图形的平移与旋转（八年级下册）

第三章图形的平移与旋转1图形的平移第1课时平移的概念与性质【知识与技能】1.认识平移、理解平移定义；2.理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质；3.能画出简单图形的平移图.【过程与方法】通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等.对应线段和对应角分别相等的性质.【情感态度】通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等.对应线段和对应角分别相等的性质.【教学难点】理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等的性质.一.情景导入，初步认知1.引入问题，出现课题.请你判断：小明跟着妈妈乘观光电梯上楼，一会儿，小明兴奋地大叫起来：“妈妈！妈妈！你看我长高了！我比对面的大楼还要高！”小明说的对吗？为什么？2.接触平移现象.教师通过多媒体展示（展示画面）现实生活中平移的具体实例：（1）箱子在传送带上移动的过程；（2）手扶电梯上人的移动的过程.教师提问：①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在平移前后什么没有改变，什么发生了改变吗？②在传送带上，如果箱子的某一按键向前移动了80cm，那么电视机的其它部位（如屏幕左上角的图标）向什么方向移动？移动了多少距离？③如果把移动前后的同一箱子看成长方体（多媒体演示书上的图3-2），那么四边形与四边形的形状、大小是否相同？【教学说明】通过实际问题引入新课，提高学生学习兴趣.二.思考探究，获取新知探究1：探求平移的定义.根据上述分析，你能说明什么样的图形运动称为平移？【归纳结论】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.【教学说明】教师引导学生从语句的主谓分析来看待以上几个句子，让学生自己总结平移的概念.探究2：平移的性质.学生结合P65图3-1的内容和P66图3-2的内容自主学习.【归纳结论】经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.三.运用新知，深化理解1.见教材P66例1.2.下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是()答案：D3.在平移过程中,对应线段()A.互相平行且相等B.互相垂直且相等C.互相平行(或在同一条直线上)且相等答案：A4.如图所示,平移△ABC可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠E=_____度,∠EDF=_____度,∠F=_____度,∠DOB=_____度.答案：705060605.如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．无法确定答案：B.6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余,将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为______三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=______．答案：直角6cm【教学说明】通过练习，进一步了解平移的概念和性质.四.师生互动,课堂小结组织学生小结这节课所学的内容，并作适当的补充.布置作业:教材“习题3.1”通过本节课的学习，学生都能了解并掌握平移的概念和性质，且能灵活应用.学生学得较轻松，效果较好.第2课时平移作图与平移的坐标变换【知识与技能】能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移的实质是点坐标的对应变换.【过程与方法】经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念，培养合作交流能力.【情感态度】进一步发展数形结合思想与空间观念，培养合作交流能力.【教学重点】理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.【教学难点】理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.一.情景导入，初步认知图中的“鱼”是将坐标为（0,0），（5,4），（3,0），（5,1），（5，-1），（3,0），（4，-2），（0,0）的点用线段一次连接而成的，将这条“鱼”向右平移5个单位长度.（1）画出平移后的新“鱼”.（2）在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？请你先想一想，然后再具体做一做.【教学说明】通过画鱼，提高学生动手操作能力.二.思考探究，获取新知探究：坐标系中的图形平移变换学生自主学习P69、P72想一想、做一做【教学说明】探索平移的坐标特征，对学生来讲比较容易，可以放手让学生来做.【归纳结论】一个图形一次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.三.运用新知，深化理解1.见教材P72例22.①在图中标出△ABC各顶点的坐标；②△ABC向右平移_______个单位得到△A1B1C1的，在图中标出△A1B1C③△ABC是怎样平移到△A2B2C23.如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1，并写出点【教学说明】对坐标系中的平移有进一步的认识，灵活运用解决相关问题.四.师生互动,课堂小结1.纵坐标不变，横坐标分别增加（减少）a个单位时，图形_________________平移a个单位；2.横坐标不变，纵坐标分别增加（减少）a个单位时，图形_________________平移a个单位；布置作业:教材“习题3.3”本节课学生在画图的基础上，了解图形在平面直角坐标系中坐标的变化情况，既便于记忆，又锻炼了学生的动手能力.2图形的旋转第1课时旋转的概念与性质【知识与技能】了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质【过程与方法】通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.【情感态度】通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质，发展初步的审美能力.【教学重点】了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.【教学难点】了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.一.情景导入，初步认知1.向学生展示有关的图片：(1)时钟上的秒针在不停的转动；（并介绍顺时针方向和逆时针方向）(2)大风车的转动；(3)飞速转动的电风扇叶片；(4)汽车上的括水器；(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案.2.演示俄罗斯方块游戏.【教学说明】通过观察图片、演示俄罗斯方块游戏，我们发现构成游戏的模块均是由一个小正方形平移变换而来；学生通过玩游戏，发现除了平移运动之外还有旋转运动；通过引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例，我们可以引出课题：“生活中的旋转”.二.思考探究，获取新知探究1:旋转的有关概念试一试,请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转.图1：在同一平面内，点A绕着定点O旋转某一角度得到点B；图2：在同一平面内，线段AB绕着定点O旋转某一角度得到线段CD；图3：在同一平面内，三角形ABC绕着定点O旋转某一角度得到三角形DEF【教学说明】观察了上面图形的运动，引导学生归纳图形旋转的概念.【归纳结论】把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.探究2：旋转的性质.如图，在硬纸板上，挖出一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.