专题08+含参数的导数问题解题规律2019年高考数学理命题热点全覆盖教师版

专题08含参数的导数问题解题规律一.知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(cy=(C为常数)；②(x),=；@)(x2)，=；④8，=；⑤(，.&)f=.⑵初等函数的导数公式①(xn),=； ②(sinx),=；③(cosx)‘=； ④(ex)‘=；⑤(ax),=； ⑥(Inx)‘=；⑦(logax),=..导数的运算法则(1)fx)±g(x)]‘=；⑵fx)-g(x)]'=(3/「.复合函数的导数(1)对于两个函数(1)对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y=fu)fu)和u=g(x))的复合函数为y=fg(x)).二：二一一工二1 1(解法二)由一 得2mfG)x式“)=&!=哗设 式“)=&!=哗设 ■以(0,1)时g(x)单调递增,I)1—a--21nx则」 :::(1,+8)时g(x)单调递减由于：°"-一 单调递减且h(1)=0，所.:小「丁。故.:小「丁。故m:1.方程.三'二一，"U在(0,+8)上有且只有一个解等价于点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.（二）构造函数例2.例2.(1)已知函数：'=：：—」一■讨论屋；的单调性；(2)f㈤T㈤「1当" '为两个不相等的正数，证明： ： (2)【答案】（1）Q：>。时，/（'；在区间（。，1/；内为增函数；「二。时，/；'；在区间（。'J内为增函数；屋'；在区JI"间 内为减函数；（2）见解析.【解析】（1）求出/‘（'）,分两种种情况讨论”的范围，在定义域内，分别令「（门〉。求得」的范围，可得函数AE）增区间，「1'1二。求得'的范围，可得函数/（'；的减区间；（2）设「:〉"〉。，原不等式等价于1/也-fn—>2全均1 4 4 1■]t=— fjit-i 2>0/£>1）^]（x）= + 2'，令''：,则原不等式也等价于即 .'一 .设 ..；，利用导数可得M'l在区间（-；内为增函数，•-.二）；「）一：•，从而可得结论.【详解】（1）函数月1；的定义域为—⑴，r㈤=二-匕=三三若。主3r0〕=—二3则a0在区间©十方内为增国数a若&<o,令.「⑸=三二o,得工=-了0.则当三三（0,-；时，「⑴二3拦上〕在区间色-口内为增函数；当上三：—；—：时，rc1<lfc;在区间[―；一时内为减函数.一1啊电—fn-> 21才勺+]TOC\o"1-5"\h\z（2）当口。时，：：二二二"'.不妨设'「「。，则原不等式等价于 •，叼 4t=— Int+ 2>0/1>1）令’…，则原不等式也等价于即 .1出工+- 2 >0下面证明当（'〉1）时， ’,। 恒成立.

则’‘；「；、,故版'）在区间；一口内为增函数，；,即fSJ—f（勺）巧』则’‘；「；、,所以【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明flm|=x—31nx练习1.已知函数一（1）证明：/G）有两个零点；⑵已知a>P>1,若3x°eR，使得— '试比较a+P与2x。的大小.【解析】（1）在（0,3）上单调递减，在（3,+8）上单调递增，根据函数的最值情况确定f[MJ【解析】（1）在（0,3）上单调递减，在（3,+8）上单调递增，根据函数的最值情况确定f[MJ=1+零点个数；（2）由3(出炉-Ins)

a-13，可得:<0函数人（t）在<0（1,+8）上单调递增，二二："：-=”在（1，+8）上是增函数一•・xo<上?，即2xo<a+P.ff.vI=a--31nx(x>0I(1)据题知- ，求导得:令ff（x）>0,有x>3；令ff（x）<0,得0<x<3，所以f（x）在（0,3）上单调递减，在（3,+8）上单调递增，

