北师版八年级数学上册章节教案

2北师版八年级数学第1勾股定理2一．知识归纳１．勾定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别ab，斜边，那勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出“勾三，股四，弦”形式的股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：

4S

正形

正形ABCD

，

14abb)2

，化简可证．D

b

a

Aa

DH

a

b

c

bE

Fb

a

b

a

c

EaA

B

a

b

B

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为

Sa

a

ab

所以

a

方法三：

1(a)2

，

1abc

，化简得证３.勾股定理的用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边ABC中cbc

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系1

③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的定理如果三角形三边bc满a

，那么这个三角形是直角三角形，其为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a

与较长边的平方

作比较若它们相等时以

，b

，

为三边的三角形是直角三角形若

a

时，以

，

，

为三边的三角形是钝角三角形；若

a

，时，以

，

，

为三边的三角形是锐角三角形；②定理bca

只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长c满足a

，那么以三边的三角形是直角三角形，但b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即

a

中，

，

，

为正整数时，称

，

，

为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，5,12,137,24,25等③用含字母的代数式表勾股数：n2

（

为正整数2nn,2n2n

（

为正整数）

mnm

（

,为正整数）７．勾定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理定理的用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及逆定理应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

C

CA

B

AD

BD

A

BD

A题型一：直接考查勾股定理2

例１.

ABC

中，

．⑴已知

AC

，

BC

．求

的长⑵已知AB，，求BC的长分析：直接应用勾股定理解：⑴

ABAC

BC

⑵BCAC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴ABC中90ABcm，BCcmCDD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比3:4，斜边长5，则这三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为

cm

，斜边长为

3

，则这个三角形的面积为分析解直角三角形时想到勾股定理直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积时可根据勾股定理列方程求解解：⑴

ACAB

BC

，

CD

ACAB

A

CD

B

C

A

B⑵设两直角边的长分别为

，

k(3k)

k)

，

，

⑶设两直角边分别为

，

，则

，

a

，可得160S2

例３.ABCCCD，BD2.5求AC的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作

DEAB

于

，

，

DECD90BEBD

DE

RtACDRtAEDAE在

RtABC

中，

AB(AEEBAC例4.如答案：6

,别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积3

②，1325题型三：实际问题中应用勾股定理②，1325例如图有两棵树，一棵高

cm

，另一棵高

cm

，两树相距

cm

，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

D分析：根据题意建立数学模型，如图

AB

，

CDm

，

BC

，过点

D

作

DEAB

，垂足为

，则

AEm

，

DE在

Rt

中，由勾股定理得

ADAE

DE

答案：

m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为

，

，

，判定

ABC

是否为

①

1.5

，

，

②

a

54

，

，

c

23解：①ac2.5

是直角三角形且

Cba916

不是直角三角形例7.三边长ac满a的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：

)

，且

64a

所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已中cmBCcm，BC边上的中线

AD

，求证：

ABACABD证明：AD为中线，BDABD中，BD169，AD

，ADB

，

，

ACcm

，

AC4

2222A′DC′第8题一、选择题1-5DCACC6-8CBB9、10、2222A′DC′第8题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别a、b、，则下列结论中恒成立的是()A、2ab<c

2

B、2ab≥c

C、2ab>c

2

D、≤2、已xy为正数，且x-4│y-32

=0，如果xy的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A5、25C、7D153、直角三角形的一直角边长为12另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A、4个、5个C、个D8个4、下列命题①如果a、、c为一组勾股数，那么、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形④一个等腰直角三角形的三边是c

2

∶b

2

∶c

2

=2∶1∶1。其中正确的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④5、若△ABC的三边a、b、满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、、40或360D、80或3607、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，DAC上一点，且，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A、4B、C、5D4.5

ADD

CA

E

B

CD′CBAB第7题图B′第题图8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边㎝，㎝。现将直角边AC沿直AD折叠，使它落在斜边AB上，且与重合，则CD等于（）A、2㎝B、3㎝C、4㎝D、5㎝9.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点沿纸箱爬到，那么它所行的最短路线的长是_____________10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为米，问这里水深是________m。二.解答题1.如图，某沿海开放城市到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心沿BC方向以15km/h的速度向移动已知城市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长时间从点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？A

CDB

第1题图5

2、数组、4、5；5、、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若奇数为直角三角形的一直角边，用含n代数式表示斜边和另一直角边。并写出接下来的两组勾股数。3、一架方梯长25，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米）这个梯子的顶距地面有多高2果梯子的