（全国通用）2023年高考数学一轮复习单元滚动检测十三推理与证明、算法、复数理新人教B版

PAGEPAGE1考生注意：1．本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，总分值150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2022·青岛质检)设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，那么实数a的值为()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)2．观察以下各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，那么72016的末两位数字为()A．49B．43C．07D．013．(2022·黄岗质检)某程序框图如下图，那么执行该程序后输出的结果是()A．2B．－1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥05．(2022·安徽“江淮十校〞第三次联考)我国古代数学名著?九章算术?中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣．〞其表达的是一种无限与有限的转化过程，比方在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…〞即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程eq\r(2＋x)＝x确定x＝2，那么1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))等于()A.eq\f(－\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1－\r(5),2)6．(2022·宝鸡质检)定义某种运算s＝ab，运算原理如程序框图所示，那么2lneq\r(e)＋2(eq\f(1,3))－1的值为()A．12B．11C．8D．47．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，那么f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋18．(2022·沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(127,64)(n∈N＋)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．109．(2022·西安地区八校联考)执行如下图的程序框图，假设输出的值是13，那么判断框内应为()A．k＜6B．k≤6C．k＜7D．k≤710．(2022·陕西第三次质检)整数按如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个数对是()A．(4,8)B．(5,7)C．(6,6)D．(7,5)11．(2022·湖南长郡中学月考二)某电商在“双十一〞期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类(n∈N＋)，分别编号为1,2，…，n，买家共有m名(m∈N＋，m＜n)，分别编号为1,2，…，m.假设aij＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，第i名买家购置第j类商品，,0，第i名买家不购置第j类商品，))1≤i≤m,1≤j≤n，那么同时购置第1类和第2类商品的人数是()A．a11＋a12＋…＋a1m＋a21＋a22＋…＋aB．a11＋a21＋…＋am1＋a12＋a22＋…＋am2C．a11a12＋a21a22＋…＋am1aD．a11a21＋a12a22＋…＋a1m12．(2022·陕西质检二)小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①假设a1＜a2＜a3＜…＜a10，那么必是第一题答错，其余题均答对；②假设a1＞a2＞a3＞…＞a10，那么必是第一题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10其中正确的个数是()A．1B．0C．3D．2第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．i为虚数单位，a∈R.假设a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，那么复数z＝a＋(a－2)i在复平面内对应的点位于第________象限．14．(2022·济南一模)执行如下图的程序框图，如果输出的函数值在区间[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]内，那么输入的实数x的取值范围是________．15．(2022·湖南长郡中学月考)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂〞：23＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，,5，))33＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7，,9，,11，))43＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13，,15，,17，,19，))….依此，假设m3的“分裂数〞中有一个是2015，那么m＝________.16．?孙子算经?卷下第二十六题：今有物，不知其数(shù)，三三数(shǔ)之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？________.(只写出一个答案即可)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，求z·eq\x\to(z)的值；(2)求满足eq\f(z＋i,z)＝i(i为虚数单位)的复数z；(3)计算(eq\f(\r(2),1－i))2016＋(eq\f(1＋i,1－i))6(i是虚数单位)．18.(12分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下变换公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除，,\f(x,2)＋13x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.))将明文转换成密文，如8→eq\f(8,2)＋13＝17，即h变成q；如5→eq\f(5＋1,2)＝3，即e变成c.(1)按上述规定，将明文good译成的密文是什么？(2)按上述规定，假设将某明文译成的英文是shxc，那么原来的明文是什么？19.(12分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入；②从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算；③输出函数值y.假设D＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x＋1，g(x)＝x2.(1)求y＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率.20.(12分)用数学归纳法证明不等式eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1)(n∈N＋).21.(12分)在△ABC中，假设AB⊥AC，AD⊥BC于点D，那么eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).类比上述结论，在四面体ABCD中，你能得到怎样的猜测，并予以证明.22.(12分)a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)假设f(x)＝a·b，且x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]，求函数f(x)的最大值及最小值.