,&出=。⑶=3一张文口令x=1，有f（1）=1>0；令x=e2，有故f（x）在（1,3）和（3,e）各有1个零点..•・f（x）有两个零点./（与）=（2）由/（与）=（2）由/（的一八例_]1乂回尸一出的a-13cc—产-T-，而产a+3(In/?-Ina)a-j3P[■::1-令t=，， --a&3」+工一（布户口-切二厘>0&3」+工一（布户口-切二厘>0・•・函数人。）在（1,+s）上单调递增，故」―;a+{3aa+/3<0又♦・「 在（1,+s）上是增函数，X0<%普,（三）极值点偏移例3.已知函数<二」（其中e是自然对数的底数，kWR）.（1）讨论函数/：1的单调性;⑵当函数/（'；有两个零点、"时，证明：、一；'.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明即证丁一），构造函数"；；・：：.•；，利用函数⑺°：的单调性证明即可。试题解析：(1)解:①当儿>口时，令/1；;0,解得—I1凌,・•・当・,,一:一一‘…'时，’⑶/八犬）单调递减;当''・ ：・・•・・・・・•时，/⑴>口，/⑴单调递增。<A、I, 0nU- =2"+1-无>0la、:■在R上单调递增.恒综上，当儿八时，,⑴在：、一•一一上切上单调递减，在：riA"，+F•上单调递增。当人口时，丁,琦在R上单调递增.（2）证明：当立式口时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。所以㈠口设函数的两个零点为' ,，目、明=网玉，小用=网/+4二g+2>口,％+2>0,:.不一/=加4+2则+3=变,/+2=lllff-1+3=变,/+2=lllff-1，(r+l)/nrTOC\o"1-5"\h\z所以.」 「要证三『“+0岳'>2即江口+D一2(f-1)>口只需证 ，g(£)=(£+l)lnt-2(t-1),/.gf(t)=lnt+-(t+r)-2=ki£+--l,设 * *h^)=]nt讶⑵=1_1>0,血⑵设 * ** 单调递增，

所以.）＞"=0,所以在区间所以故行为”2Q：）所以在区间所以故行为”2f-1，*工）=--jr+Hnjr练习1.已知函数（1）讨论的单调性；（2）已知/（）存在两个极值点'J,令求’的取值范围.,'':（"小：若…"＜，右， ,【答案】（1）见解析；（2））8,出4-3)【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将（2）将二.- 变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到'的取值范围.【详解】（1【详解】（1）（i）当/"二。，即。＜"＜4时，/；）＜0,/（.、；在（0,j）上单调递减;白-a+Ja2-4a（五）当Q'1Q＞。，即Q＜0或Q〉】时，令/。，得 .：或（驾马时，上/0,/（（）单调递增；在・■ •上/（・门＜0,单调递减.匕产+司，和・ ' ・上/］「；＜（）,/：；；单调递减;+曲，-4a\在、■ •'上/（'l〉。，屋门单调递增.在、r、II2 -ax+ag(幻=alnx+t—ax©(x)=(2) ^ ,贝U 1