问题：请指出旋转中心和各对应点，哪一个角是旋转角？1．从我们看到的旋转现象以及你所完成的实验中，你认为旋转主要因素是什么？2．在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？猜想线段OA与线段OD是什么关系（这里包括数量关系和位置关系）？线段OB和OE，OC和OF呢？AB与DE呢？3．你能通过度量角的方法得出旋转角度吗？你准备度量哪个角？【归纳结论】1.旋转前后的图形全等；2.对应点到旋转中心的距离相等；3.对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角.三.运用新知，深化理解1.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么?（2）经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？（3）旋转角是什么？（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？解：（1）O;（2）D、E（3）∠BOE和∠AOD（4）相等（5）相等2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）A.旋转使图形的形状发生改变B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D.对应点到旋转中心距离相等答案：D.3.如图把正方形绕着点O旋转，至少要旋转度后与原来的图形重合．答案：90.4.如图：P是等边△ABC内的一点，把△ABP通过旋转分别得到△BQC和△ACR，（1）指出旋转中心.旋转方向和旋转角度？（2）△ACR是否可以直接通过把△BQC旋转得到？（3）若PA=5，PC=4，PB=3，则△PQC是什么三角形？【教学说明】让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质.四.师生互动,课堂小结引导学生从以下几个方面进行小结：(1)这节课你学到了什么?(2)对自己的学习情况进行评价.布置作业:教材“习题3.4”在教学中，要引导学生画图，观察图形，从图形中得到的概念、规律，这样便于学生掌握本节课的内容.第2课时旋转作图与旋转的坐标变换【知识与技能】1.简单平面图形旋转后的图形的作法;2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.【过程与方法】通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.【情感态度】对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念【教学重点】简单平面图形旋转后的图形的作法.【教学难点】简单平面图形旋转后的图形的作法.一.情景导入，初步认知1.下列一组图形变换属于旋转变换的是（）2．大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点O旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？这节课我们就来研究：简单的旋转作图.【教学说明】通过作图，为本节课的教学作准备.二.思考探究，获取新知如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.【教学说明】本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF.【归纳结论】确定一个三角形旋转后的位置的条件为：(1)三角形原来的位置;(2)旋转中心;(3)旋转角.三.运用新知，深化理解1.已知点A的坐标为(a，b)，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（）．A．(－a，b)B．(a，－b)C．(－b，a)D．(b，－a)答案：C.2.如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为（-2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A'的坐标为（）A.（2，2）B.（2，4）C.（4，2）D.（1，2）答案：B.3.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是________．答案：（7,3）.4.已知点O是△ABC边AC的中点，试画出△ABC绕点O旋转180度后的图形，得到的图形和原来的图形组成什么图形？5.在五边形ABCDE中，AB=+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.求证：AD平分∠CDE.证明：连接AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，所以AB与AE重合.因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D，E，F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.在△ADC与△ADF中，DF=DE+EF=DE+BC=CD，AF=AC,AD=AD所以,△ADC≌△ADF(SSS)，因此，∠ADC=∠ADF，即：AD平分∠CDE【教学说明】学生独立完成，教师作适当提示.四.师生互动、课堂小结本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置，需要有三个条件：①此三角形原来的位置；②旋转中心；③旋转角.在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形；要注意语言的表达.布置作业:教材“习题3.5”在教学的全过程中，通过提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律，通过让学生回顾自己的换作过程和观察自己的画图作品体会、归纳出特征，有效地培养了学生的合作交流、独立思考问题、解决问题的能力.练习的设计，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活与实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”.3中心对称【知识与技能】1．认识中心对称的概念；2．能综合运用变换解决有关问题.【过程与方法】通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解轴对称、平移、旋转及组合等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系.【情感态度】运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.【教学重点】中心对称图形及轴对称图形的区别与联系.【教学难点】综合运用变换解决有关问题.一.情景导入，初步认知阅读并完成P81引例，【教学说明】通过观察发现两幅图形的内在关系，这个活动为课堂提供了极好的素材，也将极大地激发了学生学习的积极性与主动性.二.思考探究，获取新知1.观察下图，它们是什么图形？【归纳结论】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．在成中心对称的那个图形中，对应点所连线段经过对称中心，并被对称中心平分.2.中心对称与轴对称的联系与区别3.作图（1）选择点O为对称中心，画出已知点A关于点O的对称点A′；（2）选择点O为对称中心，画出与已知△ABC关于点O对称的△A′B′C′.【教学说明】通过以上作图、观察，理解中心对称的概念、性质.三.运用新知，深化理解1.见教材P82例题.2.下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）个A．1B．2C．3D．4答案：D.3.下列图形中，是中心对称图形的是（）．答案：A4.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：A5.已知下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②关于中心对称的两个图形是全等形；③两个全等的图形一定关于中心对称；其中真命题的个数是（）．