数字电路与系统设计第1章数制编码

数字电路

课程介绍张延军北京理工大学

课程介绍课程名称：数字电路教材：《数字电路与系统设计（修订版）》 丁志杰、赵宏图、梁淼， 北京理工大学出版社授课教师：张延军办公地点：4号楼406邮箱：March2,20232

教学内容数制与编码逻辑代数基础逻辑门电路组合电路的分析与设计触发器常用时序电路时序电路的分析与设计脉冲波形的产生与整形数模、模数变换器可编程器件概述March2,20233

作业与成绩评定作业：最好用作业纸做，方便装订留存成绩评定：期末考试决定最终成绩March2,20234

数字电路

第1章数制与编码张延军北京理工大学

本章内容1.1数制1.2数制转换1.3二进制符号数的表示方法1.4二-十进制编码（BCD码）1.5格雷（Gray）码1.6ASCII字符集1.7检错码和纠错码March2,20236

数制与编码人类在日常生活中如何表示数字？计算机中如何表示数字？March2,20237

二进制和十进制之间的关系是什么？还有别的常用的表示方法吗？十进制二进制

八进制、十六进制数制数制即记数法，人们用一组规定的符号和规则来表示数的方法March2,20238

数制的两个基本要素基数位权符号

规则数制基数：计数制中每一位数所用到的数码的个数。基数为N的计数制中，含有0、1、…、N-1,共N个数码，进位规律是“逢N进一”March2,20239

位权：数制中每一固定位置对应的单位值，即每一固定位置上数值“1”代表的值。例如：十进制中第二位的位权是10，第一位的位权是1。数制任意一个数均可写为多项式形式

(345.67)10=3×102+4×101+5×100+6×10-1+7×10-2

March2,202310

符号位权十进制数的基数为10，用到的10个符号为

0123456789数制其中R为R进制数的基数，Ki为0,1，……R-1范围内取值的数字。March2,202311

对于任意R进制数N，假设整数位数为n、小数位数为m二、八、十、十六进制数对于十进制有：(N)10=∑di·10i

其中，di的取值范围：0，1，2…9对于二进制有：(N)2=∑bi·2i

其中，bi的取值范围：0，1对于八进制有：(N)8=∑qi·8i

其中，qi的取值范围：0，1，2…7对于十六进制有：(N)16=∑hi·16i

其中，hi的取值范围：0，1，2…9，A，B，C，D，E，FMarch2,202312

二、八、十、十六进制数二进制：Binary,B八进制：Octal,O(Q)十进制：Decimal,D十六进制：Hexadecimal,HMarch2,202313

二、八、十六进制到十进制的转换March2,202314

转换方法：直接按加权相加即可例1

(101.001)2=1·22+0·21+1·20+0·2-1+0·2-2+1·2-3=(5.125)10例2

(32.56)8=3·81+2·80+5·8-1+6·8-2

=(26.71875)10例3

(ED.A)16=14·161+13·160+10·16-1

=(237.625)10十、二、八、十六进制对照表十进制二进制八进制十六进制0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F二八进制之间的转换March2,202316

转换方法：每三位二进制数对应一位八进制数。转换时从小数点向左、向右每3位为一组，直接写出对应的八进制数即可。小数点后最后一组要补足3位。

(10010111.1101)2=(010

010

111.110

100)2=(227.64)8(227.64)Q=(010

010

111.110

100)B

=(10010111.1101)B二十六进制之间的转换March2,202317

转换方法：四位二进制数对应一位十六进制数。转换时从小数点向左、向右每4位为一组，直接写出对应的十六进制数即可。小数点后最后一组要补足4位。。

(110110111.011)2=(0001

1011

0111.0110)2=(1B7.6)16(1C7.6)H=(0001

1100

0111.0110)B=(111000111.011)B八十六进制之间的转换March2,202318

转换方法：八进制数与十六进制数之间的转换可以通过转换为二进制数作为中间过程。

(1C7.6)16=(0001

1100

0111.0110)2=(111

000

111.011)2 =(707.3)8(707.3)8=(111

000

111.011)2 =(0001

1100

0111.0110)2=(1C7.6)161）整数部分用连除法，用2除所要转换的数，所得余数即为b0；再用2除上一步所得的商，所得余数为b1，……，直到商为0为止整数部分和小数部分分别进行转换十进制到二进制的转换March2,202319