由(1)可知，/I底",,"''"，且,厂”1TOC\o"1-5"\h\z则一.‘… , ,, ■ 1,二而值勺)+次叼+七尸一加闯-明+句=仃牖")©㈤+必以1 =ina-—a-I从而・•'• .J](仃)=Ih"L_1 h(<a)=---令 ^ ,人〉’1，则、,，，；'.因为口〉L所以")二。，所以M。；在(1।口上单调递减，则ND<■】；，即I「.：」 .f父ffM七江工。因为妨"，•,•‘：.」.：’.’-，即 ：.‘，所以，/〃】：；，【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题.(四)多变量问题一， ,,/ta-)=^/2sxsinx八 g\x\=Ix—l)lnx+m八例4.已知函数- (0<x<兀),」 (meR)(I)求/(x)的单调区间；(II)求证：1是且(工)的唯一极小值点；(III)若存在a,be(0/)，满足一’7'二三7;求m的取值范围.(只需写出结论)... •(-3冗、 /、 (3兀、 .a【答案】(1)单调递增区间为0, ,/(x)的单调递减区间为 兀 (2)见解析(3)m<e4I4) I4；【解析】试题分析：(I)求出/(x),/'(x)>0求得x的范围，可得函数/(x)增区间，/'(x)<0求的范围，可得函数/(x的范围，可得函数/(x)的减区间;(II)先求得(x>0),可得g'(1)=0，又总,(工]=Inx——+1可证明「 在定义域内递增，即可证明1是g(x)的唯一极小值点；(III)令两函数的值域有交集即可.fx]=J2IsKsinx+^cosx试题解析：：(I)因为一，所以x—，所以x—二九4当x变化时，当x变化时，x10,3.)4n(3 )[4兀,qf'(x)+0f(x)□极大值□f,(x),f(x)的变化情况如下:故f故f(x)的单调递增区间为|0,当I4)f(x)的单调递减区间为I子,兀(II)证明:VgIxj=(x-l|lux+m---=lnx——+1(x>0)设=g1(x)=liix—1+1,则Ar(x)=-4-X>0X XX故『5)在(0件工)是单调递增出数1又：『(1)=0,故方程丁(工)=0只有唯一实根工=1当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,+s)g'(x)0+g(x)□极小值n故g(。在X=1时取得极小值g(1)=m，即1是gG)的唯一极小值点.3兀(III)m<e4(五)与三角函数有关的函数问题一 一fIMl -HOST八例5.已知函数- (X>0).(1)若a=1，求函数/(X)的极大值；⑵若X时，恒有/(X)>0成立，求实数a⑵若X【答案】(1)(2k+1)兀；(2)11，+8)... 一.flrl=sin—xcosx...f7y|=jcsinx ...一【解析】(1)当a=1时，一 ，对其求导一 ，判断导数与0的关系，故而可得其极值；(2)对/(x)求导，二—衿，当a>1时，函数单调递增，不等式成立；当a<1时，对其进行二次求导，可得/"(X)>。恒成立，/'(X)单调递增，结合零点存在定理可得/,(X)有唯一零点X，进而可得当X式om。)时，f(x)单调递减，且…即f(x)>0不恒成立;试题解析：(1)a=1时，-..一二in..,当J-- '1,keN时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当‘U-j'i-1'1,keN时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以，当'-时，f(X)取得极大值(2k+1)兀，keN.(2)f'\x\—ijcosjc—cosx+Jtsinx=Ia—\+jctanx)cosx(2)当a—1>0，即a>1时，f'(x)>0，所以f(x)单调递增，所以''J41㈤=—g—1那也+或好+田口立=(?一。)闻好+田口立下0当a<1时， ，所以f'(X)单调递增，‘“=’一―：［,二二 ，所以f'(x)有唯一零点，记为X0，当xe(0，X0)时，f'(X)<0,f(x)单调递减，且「，即f(X)>0不恒成立；综上所述，a的取值一兀处的切线方程为y=5x--.（2）求函数f兀4值域.【答案】（1）3,1；(一兀处的切线方程为y=5x--.（2）求函数f兀4值域.【答案】（1）3,1；(2)?:T+1【解析】（1）求得fG）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得a,b的方程组，解方程即可得到所求;/、 y（a-）=3y—cos2a'+—（2）求得f（x）的导数，利用导数研究函数- 一的单调性，利用单调性即可得到函数f（x）在-gg值域.V/（x）=or—cos2a-+—£）=/'（x'\=□+?二旌试题解析：（1）一 一一 一为九），又/(\) cosIyH--(2)由(1)知， 一，解得a=3,b=1.Vf'la-|=3+2ffj?r2A->3—2>0..'.J、」、' 一函数八x)在_兀兀4,2—cos递增，・♦・函数f(^)练习1.已知函数的/(m]=ox—€os2x+练习1.已知函数的一图象在点（1）求a,b的值度+1（六）构造函数求参数例6.设函数/「四小二』一二一一(1)当a=1时，求函数g（x）的极值;(2)设1十十二.，对任意…；一:尸但）一尸（丙）二1都有一七 ,求实数b的取值范围.幻'工）-.〜=l-21n2 27【答案】⑴ ,』工 无极大值；（2）此不【解析】⑴当【解析】⑴当"1时，田X"-2向」1,定义域为（0,+00）,/（工）二J工，结合函数的单调性可g(蒐)和―=g(2)=l-21n2得'，则二'’ ,函数没有极大值.,构造函数5幻=下（0+工，则g（Q-—尸(巧),构造函数5幻=下（0+工，则g（Q（2）由已知n在（0,2]上单调递减，分类讨论可得:①当］£0,2］时,②当（0,1）时,,b>0,综上，由①②得:（1）当。（1）当。=1时,耳㈤—1,定义域为（0,+8）,M力七:一,当％式0,2）时,/㈤V。叱）单调递减，当;V£（2,+oo）时，履工"°0工）单调递增，・•.gG）的递减区间是（。,2）,递增区间是（2,+00），旦㈤ =g（2）=l-如12'」则唯「 无极大值.-―下⑻门M0F&）十均—[F（均）+t]«口（2）由已知%%设°㈤="*)+*,则G(%)在(0,21上单调递减，①当-时，〃x)=S0G㈤=lnxH----Fx.G'(x)=————-~^+1<0工+1 Xfx+1)所以fx+iy. .2g ib> +(x+1i=x^+3x+3+—整理:jf整理:/?r/?r(x)=2.v+3-X>0在（1,2）上恒成立h[x]=x2+3.X-+3+—设所以h（x）在限2］上单调递增,所以h（x）最大值是 二二②当x40,1）时，二底工,所以整理:所以整理:m(x'\=r1+a--1—— mr[.v)=2.v+1+-^>0 /设 J：，则 在(0,1」上恒成立，所以m（x）在（0,1」上单调递增，所以m（x）最大值是二一二y,一，27综上，由①②得：b> .练习1.已知函数-「1=」-:--*在 1处的切线斜率为。）1.（1）若函数屋;在"上单调，求实数人的最大值；（2）当1时，若存在不等的‘'1'''''使得点"；H'j'」，求实数”的取值范围.【答案】（1）1；（2）（（）,15）.【解析】（1）先根据切线的斜率求出"I再根据函数单调，得到〃 '恒成立，求出b的最大值.（2）转化为存在不等的，「|一'，且,—'使得「.・一」|,进而得至Uk>0.［详解］⑴函数*在 处的切线斜率为.0」解得2.f（x）=ex--Jt?-hx,y所以 ，故：因为函数/（'；在"上单调故;：「:二丁—-'"或「J二二 。在”上恒成立显然；.：-「）二一 "即;：二二丁t-：「打在"上不恒成立.

