平移与旋转的应用课例设计及评析

/《平移与旋转的应用》课例设计及评析无锡市大桥实验中学李蔚陆彩妹214001平移与旋转在日常生活中的应用非常广泛,通过《平移与旋转》这一章节的学习,学生对其有了一定的认识，但学生对用运动观点分析问题缺乏深刻理解。在具体思考分析问题时,往往还是静态思维能力有较强的惯性，主动运用运动观点分析问题的意识薄弱，有待培养和加强．本节课力图提高学生对平移、旋转变换的进一步认识，在培养学生的动态思维能力方面有所突破．本节课课件用几何画板软件设计,能很好贯彻本课的设计意图,【教学目标】1．知识与技能：通过动手操作，复习图形平移与旋转变换的主要特征;运用平移与旋转的特征解决实际问题，认识和欣赏两种变换的实际应用．2。能力与方法：在“做”的过程中了解探究动态问题的基本解决方法；在操作、观察、归纳等探索活动中，培养学生自主创新的能力.3．情感与价值观:认识并欣赏平移与旋转的数学美及其在生活中的应用,并能有意识地用所学的知识来观察分析现实情境中的平移旋转现象,提高审美能力．【重点难点分析】1．平移的特征：平移后的图形与原图形的对应线段平行(平移后的对应线段也可能在一条直线上)且相等、对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变．2．旋转的特征：图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的离相等,对应线段相等，对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。【教法和学法】启发式、探究式．【教学过程】CBACBAA1C1B1图11．如图1,将△ABC沿着水平向右的方向平移到△A1B1Ｃ1的位置师：围绕平移的性质提出问题,生:回答、补充，叙述完整．BAA1C1B1CO图2师：归纳结论，平移后的图形与原图形（注意学生数学语言的正确表述）:⑴BAA1C1B1CO图2２．如图2，将△ＡBC绕形外一点O按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置师：请学生先想象、再观看老师的演示,并结合图形，回忆一下旋转前、后三角形的哪些发生了改变？哪些没有发生改变?生:旋转前后的三角形的位置改变了,但形状和大小都没有改变．师:图形的旋转有哪些性质?生：⑴旋转前、后的图形全等，即旋转不改变图形的大小、形状;⑵对应点到旋转中心的距离相等；⑶每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。设计意图:选择从学生熟悉的知识点出发，遵循从感性认识上升到理性思维的认知规律,把图形形象的运动过程用《几何画板》课件直观地操作展示给学生,使原本黑板较难体现的数学知识具有生动的形象。二、讨论探究，解决问题活动１例1（1).观察下列图形，对其中一个三角形作怎样的变换可使两个三角形重合？DDEBCAFEDCBAFEDCBA图3解:⑴△AＢC沿着点Ｂ到点E的方向平移到△DBＥ的位置

;⑵后两幅图形都是△AＢC以ＣF的中点为旋转中心逆时针旋转１８0°得到△DEF.CFABDE（２）。已知：Ｒt△ＡBD绕直角顶点逆时针旋转90°得△ACFCFABDE解：猜想：CF=ＢD且CＦ⊥BD，理由如下,如图延长BD与ＣF交于点E,∵Ｒｔ△AＢD绕直角顶点逆时针旋转9０°得△ＡCF，∴ＢD=CF，∠C＝∠B；∵∠CAＦ=90°，∴∠C+∠Ｆ＝9０°,∴∠Ｂ+∠F=9０°，∴∠BＥF＝9０°;∴CF⊥BD,∴CF＝ＢD且CF⊥ＢD。图4反思：此题可利用图形旋转的特征来说明,注意线段的关系有数量上和位置上两种关系.图4设计意图：活动1中的练习安排解决一些简单的问题,既有图形识别,又有说理,这样由浅入深，在对所得结论不断观察、讨论、分析中,加深对概念的理解．