弹性力学课件 应变状态理论 V2012

)已知弹性体的位移场，能否求得柯西应变？(有限元方法，先确定位移场，再确定应变)已知应变场，能否求得位移场？(六个几何方程，6个应变，三个位移场，矛盾方程组)6个应变之间应该满足几个关系？(Ｗashizu对变形协调条件必须的数目作了如下的讨论)变形与位移的关系？准确地说：应变和微元体的刚性小转动一起描述了变形。学习思路:变形协调方程的数学意义是：要使以三个位移分量为未知函数的六个几何方程不矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续性质作出解释。如果变形不满足一定的关系，变形后的物体将出现缝隙或嵌入现象，不能重新组合成连续体。为使变形后的微分单元体连续，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程，又称圣维南（SaintVenant）方程。假如弹性体是单连通域的,应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充分条件。利用位移函数的微分沿任意路径重新积分可以确定的位移必然是单值位移的条件，可以证明应变协调方程。对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移连续的必要条件，只有加上位移连续补充条件作为充分条件。1、变形协调举例几何方程表明，六个应变分量是通过三个位移分量表示的，因此六个应变分量将不可能是互不相关的，应变分量之间必然存在某种联系。这个问题对于弹性力学分析是非常重要的。因为如果已知位移分量，容易通过几何方程的求导过程获得应变分量；但是反之，如果已知应变分量，则几何方程的六个方程将仅面对三个未知的位移函数，方程数显然超过未知函数的个数，方程组将可能是矛盾的。随意给出六个应变分量，不一定能求出对应的位移。例如：例1设应变分量为：，，求其位移解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件以下我们将着手建立这一条件。2、变形协调方程首先从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式分别对x和y求二阶偏导数，然后相加，并利用第四式，可得若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则将上式对x求一阶偏导数，则分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程，又称圣维南（SaintVenant）方程。3、变形协调方程的意义变形协调方程的数学意义是：要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续作出解释。假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的微分单元体仍能重新组合成连续体，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程。假如弹性体是单连通域的,则应变分量满足应变协调方程不仅是变形连续的必要条件，而且也是充分条件。为证明应变协调方程是变形体连续的必要和充分条件，我们可利用弹性体变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数的性质。我们的目的就是证明：如果已知应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就一定可以通过几何方程的积分求得单值连续的位移分量。下面我们推导单连通域的变形协调关系。4、变形协调方程证明所谓的单连通域，是指该物体内任一条闭曲线可以收缩到一点而不越出界外。设应变分量ij单值连续，并有连续的二阶导数，则由轮换x,y,z计算，可得dv，dw和dy，dz。如果能够通过积分，计算出上述位移和转动分量如果是单值连续的，则可得到弹性体的位移单值连续的条件。5、变形协调方程证明2保证上述位移单值连续的条件是其积分与积分路径P0P无关。其充分与必要条件为根据上述公式的第三式，可得同理，根据上述公式的第四和第八式，可得x对y，z的偏导数。即将计算x对y，z的偏导数回代到公式的第一式，则可以得到转动分量x表达式如使x单值连续，其必要与充分条件是或写作同理，讨论y和z的单值连续条件可得出类似的四个公式。将单值连续的x,y和z代入位移计算公式，则可得到单值连续的位移u，v，w。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。6、多连域的变形协调如果弹性体中的一条封闭曲线，若收缩至一点必须越出域外，则为多连通域物体。一个多连通域物体，可用若干个截面将物体部分的截开，使之成为单连通域。如果所需的截面数为n，则物体为n+1连域。平面为有两个环形孔的物体，两个截面即可使其成为单连通域，所以为三连域。对于多连通域问题，应变满足变形协调方程并不能确保位移在分割后的单连通域内单值连续。因为当位移分别从截面两侧趋近于截面上的某一点时，一般的说其将趋于不同的值。分别用u+，v+，w+和u-，v-，w