所以'L：'恒成立即可.因为.■>=,•'-可知1J」在（上单减，（0/切单增故’‘ ：，所以实数力的最大值为1.（2）当,，1时，由（1）知函数/（」）：在"上单调递增不妨设。<：、‘二"，使得•二-.1即为存在不等的‘「「'.’，且/二；：使得M%-〃工］=/（£之）-kx2 -X其否定为：任意卜二、<「'，都有：‘ 其否定为：任意卜二、<「'，都有：‘ ,',g（x）=f（x）-kx=exit3- +1即：函数 ■■ 在（。，1/；上单调递增.由（1）知："।1<1即“<。所以若存在不等的，J''，使得.. , "' ''实数”的取值范围为（"J/）.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（七）讨论参数求参数乙,,/（=xerH-fti—1）^+（1—a--1xI=Ix—l\sr+ax 人一皿例7.已知函数一 ,「 （e为自然对数的底数）.（I）当a=1时，求函数/G）在点（0,f（0））处的切线方程；（II）若函数g（1有两个零点，试求a的取值范围；（III）当x>0时，',•'口恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）y=x-1（2）（0,+s）（3）"二一‘3一--【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到ff（0）=1,f（0）=-1,根据这两点可以写出切线方a<0,三种情况讨论单调性，研究函数的图程。（2）对函数g（x）进行单调性的研究，分aa<0,三种情况讨论单调性，研究函数的图/ 1Ia£——x——+1像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于 xR恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析：⑴当。=i时，/㈤,r（o）=i,，（o）=-i.所以函数/G）在点（0,/（0））处的切线方程为y=%—1.（II）国数目（工）的定义域为R,由已知得f（司=网/+2勾.①当上=0时,函数g（x）=（x-lj/只有一一个零点?②当«>0,因为/+2口>0J当工E（—K⑼时，gF（x）<0j当HE（0;+工）时，>0.所以函数总⑶在（-工・⑼上单调递，减，在电+工）上单调递增.又加。=-1,晨1）=。,rc e（x—1）>X—1 p-|'x）>ax+x—1因为x<0,所以”<1所以 ,所以—1—Jl+取, 2口，显然丁0且月（%0）>。的.g⑼虱1"。//）g（O）<0所以,, ， ,. .由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点，（工］=M（/+2。）=0 x=ln（—2a\③当a<0时，由= - '，得1=。，或，）当〃<—，，则山（一2〃）>0.当x变化时，g'G）,gG）变化情况如下表：2f3.Q)0电皿一㈤）ln(-2a)+0»0+回㈤-1/注意到g（o）=-1,所以函数gG）至多有一个零点，不符合题意花）当〃二—L则山（—2〃）=。，gG）在（一叫+00）单调递增，函数gG）至多有一个零点，不符合题意若〃〉一］,则山（―2〃）40.当x变化时，g（x）,gG）变化情况如下表:A*iX(-®Pln(-2aLq(@)Qn（a）.Q）Dme苫匕）*0D+:53z*-]尸注意到当x＜0,。＜0时，'㈤=（"T"+e＜0,g（O）=-l,所以函数gG）至多有一个零点,不符合题意.综上一。的取值范围是（0,+8）.（III）当x＞0时，/㈤之虱'）=/+（j.r-1^0,＜£_¥.1+1h（引=《_工一工+1（上＞0）/㈤=4xT）「一+1即A父，令X工 ,贝1J V以工）=/（工一1）一V+1（工＞0） 应引=尤付-2）令 " ，贝 ^ ^当x£（0,ln2）时，（pf（x）＜0,①（J单调递减；当工日,山工+工）时，中，金）＞0,平（%）单调递增又（p（o）=。，9（1）=0,所以，当X£（O,1）时，（p（x）＜0,即〃（x）＜。，所以ZzG）单调递减；当X£（l,+oo）时，例..工）=（工T）9rT＞0,即〃G）＞0,所以/zW单调递增，所以＜I'，所以"J.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题.利用