例：(59)10=(?)2解： 所以(59)10=(111011)2

5929

0

1

3

7

14

1

1

1

0

1

1

b5

b4

b3

b2

b1

b0

/２

/２

/２

/２

/２

/２

十进制到二进制的转换202）小数部分用连乘法，将小数部分乘以2，所得积的整数部分即为b-1；积的小数部分再乘以2，所得积的整数部分为b-2……，一直乘到所要求的的精度为止例：(0.8125)10=(?)2解： 所以(0.8125)10=(0.1101)2精度问题：转换后小数位数的确定0.8125

0.625

0.25

0.5

0

1

1

0

1

b-1

b-2

b-3

b-4X２

X２

X２

X２

整数部分和小数部分分别进行转换十进制到二进制的转换21整数、小数分别进行转换，转换完成后，合到一起即可。(59.8125)10=(111011.1101)2

小数转换的精度转换后小数位数的确定给定位数根据精度确定March2,202322

(0.2)10=(0.……)2如果取8位小数，则为0.00110011如果要求精度为1%，则应满足[(0.2)10-(N)2]/(0.2)10<=0.01或这样估算位数：0.2*1%=0.0022-9=0.001953125<0.002，所以需要9位(0.001100110)2=(0.19921875)10十进制到八、十六进制的转换March2,202323

方法一：与十进制数转换成二进制数类似，整数部分连除以8（16），小数部分连乘以8（16）。例：(0.8125)10=(?)8解：0.81250.50 64 q-1q-2

所以(0.8125)10=(0.64)8例：(59)10=(?)8解：0759 73q1q0

所以(59)10=(73)8(59.08125)10=(73.64)8十进制到八、十六进制的转换(续)

March2,202324

方法一：与十进制数转换成二进制数类似，整数部分连除以8（16），小数部分连乘以8（16）。例：(0.8125)10=(?)16解：0.81250 D(13) h-1

所以(0.8125)10=(0.D)16例：(59)10=(?)16解：0759 3B(11)h1h0

所以(59)10=(3B)16(59.08125)10=(3B.D)16十进制到八、十六进制的转换March2,202325

方法二：现将十进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为八进制数或十六进制数。两种方法的比较：转换为二进制数算式较长，但运算简单；反之，算式较短，但运算较繁应该非常熟悉的数字2i,2i-1，i=0,1,…10,应该非常熟悉:29=51229-1=511210=1024210-1=1023210=1024≈1000210=1K64K=216=26*210220=1M230=1G232=4GMarch2,202326

二进制符号数的表示方法所谓符号数就是带正、负号的数在数字系统中所有信息均由二进制码表示数的正、负也由二进制码表示常用的符号数表示法有三种：原码表示法反码表示法补码表示法March2,202327

原码表示法用1位二进制数表示符号：0表示正数，1表示负数数的大小以该数的绝对值表示符号位通常放在最高位如某数字系统中用8位存储器存放数据，其中最高位为符号位，其余7位为数的绝对值March2,202328

原码表示法十进制表示二进制原码表示法(+37)10

00100101(-37)10-010010110100101(+0)10

00000000(-0)10-000000010000000(+127)10

01111111(-127)10-111111111111111March2,202329

例：数据位宽n=8，最高位为符号位n位数字采用原码可表示的数据范围：-(2n-1-1)~+(2n-1-1)0有两种表示方式：+0和-0反码0的反码为11的反码为0如：N=10011011则N反

=01100100March2,202330

反码：将二进制数的每一位分别求反而得到的二进制码符号数的反码表示法用1位二进制数表示符号：0表示正数，1表示负数正数的大小用原码表示，而负数的大小则以该数的反码表示符号位通常放在最高位如某数字系统中用八位存储器存放数据，其中最高位为符号位，其余7位存放该数的反码March2,202331