A．0B．1C．2D．3答案：B6.如图，在正方形ABCD中，作出关于B点对称的图形．7.如图，△ABC与△A′B′C′关于某一点成中心对称，画出对称中心.【教学说明】通过对中心对称图形的认识，并做相应的练习，可以更容易掌握本节知识点.四.师生互动,课堂小结先小组内分享收获感想然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充.布置作业:教材“习题3.6”八下的学生已经掌握旋转变换和轴对称变换，并且在七下就已经学过旋转变换的作图，而中心对称本身就是旋转变换的一种特殊情况，因此只要让学生通过类比就可以得到画一个已知图形的中心对称图形的画法，不足以成为本节课的难点，而探索中心对称图形的性质是根据特殊到一般的认识方法，探索过程非常重要，特别是性质的掌握也有助于学生应用性质作图、证明、解释生活当中的一些现象.4简单的图案设计【知识与技能】能够灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.【过程与方法】通过观察图形，发展空间观念.【情感态度】知道平移、旋转在现实生活中的应用，进一步发展空间观念，增强审判意识.【教学重点】能灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.【教学难点】能灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.一.情景导入，初步认知P85引例(用平移、旋转或轴对称分析图案的形成)【教学说明】对教材给出的六个图案通过观察、分析进行议论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向.其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以看作是由“基本图案”通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以看作是由“基本图案”通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），图（2）还可以看作是由“基本图案”通过平移形成.二.思考探究，获取新知提问：1．基本图案是什么？有几个？2．分析同色“爬虫”、异色“爬虫”之间的关系.【教学说明】教师引导学生发现：这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”（绿、白、黑），形状、大小完全相同.在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点.三.运用新知，深化理解1.国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（）A.轴对称B.平移C.旋转D.平移和旋转答案：D2.起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（）A.轴对称B.平移C.旋转D.变形答案：B3.下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.这个图形可以按照以下步骤形成的.以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形.②将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°.③分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题：（1）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160°后能否与△CDF重合？为什么？（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？【教学说明】对本节知识进行巩固练习、使学生具有在发展空间观念的同时能够灵活运用平移旋转轴对称的组合进行一定的图案设计的能力.四.师生互动，课堂小结先小组内交流，收获感想后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题3.7”学生经过学习对轴对称、平移、旋转等图形变换的特点有了全面的认识.通过练习，进一步完善对合理选择变换方式的把握，是对这一章的学习由理论上的探求迈向实际应用的第一步.通过问题的解答，利用图形不同的变化，学生了解生活中丰富多彩、千变万化的图形世界，形成初步思路，对本节课的内容有一个整体的感受，通过图形间的变换关系，学生认识到一切事物的变化可以通过一系列基本变化的组合得到，体会事物从量变到质变的过程，培养学生创新思维能力.章末复习【知识与技能】1.平移的基本涵义及其性质；2.旋转的基本涵义及其性质；3.能按要求作出简单平面图形平移后或旋转后的图形；4.图形之间的变换关系；5.运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.【过程与方法】通过回顾进一步理解平移、旋转的基本性质，并能准确作出简单平面图形平移、旋转后的图形.【情感态度】通过回顾与思考，进一步发展学生的空间观念，培养其操作技能，增强审美意识.【教学重点】理解平移、旋转与中心对称的概念和性质.掌握坐标系中平移、对称的坐标特征【教学难点】灵活运用平移、旋转与中心对称的概念和性质解决相关图形问题知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解1.平移平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行且相等.2.旋转旋转的概念：把一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角.旋转的性质：旋转前、后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.3.轴对称如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形.4.中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形的联系与区别：区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.【教学说明】我们通过分组讨论，解决了具有能反映本章内容的一串问题.加深学生的了解.三.典例精析，复习新知1.如图，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A＇B＇C，A＇B＇交AC于点D，若∠A＇DC=90°，则∠A的度数是__________．答案：55°2.下列图案中，含有旋转变换的有()．个个个个答案：A3.下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有（）①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角⑥平行四边形A.5个B.2个C.3个D.4个答案：D4.△DEF是△ABC先向左平移3㎝，再绕左边的顶点逆时针旋转30°得到的，画出△ABC．5.如图,四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E,△BEA旋转后能与△DFA重合．（1）旋转中心是哪一点?（2）旋转了多少度?（3）若AE=5㎝,求四边形AECF的面积．解：（1）A点（2）90°（3）25【教学说明】学生在思考问题的过程中体会平移与旋转的特点和性质，有助于加深对旧知识的理解，让掌握知识和熟练技能有机结合四.复习训练，巩固提高1.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°答案：B2.△ABC和△A'B'C'关于点O对称，下列结论不正确的是（）.A．OA=A'OB．AB∥A'B'C．CO=BOD．∠BAC=∠B'A'C'答案：C3.下列的说法中,正确的是（）A.会重合的图形一定是轴对称图形B.中心对称图形一定是会重合的图形C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心D.两个会重合的三角