答案精析1．A[∵eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i，∴eq\f(2－a,5)＝0，eq\f(2a＋1,5)≠0，∴a＝2.应选A.]2．D[71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2016＝4×504，所以72016的末两位数字必定和74的末两位数字相同，应选D.]3．C[由于a＝2，i＝1；a＝eq\f(1,2)，i＝2；a＝－1，i＝3；a＝2，i＝4；…，由此规律可知，a＝2，i＝3k＋1；a＝eq\f(1,2)，i＝3k＋2；a＝－1，i＝3k＋3，其中k∈N＋.从而可知当i＝20时，退出循环，此时a＝eq\f(1,2).]4．D[要证a2＋b2－1－a2b2≤0，即证a2b2－a2－b2＋1≥0，只要证(a2－1)(b2－1)≥0.]5．C[设1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，那么1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)．故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，应选C.]6．A[由程序框图知s＝ab＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋1，a≥b，,ba＋1，a＜b，))∴2lneq\r(e)＝2eq\f(1,2)＝3,2(eq\f(1,3))－1＝23＝9，∴2lneq\r(e)＋2(eq\f(1,3))－1＝12，应选A.]7．C[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域，应选C.]8．B[据可转化为eq\f(1×1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＞eq\f(127,64)，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8，应选B.]9．A[依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k＝1，c＝2，a＝1，b＝2；进行第二次循环时，k＝2，c＝3，a＝2，b＝3；进行第三次循环时，k＝3，c＝5，a＝3，b＝5；进行第四次循环时，k＝4，c＝8，a＝5，b＝8；进行第五次循环时，k＝5，c＝13，a＝8，b＝13；进行第六次循环时，k＝6，因此当输出的值是13时，判断框内应为k＜6.]10．B[由数对得数对中两个数的和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3对，…，和为n的有n－1对，且和相等的数对的第一个数以1为公差递增，从n＝2到n＝11共有数对1＋2＋3＋…＋10＝55，n＝12时有11个数对，分别是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，故第60个数对是(5,7)，应选B.]11．C[因为aij＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，第i名买家购置第j类商品，,0，第i名买家不购置第j类商品，))1≤i≤m,1≤j≤n，所以假设第i名买家同时购置第1类和第2类商品，那么ai1ai2＝1，否那么ai1ai2＝0，所以同时购置第1类和第2类商品的人数是a11a12＋a21a22＋…＋am1am2，应选C.]12．C[对于①，假设第一题答对，那么a1＝1，a1≥a2，与题意不符，所以第一题答错，假设剩余的9道题有答错的，不妨设第k(k≥2)道题答错，那么ak≤ak－1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，假设第一道题答错，那么a1＝0，a1≤a2，与题意不符，所以第一题答对，假设剩余的9道题有答对的，不妨设第k(k≥2)道题答对，那么ak≤ak－1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x道题，后5道题答对y道题，那么由a5＝2a10得eq\f(x,5)＝2·eq\f(x＋y,10)，解得y＝0，即当后5道题均答错时，a5＝2a10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3，应选C.]13．四解析因为a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，所以a＝1.所以z＝1－i对应的点在第四象限．14．[－2，－1]解析假设x∉[－2,2]，那么f(x)＝2∉[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，不合题意；当x∈[－2,2]时，f(x)＝2x∈[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]，得x∈[－2，－1]．15．45解析由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2015是第1008个奇数，假设它是m的分解，那么1至m－1的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个．∴1＋2＋3＋…＋(m－1)<1008,1＋2＋3＋…＋(m－1)＋m≥1008，即eq\f(mm－1,2)<1008，eq\f(mm＋1,2)≥1008，解得m＝45.16．23(23＋105(n－1)，n∈N＋均可)解析由题意可得物体的个数为3m＋2＝5n＋3＝7km，n，k∈N＋，所以物体的个数可以是23.17．解(1)∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝(－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i)(－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i)＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).(2)由得，z＋i＝zi，那么z(1－i)＝－i，即z＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(－i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(i,2).(3)原式＝[(eq\f(\r(2),1－i))2]1008＋(eq\f(1＋i,1－i))6＝(eq\f(2,－2i))1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1－1＝0.18．解(1)g→7→eq\f(7＋1,2)＝4→d；o→15→eq\f(15＋1,2)＝8→h；d→4→eq\f(4,2)＋13＝15→o.那么明文good的密文为dhho.(2)逆变换公式为x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－1x′∈N，1≤x′≤13，,2x′－26x′∈N，14≤x′≤26，))那么有s→19→2×19－26＝12→l；h→8→2×8－1＝15→o；x→24→2×24－26＝22→v；c→3→2×3－1＝5→e.故密文shxc的明文为love.19．解(1)∵D＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x＋1，g(x)＝x2.∴第一步：从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入，共有5种方法，第二步：从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，g(5)，10种方法，而满足y＝4的有f(1)，g(2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y＝4的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f(2)，f(4)，g(1)，g(3)，g(5)，共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).20．证明①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式＞右式，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)成立，那么当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))，要证当n＝k＋1时不等式成立，只需证eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)，即证eq\f(2k＋3,2)≥eq\r(k＋1k＋2)，由均值不等式eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)≥eq\r(k＋1k＋2)成立，得eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))≥eq\r(k＋2)成立，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，当n∈N＋时，不等式eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1)成立．21．解猜测：在四面体ABCD中，假设AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，那么eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如下图，连接并延长BE，交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂ACD，∴AB⊥平面A