反码表示法十进制表示二进制反码表示法(+37)10

00100101(-37)10-010010111011010(+0)10

00000000(-0)10-000000011111111(+127)10

01111111(-127)10-111111110000000March2,202332

例：数据位宽n=8，最高位为符号位n位数字采用反码可表示的数据范围：-(2n-1-1)~+(2n-1-1)0有两种表示方式：+0和-0补码March2,202333

补码：设数N为有n位整数、m位小数的二进制数，则N的补码定义为：N的补码与N的大小有关，还与整数位数n有关，与小数位数m无关设n=8,则(11001)补.8=28-11001=11100111(11001.0101)补.8=28-11001.0101 =11100110.1011补码的求法方法一利用补码的定义可以求一个数的补码方法二将原码补足n位后求反加1即得其补码March2,202334

如：求(11001)在n=8时的补码

1）补齐8位：00011001

2）求反：11100110

3）加1：11100111较为繁琐，一般不用常用方法补码的求法方法二的证明根据定义：N的补码为2n-N=(2n-1-N)+12n-1为n位全为1的二进制数因此2n-1-N为N的反码得证：二进制数按位取反加1即得补码March2,202335

1000000001——————

11111111

1111111101101001

——————

10010110补码的求法方法三将原码补足n位后，从右往左第一个1及其右边的0不变，其余各位求反即得N的补码March2,202336

N=00100100=00100

100 (N)补.8=11011

100依据：100求反加1仍为100，其它位求反不变补码的求法小数的补码的求法：设整数部分位数n=8，求N=10010.01的补码整数部分补齐8位00010010.01求反：11101101.10加1：11101101.11March2,202337

补充概念反码又称为1的补码（1’scomplement)2n-1-N补码又称为2的补码（2’scomplement)2n-NN+(N)补=N+2n-N=2n

((N)补)补=N符号数的补码表示法用1位二进制数表示符号：0表示正数，1表示负数正数的大小用原码表示，而负数的大小则以该数绝对值的补码表示符号位通常放在最高位如某数字系统中用八位存储器存放数据，其中最高位为符号位，其余7位存放该数的补码March2,202339

符号数的补码表示法March2,202340

十进制表示二进制补码表示法(+37)10

00100101(-37)10-010010111011011(+0)10

00000000(-0)10-000000000000000(+127)10

01111111(-127)10-111111110000001(-128)10-1000000010000000例：数据位宽n=8，最高位为符号位n位数字采用补码可表示的数据范围：-(2n-1)~+(2n-1-1)+0和-0的表示方法相同A=(3)10=(0011)2问题1：如何求有符号数的相反数？March2,202341

原码表示法：只需将符号位取反，其余位不变A-A？-A=(-3)10=(1011)20B=(-2)10=(1010)2-B=(2)10=(0010)21A=(3)10=(0011)2反码表示法：将整个数值连同符号位一起取反（求反码）-A=(-3)10=(1100)2B=(-2)10=(1101)2-B=(2)10=(0010)2A=(3)10=(0011)2补码表示法：将整个数值连同符号位一起取反加1（求补码）-A=(-3)10=(1101)2B=(-2)10=(1110)2-B=(2)10=(0010)2A=(3)10=(0011)2问题2：如何扩展数据的宽度March2,202342

原码表示法：在符号位和数据位之间填充04位8位？A=(3)10=(00000011)2B=(-2)10=(1010)2B=(-2)10=(10000010)2A=(3)10=(0011)2反码表示法：直接进行符号扩展A=(3)10=(00000011)2B=(-2)10=(1101)2B=(-2)10=(11111101)2A=(3)10=(0011)2补码表示法：直接进行符号扩展A=(3)10=(00000011)2B=(-2)10=(1110)2B=(-2)10=(11111110)200000000利用补码求符号数的加减运算如果将加数和被加数均以其补码表示，则只用加法运算器就可完成加减运算这样做可以节省硬件，降低生产成本运算时符号位与其它位一样参与运算若符号位产生进位，则在结果中忽略该进位，不予考虑运算结果仍以补码形式表示March2,202343