活动2图①图②图③例2(1）.如图5，在方格纸中有形状、大小都一样的两个图形。⑴将左下角的图形绕其右边的顶点A顺时针旋转９0°,图①图②图③分析:⑴是旋转变换，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，也就是找出“关键点”，以局部带动整体进行旋转。⑵是平移变换，注意多次平移也可以以一次平移达到目的．图5解:⑴将左下角的图①绕其右边的顶点Ａ顺时针旋转90°后得到图②;图5⑵图②通过向上平移４个单位长度再向右平移3个单位长度得到图③或图②通过向右平移3个单位长度再向上平移4个单位长度得到图③，当然也可以通过一次平移得到。（２）．如图6，四边形ABCD是一个矩形,长30cｍ，宽20cm，Ｅ、F、G、H分别是边AＤ及BC边上的三等分点，以ＡE为直径作半圆,以AF为半径,F、D为圆心分别作四分之一圆，求图中阴影部分的面积.(取3。1４图６分析：将ｅｑ\ｆ(1，4)圆沿着ＥＡ的方向平移AE的长度后，通过平移，所求的阴影部分的面积全部落在长方形EDCH内（《几何画板》课件中有相应的颜色直观呈现）．图６略解：S阴影=eq\f(1,２)ｒ2+10×20=eq\f（1,２）×３．1４×52+200=239。２5(cm２)．∴阴影部分的面积为239.25反思：学生通常会用计算和差的方法解决此问题,而本题中通过平移变换后，将所求的不规则图形面积转换成长方形面积,将形和数的关系和谐地对应起来，解题也就变得十分简单明确了．设计意图:活动2设计了一组平移变换、旋转变换、旋转作图的综合练习，要求学生认真审清题意，会动态地分析题设条件，逐问逐步地解决问题,对学生解题的条理性提出较高要求．ADCP'ADCP'BP例3。已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、ＰB、ＰC，将△PAB绕点B顺时针旋转9０°到△Ｐ'ＡB的位置．⑴设AB=ａ，ＰB=ｂ(b＜a），求△PAB旋转到△P＇CＢ的过程中边PA所扫过区域的面积?⑵若PＢ=4，求P＇P的长.分析：本题要从图形的旋转特征入手分析，要动态分析图形的组合关系．解：⑴将△PAB旋转到△P’AＢ的位置可得阴影部分面积为圆环的，故有Ｓ阴影=（）；(2）连结ＰＰ'，证△PBP＇为等腰直图7角三角形，可证得△ＰP＇C为直角三角形，易证P’C＝PA=2,PＰ＇=。图7EDCBA例4。如图8,△ACＤ、△AEＢ都是等腰直角三角形,∠CAD=∠EAB=90°．⑴画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转9０°后的三角形。⑵探究：能否改变△AＢC两侧图形的形状，使△AEＣ通过旋转后能与EDCBA图8分析：根据等腰直角三角形的性质可知,AＥ＝AB，AD=ＡＣ，∠ＣＡＤ＝∠ＥAB=90°．所以把点E绕点A逆时针旋转９0°后可与点B重合．同理可知,把点C绕点A逆时针旋转９０°后可与点D重合，由于△ＡCE各顶点绕同一点以同样的方式旋转相同的角度后与△ADB的各顶点对应重合,所以我们可以把△AＤB看成是由△ACE经旋转得到的．图8CBAEDCBAEDCBACBAED21CBAED解:⑴△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转9０°得到CBAEDCBAEDCBACBAED21CBAED图9图9设计意图：例3中用课件设计了阴影部分的动态生成过程（图10),让学生欣赏图形变换带来的运动美,充分体现了利用几何变换的性质来解决数学问题的优越性．例4重在旋转特征的应用,通过动手实践（要留给学生充分的时间)，主动建构图形，对学生的归纳能力、创新能力提出较高要求。当堂课内练习如图１1，园林小路，曲径通幽.图所中的小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形石板的总面积大？