第九章第02节-第一类曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质类似求平面薄板质量的思想,接受可得

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上随意两点间距离的最大者).2.定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做随意分割和局部区域随意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.假如是闭合曲面上的积分，习惯上写成记作3.性质【见书P86】1.定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明:由定义知而(光滑)三代：二换：一投：则即类似的，还有公式.则则则2.奇偶函数在对称曲面上的积分性质1)若曲面关于xoy面对称，1为在xoy面上方的部分，则有2)若曲面关于xoz面对称3)若曲面关于yoz面对称自己总结例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思索:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.

计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与原式=分别表示在平面例3.

计算其中是平面在第一卦限的部分.解1:从原式解出ABC【P87例1】例3.

计算其中是平面在第一卦限的部分.解2:所以原式ABC因为在上而或例4设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则机动书目上页下页返回结束思索:若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.求半径为R的匀整半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思索题:例4是否可用球面坐标计算?例5.计算解:取球面坐标系,则机动书目上页下页返回结束例6.计算其中是球面利用对称性可知解:明显球心为半径为利用重心公式例7.

计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.【比较P87例2】例8.

求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取说明：此题也可用曲线积分计算，见P84例5例9.

设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:

建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故运用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A三、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;（依据曲面的不同状况分为三种）留意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.思索题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思索题解答是曲面元的面积,故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)练习题练习题答案备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解:

在xoy面上的投影为

故2.设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动书目上页下页返回结束例1解解依对称性知：例3解（左右两片投影相同）例4解精品课件