利用补码求符号数的加减运算March2,202344

解：(A)补.8=00010011,(B)补.8=00001101 (-A)补.8=11101101,(-B)补.8=11110011A+B=10000000010011+0000110100100000-A+B=1111101011101101+0000110111111010A-B=11000010011+11110011100000110-A-B=1110000011101101+11110011111100000设n=8，有两个正数A=10011，B=1101。试用补码求A+B，A-B，B-A，-A-B利用补码求符号数的加减运算(证明)设有两个n位正数N1、N2，则-N1、-N2的补码表示分别为2n-N1和2n-N2。分四种情况讨论：

March2,202345

情况一：N1+N2两个正数相加，结果为正数情况二：N1-N2N1-N2=N1+2n-N2=2n-(N2-N1),若N2>N1,则结果为负，2n-(N2-N1)就是-(N2-N1)的补码表示形式；若N1>N2,则结果为2n+(N1-N2),2n位于第n位，为第n-1位的进位，位于n位运算器之外，舍去，故结果正确。利用补码求符号数的加减运算(证明)March2,202346

情况三：N2-N1与N1-N2类似情况四：-N1-N2-N1-N2=（2n-N1）+（2n-N2）=2n+[2n-（N1+N2）]其中第1个2n为第n-1位的进位，位于在第n位上，在n位运算器之外，舍去不管而[2n-(N1+N2)]就是负数-(N1+N2)的补码表示利用补码求符号数的加减运算_溢出March2,202347

设n=8，有两个正数A=110011，B=1101101。试用补码求A+B，A-B，B-A，-A-B解：(A)补.8=00110011,(B)补.8=01101101

(-A)补.8=11001101,(-B)补.8=10010011

A+B=10100000

00110011+0110110110100000A-B=11000110

00110011+10010011

11000110-A-B=01100000

11001101+10010011101100000-A+B=00111010

11001101+01101101

100111010利用补码求符号数的加减运算A+B(正数加正数)的结果为负数，而-A-B(负数加负数)的结果为正数，显然结果是错误的；而-A+B和A-B结果正确。两个符号相异的数相加，结果的绝对值小于任一加数的绝对值，因此运算结果不会超出n位符号数的表示范围，即不会发生溢出错误。March2,202348

利用补码求符号数的加减运算两个正数相加由于两个数的符号位均为0，所以符号位肯定不会产生进位如果此时两个数的绝对值之和不大于（2n-1-1），则第n-2位（即最高数字位）就不会产生进位，运算结果就正确如果此时两个数的绝对值之和大于（2n-1-1），则第n-2位就会产生进位，这个进位使第n-1位（即符号位）为1，结果成了负数，显然错了。两个负数相加由于两个数的符号位均为1，所以此时符号位（第n-1位）肯定有进位如果此时第n-2位有进位，则运算结果为负数，结果正确如果此时第n-2位无进位，则运算结果为正数，结果显然错了March2,202349

利用补码求符号数的加减运算利用符号数的补码进行加减运算时，如果两个加数的绝对值之和大于n位符号数的表示范围，则A+B和-A-B的运算结果就会发生错误这类错误称为溢出

（Overflow）溢出只发生在两个加数的符号位相同时在设计加法器时必须考虑溢出问题，并在溢出时给出报警信号，以提示运算结果出错March2,202350

利用补码求符号数的加减运算当第n-1位（符号位）和第n-2位（最高数字位）不同时有进位（两个负数相加时）或不同时无进位（两个正数相加时）时有溢出发生利用这个原则，就可以设计出逻辑电路，判断有无溢出发生March2,202351

二-十进制编码（BCD码）BinaryCodedDecimal数字系统中使用的是二进制数，而在许多场合特别是在输入（如键盘等）输出（如显示、打印等）时需要处理十进制数表示0~9十个十进制数字，需要十种组合三位二进制码只有8种组合，不够用四位二进制码有16种组合，可用位数大于四的任意多位二进制数均可用，但那样会造成资源浪费故一般情况下均用四位二进制数对一位十进制数进行编码March2,202352