请说明理由。GFEGFEDCBA外内图10图11图10图11分析：请仔细观察图形的结构：容易看出，两个相邻的正方形只有一个顶点重合，它们之间夹着一个外圈的三角形石板与一个内圈的三角形石板.因此内、外圈三角形总个数是相等的。我们取两个相邻的正方形石板与所夹的内外圈各一个三角形石板的构图分析，如图，不难发现∠EAF+∠BAＣ=180°。将△BＡC绕A点顺时针旋转90°补到△EAD的位置．由于∠ＥAF+∠ＢAC＝１８0°，所以Ｄ、A、F在一条直线上．又AD=AC，从而AD＝AF.于是△EAD与△EＡＦ是等底同高的三角形，因此它们的面积相等．也就是△ＡBC与△EAF的面积相等。由于两个相接触的正方形所夹的外圈三角形面积等于内圈三角形面积，所以内圈三角形石板总面积等于外圈三角形石板的总面积。解：略．四、课堂小结你从本课的学习中，学到了哪些知识,受到了哪些启发？本节课主要通过一些图例的分析探究，初步形成动态思维。要逐步学会用数形结合的思想、运动的观点理解掌握平移与旋转变换的特征，从而提高应用知识解决问题的能力。五、作业布置略评析：图形的旋转和平移在初中数学中运用十分广泛，对学生分析问题、综合解题能力的要求颇高，被普遍认为是初中数学教学中的一个难点．本教案的设计者在深刻挖掘教材内容的基础上，遵循学生的认知规律,注重学生的主体意识，精心设计习题，并充分利用多媒体的辅助教学功能，有效地促进了教学目标的达成。对整个教学设计的流程，感受最深的有以下几点:1.注重学生的主体意识，发挥教师主导作用本节课从利用多媒体演示图形的变换入手，由学生回顾与总结平移与旋转的特征，不仅复习了旧知识,而且可以引导学生逐步学会反思、总结，提高自主学习的能力.在整个课堂教学中，随着“动手试一试”、“帮忙算一算”、“动手证一证”等各个环节的展开,让学生亲身体验“实验操作——探索发现—-科学论证”的过程，尊重学生的认知规律；解决问题时由学生自己提出方案，主体地位得到了尊重.课后思考题“动脑想一想”的安排,为学有余力的学生提供了思考的空间,有利于培养学生用发展的眼光看问题的能力，善于观察运动中的“形异实同”，提高学习的效率,培养思维的深刻性．教师在教学活动中以学习的组织者、引导者、合作者的身份，发挥主导的作用．鼓励学生大胆探索、关注过程，关键之处加以点拨.利用多媒体的省时、高效以及对数学实验的巨大帮助,恰到好处地进行演示。2。精心设计习题,启迪学生思维教师始终能按照数学知识的逻辑顺序选择恰当的课堂结构，正确组织课堂内容，重点突出．把主要精力放在问题的探究、归纳和应用上．在习题的设计上，尤见精心。“动手试一试”注重学生的操作动手能力及归纳能力的培养,并给学生提供了探索交流的空间。“帮忙算一算”环节,教师在深入研究教材的基础上，利用课本79页习题进行深化推广，进行多角度、多方面的发散思考,发挥习题的教学功能．使学生将学过的知识自然融入新情景,体会“动”的过程，并探究在“静"的状态下寻求解决问题的途径．在“动手证一证”环节设计了探究性问题，有利于培养学生自主探究的意识和热情.在整堂课的结尾，设计了类比型拓展性问题供学生课后探索，启迪学生思维，把学生的思维引入更广的空间,使学生深刻地理解知识并感受数学内部的和谐美．培养学生研究性学习的能力，以利其终生学习。３。充分利用多媒体优势，体现几何直观性本节课内容是从运动变化的角度去探索和认识空间与图形，如果本课教学时，没有动态素材的呈现，是很难达到教学目标的．教学中，教师有效利用多媒体使学生感知平移和旋转现象，让学生充分应用多种感知通道来感悟平移和旋转的特点，突破了教学的难点；综合应用时，动态呈现富有情趣的练习,使学生充满好奇，画面的动态效果提高了学生练习的兴趣．利用多媒体优势来辅助教学，使本来不容易反映的某些数学变化过程和规律性内容直观地呈现出来，非常有利于学生认知。对学生学习兴趣的提高,理解能力、探究