能正常检测到离子．在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到． (1)求原本打在MN中点P的离子质量m； (2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围； (3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数．(取lg2＝0.301，lg3＝0.477，lg5＝0.699) (2)由(1)知，U＝eq\f(16U0r2,9L2)离子打在Q点时r＝eq\f(5,6)L，U＝eq\f(100U0,81) 离子打在N点时r＝L，U＝eq\f(16U0,9)，那么电压的范围 eq\f(100U0,81)≤U≤eq\f(16U0,9) (3)由(1)可知，r∝eq\r(U) 由题意知，第1次调节电压到U1，使原本Q点的离子打在N点 eq\f(L,\f(5,6)L)＝eq\f(\r(U1),\r(U0)) 此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上eq\f(\f(5,6)L,r1)＝eq\f(\r(U1),\r(U0)) 解得r1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(2)L 第2次调节电压到U2，原本打在Q1的离子打在N点，原本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，那么：eq\f(L,r1)＝eq\f(\r(U2),\r(U0))，eq\f(\f(5,6)L,r2)＝eq\f(\r(U2),\r(U0)) 解得r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(3)L 同理，第n次调节电压，有rn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(n＋1)L 检测完整，有rn≤eq\f(L,2) 解得n≥eq\f(lg2,lg〔\f(6,5)〕)－1≈2.8 最少次数为3次. 答案(1)eq\f(9qB2L2,32U0)(2)eq\f(100U0,81)≤U≤eq\f(16U0,9)(3)3次5．(2022·浙江理综，25,22分)离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出． Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线R/2处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0<α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．离子质量为M；电子质量为m，电荷量为e.(电子碰到器壁即 被吸收，不考虑电子间的碰撞) (1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小； (2)为取得好的电离效果,请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里〞或“垂直纸面向外〞)； (3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围； (4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系． 解析(1)由动能定理得eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,M)＝eU① U＝eq\f(Mveq\o\al(2,M),2e)② a＝eq\f(eE,M)＝eeq\f(U,ML)＝eq\f(veq\o\al(2,M),2L)③ (2)由题知电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好，那么题图2中显然电子往左半部偏转较好,故Ⅰ区中磁场方向应垂直纸面向外 ④ (4)电子运动轨迹如下图， OA＝R－r，OC＝eq\f(R,2)，AC＝r 根据几何关系得r＝eq\f(3R,4〔2－sin