二-十进制编码（BCD码）用以表示十进制数字的二进制编码称为BCD码从四位二进制码的16种组合中取10种去表示10个十进制数字，共有C1610=16!/(10!·(16-10)!)种取法；而每种取法又有10！种分配方案；故共有16！/6！种可能的BCD编码方法可供选择！不可能全用！March2,202353

常用BCD码十进制数8421BCD5421BCD2421BCD余3码余3循环码000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011001101100101401000100010001110100501011000101110001100601101001110010011101701111010110110101111810001011111010111110910011100111111001010--10100101010100000000--10110110011000010001--11000111011100100011--11011101100011011011--11101110100111101001--11111111101011111000

无效码

有权码自然码

无权码余3码=8421码+3第一位自反，其它位轴对称，逻辑相邻自反自反第一位自反；其它位上下对应二-十进制编码（BCD码）有权码：每一位都有固定的权值的编码8421、5421和2421均为有权码8421码每位的权值分别为8、4、2、1有权码所表示十进制数的大小就是各位加权相加的值余3码和余3循环码则是无权码，因为它的各位没有固定的权值March2,202355

二-十进制编码（BCD码）有效编码:用以表示一位十进制数的码组无效编码:无任何意义的码组自反Selfcomplement逻辑相邻:只有一位不同的两组编码March2,202356

二-十进制编码（BCD码）用BCD码表示十进制数时，每一位十进制数均需四位二进码表示(216)10=(001000010110)8421

=(001000011001)5421

=(010101001001)余3

March2,202357

“0”不能省略二-十进制编码（BCD码）两个BCD码相加，结果必须还是BCD码，并且还必须是合法的BCD码(001000010110)8421+(001110010011)8421

=(010110101001)8421其中和的第2位BCD码为1010，是非法的8421BCD码，要对其进行调整：本位加6（10的补码），并向高位进1调整后结果应为(0110

00001001)8421。格雷（Gray）码在组合电路中，为避免译码噪声（毛刺）的产生，常使用格雷码在控制系统中，为使系统可靠，常常使用格雷码格雷码的特点：相邻两个编码中只有一位不同，其它各位均相同，即相邻码组逻辑相邻March2,202359

March2,202360

序号 二进制码格雷码

0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000

第一位自反，其它各位关于中间轴对称余3码余3循环码格雷（Gray）码的特点位置相邻的格雷码逻辑相邻最高位自反，其它位关于中间轴反对称根据此特点可方便地写出格雷码March2,202361

格雷码的写法March2,202362

01000100011110

000000一位二位三位二进制码与格雷码转换异或运算：逻辑变量A、B的取值范围为0、1，则它们的异或运算定义为

1 当A≠B时

F=A⊕B=0当A=B时March2,202363

二进制码与格雷码转换由二进制码生成格雷码：Gn-1=Bn-1,Gi=Bi+1⊕Bi

式中i=n-2,n-3，…，2，1，0例如：求二进制码1011 的格雷码March2,202364

11101011二进制码与格雷码转换由格雷码生成二进制码：Bn-1=Gn-1,Bi=Bi+1⊕Gi

式中i=n-2,n-3，…，2，1，0例如：求格雷码1011 的二进制码March2,202365

11011011ASCII符除了需要表示十进制数外，还经常要表示人机交流用的其它一些信息，如大小写字母、+、-、×、÷、=、&、%…等字符，DEL、ESC、CR…等控制符使用最广泛的是所谓ASCII(AmericanStandardCodesforInformationInterchange)字符集，又称为ASCII码每个ASCII符号是一个7位码33个控制符，95个字符，共128个March2,202366

列号（b6b5b4）B000001010011100101110111

BH01234567行号(b3b2b1b0)00000NULDLESP0@P‘p00011SOHDC1!1AQaq00102STXD