实对称矩阵对角化

实对称矩阵对角化第一页，共六十一页，2022年，8月28日一、共轭矩阵共轭矩阵具有以下性质：定义定义2第二页，共六十一页，2022年，8月28日二、实对称矩阵的特征值与特征向量定理1

实对称矩阵的特征值都是实数.证3第三页，共六十一页，2022年，8月28日推论2实对称矩阵A的特征向量都是实向量.（重根按重数计算）推论14第四页，共六十一页，2022年，8月28日注意5第五页，共六十一页，2022年，8月28日证明于是定理6第六页，共六十一页，2022年，8月28日7第七页，共六十一页，2022年，8月28日不仅如此，一般的8第八页，共六十一页，2022年，8月28日三、实对称矩阵的相似对角化证明略定理39第九页，共六十一页，2022年，8月28日例实对称矩阵A与B相似证10第十页，共六十一页，2022年，8月28日利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法具体步骤为：将基础解系正交化;3.再将其单位化.4.11第十一页，共六十一页，2022年，8月28日这样共可得到个两两正交的单位特征向量有对角阵中的顺序注意要与特征向量的排列顺序一致。5.以为列向量构成正交矩阵12第十二页，共六十一页，2022年，8月28日解例求出正交矩阵使为对角阵.13第十三页，共六十一页，2022年，8月28日基础解系14第十四页，共六十一页，2022年，8月28日基础解系15第十五页，共六十一页，2022年，8月28日基础解系16第十六页，共六十一页，2022年，8月28日将特征向量正交化再将它们单位化17第十七页，共六十一页，2022年，8月28日为正交矩阵18第十八页，共六十一页，2022年，8月28日解

例19第十九页，共六十一页，2022年，8月28日20第二十页，共六十一页，2022年，8月28日21第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日22第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日23第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日先正交化，24第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日25第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日26第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日令

为正交矩阵

27第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日解练一练28第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日基础解系29第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日基础解系30第三十页，共六十一页，2022年，8月28日可逆矩阵31第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日32第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日33第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日正交矩阵34第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日

例求a,b的值与正交矩阵C,使

解35第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日36第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日37第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日例设n阶矩阵A的任何一行元素的和都是a,求A的一个特征值与特征向量.解38第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日39第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日例

解法1其余特征值为40第四十页，共六十一页，2022年，8月28日法241第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日例设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,

A对应于特征值1,2的特征向量分别是：解42第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日A的特征值是1,2,3,

43第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日解练一练44第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日45第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日小结1.

实对称矩阵的性质(一定能对角化)2.利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化．46第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日作业P2061，2，547第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日例

解48第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日49第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日50第五十页，共六十一页，2022年，8月28日51第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日解

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P，使为对角阵.(1)第一步求的特征值练一练52第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日解之得基础解系

解之得基础解系53第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化54第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日55第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日56第五十六页，共六十一页，2022年，8月28日57第五十七页，共六十一页，2022年，8月28日于是得正交阵58第五十八页，共六十一页，2022年，8月28日例